Алгебра буля – . 1.

📌 БУЛЕВА АЛГЕБРА — это… 🎓 Что такое БУЛЕВА АЛГЕБРА?



БУЛЕВА АЛГЕБРА

БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у — это «х или у». Данный принцип широко применяется при создании компьютеров, где ДВОИЧНАЯ СИСТЕМА (0 и 1) соответствует логическим утверждениям, на основе которых функционирует компьютер. Название этой отрасли алгебры дано по имени Джорджа Буля.

Это — алгебра лотки. На рисунке проиллюстрированы пять основных логических утверждении. Для любого из них, если А верно, то в таблице появляется «1». Если А ложно, появляется «О». В утверждении типа «И» С верно (т.е. в таблице имеется 1), когда верны А и В, но ложно, если и А, и В ложны. В утверждении «ИЛИ» С верно, если верно либо А, либо В, и ложно только в том случае, если и А, и В ложны. Утверждение «НЕТ» имеет один вход и один выход, его функция заключается в перемене местами «верного» и «ложного»; применение его к выражениям «И» и «ИЛИ» дает соответственно «НЕ» и «НИ». Утверждения Булевой алгебры,показанные здесь, можно также изобразить как элементы электрического контура (ввод слева, выход справа) или, по способу ы, как в теории множеств (результат обозначен на рисунке закрашиванием соответствующих участков).

Научно-технический энциклопедический словарь.

Смотреть что такое «БУЛЕВА АЛГЕБРА» в других словарях:

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА —     БУЛЕВА АЛГЕБРА см. Алгебра логики. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 …   Философская энциклопедия

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Boolean algebra От Дж.Буль английский математик 1815 1864 Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность,… …   Словарь бизнес-терминов

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она… …   Толковый словарь по психологии

  • Булева алгебра — (араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович, Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Категория: Математические науки Серия: Учебники для вузов. Специальная литература Издатель: Лань, Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика: Учебное пособие., Шевелев Ю.П., Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Категория: Физика и математика Серия: учебники для вузов. специальная литература Издатель: Лань, Подробнее  Купить за 2794 руб
  • Дискретная математика. Гриф МО РФ, Шевелев Ю.П., Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Категория: Учебники: доп. пособия Серия: Учебники для ВУЗов. Специальная литература Издатель: Лань, Подробнее  Купить за 1806 руб

Другие книги по запросу «БУЛЕВА АЛГЕБРА» >>

dic.academic.ru

АЛГЕБРА БУЛЯ это что такое АЛГЕБРА БУЛЯ: определение — Философия.НЭС

АЛГЕБРА БУЛЯ

— исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,…). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AA.B; умножение классов ААВ; дополнение класса А&. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами:

la. Al(B(C)=(ACB) BC — ассоциативность сложения;

16. A1(B(C)= (ACВ) ВC — ассоциативность умножения;

2a.A2B= BBA — коммуникативность сложения;

2б.А2В =ВВА — коммуникативность умножения;

3a.A3(В(С)= =(AСB) B(A(C) — дистрибутивность сложения относительно умножения;

36.A3(B(C)==(ACB) B(A(C) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

В А. Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми

подчиняются следующим соотношениям:

AA0=A;

AA1=A;

AAA&=1;

AAA&=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А равна А: А А=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: ААА=А, а не A2.

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения й на и на , 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да — нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.

Оцените определение:

Источник: Словарь по логике

terme.ru

📌 алгебра буля — это… 🎓 Что такое алгебра буля?

исторически первый раздел математической логики, разработанный ирландским логиком и математиком Дж. Булем в середине XIX в. Буль применил алгебраические методы для решения логических задач и сформулировал на языке алгебры некоторые фундаментальные законы мышления.

Буль представляет логику как алгебру классов (будем обозначать их символами А, В, С,…). Основными операциями в А. Б. являются: сложение классов AE.B; умножение классов АCВ; дополнение класса А\’. Свойства этих операций описываются следующими аксиомами:

la. AE(BEC)=(AEB) EC — ассоциативность сложения;

16. AC(BCC)= (ACВ) EC — ассоциативность умножения;

2a.AEB= BEA — коммуникативность сложения;

2б.АCВ =ВCА — коммуникативность умножения;

3a.AE(ВCС)= =(AEB) C(AEC) — дистрибутивность сложения относительно умножения;

36.AC(BEC)==(ACB) E(ACC) — дистрибутивность умножения относительно сложения.

В А.


Б. существуют два элемента 0 и 1, операции с которыми

подчиняются следующим соотношениям:

AE0=A;

AC1=A;

AEA\’=1;

ACA\’=0.

Характерная особенность А.Б. заключается в том, что в ней отсутствуют коэффициенты и показатели степеней. Сумма двух А

равна А: АEА=А, а не 2А, как в обычной алгебре. Точно так же и произведение двух A равно A: АCА=А, а не A2.

Важным законом А. Б. является принцип двойственности, согласно которому если в некотором справедливом равенстве мы заменим все вхождения E на C и C на E, 1 на 0 и 0 на 1, то получим равенство, двойственное первому и также справедливое. Примерами двойственных равенств являются приведенные выше аксиомы.

А.Б. широко применяется при проектировании и проверке электрических схем, в которых используются реле, работающие по принципу «да — нет», при программировании и проектировании ЭВМ, в операциях с переключателями, сигналами, схемами. В современной математической логике этот раздел значительно усовершенствован и разрабатывается как теория булевых алгебр, в том числе как алгебра множеств, алгебра высказываний и т. п. В области традиционной логики соотношения А. Б. часто используются для иллюстрации и прояснения отношений между объемами понятий.

Словарь по логике. — М.: Туманит, изд. центр ВЛАДОС.
А.А.Ивин, А.Л.Никифоров.
1997.

dic.academic.ru

Алгебра Буля Википедия

a∨(b∨c)=(a∨b)∨c{\displaystyle a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c} a∧(b∧c)=(a∧b)∧c{\displaystyle a\land (b\land c)=(a\land b)\land c} ассоциативность
a∨b=b∨a{\displaystyle a\lor b=b\lor a} a∧b=b∧a{\displaystyle a\land b=b\land a} коммутативность
a∨(a∧b)=a{\displaystyle a\lor (a\land b)=a} a∧(a∨b)=a{\displaystyle a\land (a\lor b)=a} законы поглощения
a∨(b∧c)=(a∨b)∧(a∨c){\displaystyle a\lor (b\land c)=(a\lor b)\land (a\lor c)} a∧(b∨c)=(a∧b)∨(a∧c){\displaystyle a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)} дистрибутивность
a∨¬a=1{\displaystyle a\lor \lnot a=1} a∧¬a=0{\displaystyle a\land \lnot a=0} дополнительность

ru-wiki.ru

📌 Булева алгебра — это… 🎓 Что такое Булева алгебра?

Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции), (аналог дизъюнкции), унарной операцией (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для всех a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

В нотации · + ¯  

Первые три аксиомы означают, что (A, , ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

См. также Алгебра логики

Примеры

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
  • Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.
  • Алгебра Линденбаума — Тарского (фактормножество всех утверждений по отношению равносильности в данном исчислении с соответствующими операциями) какого-либо исчисления высказываний является булевой алгеброй. В этом случае истинностная оценка формул исчисления является гомоморфизмом алгебры Линденбаума — Тарского в двухэлементную булеву алгебру.
  • Множество всех подмножеств данного множества S образует булеву алгебру относительно операций ∨ := ∪ (объединение), ∧ := ∩ (пересечение) и унарной операции дополнения. Наименьший элемент здесь — пустое множество, а наибольший — всё S.
  • Если R — произвольное кольцо, то на нём можно определить множество центральных идемпотентов так:
    A = { eR : e² = e, ex = xe, ∀xR },
    тогда множество A будет булевой алгеброй с операциями ef := e + fef и ef := ef.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Знаменитая теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 г. американский математик Хантингтон предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y’) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 30-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 г. Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

Примечания

Литература

dic.academic.ru

Алгебра Буля Википедия

Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями ∧{\displaystyle \land } (аналог конъюнкции), ∨{\displaystyle \lor } (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией ¬{\displaystyle \lnot } (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

В нотации · + ¯

a+(b+c)=(a+b)+ca(bc)=(ab)ca+b=b+aab=baa+ab=aa(a+b)=aa+bc=(a+b)(a+c)a(b+c)=ab+aca+a¯=1aa¯=0{\displaystyle {\begin{aligned}&a+(b+c)=(a+b)+c&a(bc)=(ab)c\\&a+b=b+a&ab=ba\\&a+ab=a&a(a+b)=a\\&a+bc=(a+b)(a+c)&a(b+c)=ab+ac\\&a+{\bar {a}}=1&a{\bar {a}}=0\end{aligned}}}

Первые три аксиомы означают, что (A, ∧{\displaystyle \land }, ∨{\displaystyle \lor }) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй.
Названа в честь Джорджа Буля.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

Примеры

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 году американский математик Хантингтон[en] предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

Примечания

Литература

wikiredia.ru

Что такое Булева алгебра? Есть примеры (см)?

Я тоже хочу ответить на этот специфический вопрос, связанный с открытием основателем математической логики Д.Булем алгебры, названной в его честь. Булеву алгебру можно использовать в курсе математической логики как модель изучаемого классического исчисления высказываний. Кто изучал это, тот знает, что в этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, которые содержат булевы операции и переменные, — это и есть высказывательные формы.


Остановимся на необходимых определениях логики высказываний, которые продемонстрируем на примерах.

Высказывание — это повествовательное предложение, относительно которого можно сказать истинно оно или ложно.

Например,

А: Москва — столица России — высказывание, причем истинное.

В: 2+2=5 — это ложное высказывание.

2+2 — это не высказывание, т.к. относительно его нельзя сказать истинно оно или ложно.

Нас интересуют не все логические операции, а только конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и отрицание.


Конъюнкцией двух высказываний называется новое высказывание, обозначаемое А /\ В, истинное тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны.

Дизъюнкцией двух высказываний называется сложное высказывание, обозначаемое А \/ В, ложное тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Отрицанием высказывания А называется высказывание, обозначаемое /А (не А), ложное тогда и только тогда, когда само высказывание истинно.

Составим конъюнкцию, дизъюнкцию высказываний А и В (см. выше) и отрицание высказывания А.

А /\ В: Москва-столица России и 2+2=5 (соответствует союз и) — конъюнкция ложная (см. третью строку таблицы истинности для нее — 1,2,4 столбцы).

А \/ В: Москва — столица России или 2+2=5 (соответствует союз или) — дизъюнкция истинная (см. третью строку таблицы истинности для нее — 1,2,5 столбцы).

/А: Неверно, что Москва — столица России (можно и так: Москва — не столица России ) (соответствует частица не) — отрицание ложное (см. третью строку таблицы истинности для отрицания — 1,2,3 столбцы).


Ниже приведена сводная таблица истинности, которая составлена для всех пяти операций (имеются еще 2 операции: импликация и эквиваленция, см. шестой и седьмой столбцы), но в определении булевой алгебры они не участвуют).

А теперь дадим точное определение булевой алгебры (см. здесь).

Булевой алгеброй называется непустое множество A с двумя бинарными операциями /\ (аналог конъюнкции), \/ (аналог дизъюнкции), унарной операцией /(аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых элементов из А a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

a /\ (b /\ c) = (a /\ b) /\ c a \/ (b \/ c) = (a \/ b) \/ c ассоциативность

a /\ b = b /\ a a \/ b = b \/ a коммутативность

a /\ (a \/ b) = a a \/ (a /\ b) = a законы поглощения

a /\ (b \/ c) = (a /\ b) \/ (a /\ c) a \/ (b /\ c) = (a \/ b) /\ (a \/ c) дистрибутивность одной операции относительно другой

a \/ / a = 1 a /\ /a = 0 дополнительность

Замечание: бинарная операция связывает два элемента, унарная — один элемент.

Несколько слов об авторе, в честь кого названа эта алгебра.


Отмечу, что булева алгебра широко применяется на практике. Для интересующихся предлагаю посмотреть вот этот красочный материал., в котором показано, что

А также рассмотрена алгебра лотки.

www.bolshoyvopros.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о