Что такое булева алгебра: Булева алгебра — Википедия. Что такое Булева алгебра

Булева алгебра — Википедия. Что такое Булева алгебра
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями ∧ {\displaystyle \land } (аналог конъюнкции), ∨ {\displaystyle \lor } (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией ¬ {\displaystyle \lnot } (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

В нотации · + ¯

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c a + b = b + a a b = b a a + a b = a a ( a + b ) = a a + b c = ( a + b ) ( a + c ) a ( b + c ) = a b + a c a + a ¯ = 1 a a ¯ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&a+(b+c)=(a+b)+c&a(bc)=(ab)c\\&a+b=b+a&ab=ba\\&a+ab=a&a(a+b)=a\\&a+bc=(a+b)(a+c)&a(b+c)=ab+ac\\&a+{\bar {a}}=1&a{\bar {a}}=0\end{aligned}}}

Первые три аксиомы означают, что (A, ∧ {\displaystyle \land } , ∨ {\displaystyle \lor } ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй. Названа в честь Джорджа Буля.

Содержание

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

Примеры

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 году американский математик Хантингтон[en] предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (
    x
    + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

Примечания

Литература

Булева алгебра — Википедия. Что такое Булева алгебра
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями ∧ {\displaystyle \land } (аналог конъюнкции), ∨ {\displaystyle \lor } (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией ¬ {\displaystyle \lnot } (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых

a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

В нотации · + ¯

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c a + b = b + a a b = b a a + a b = a a ( a + b ) = a a + b c = ( a + b ) ( a + c ) a ( b + c ) = a b + a c a + a ¯ = 1 a a ¯ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&a+(b+c)=(a+b)+c&a(bc)=(ab)c\\&a+b=b+a&ab=ba\\&a+ab=a&a(a+b)=a\\&a+bc=(a+b)(a+c)&a(b+c)=ab+ac\\&a+{\bar {a}}=1&a{\bar {a}}=0\end{aligned}}}

Первые три аксиомы означают, что (A, ∧ {\displaystyle \land } , ∨ {\displaystyle \lor } ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй. Названа в честь Джорджа Буля.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬

a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

Примеры

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 году американский математик Хантингтон[en] предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

Примечания

Литература

Булева алгебра — Википедия. Что такое Булева алгебра
Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики.

Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями ∧ {\displaystyle \land } (аналог конъюнкции), ∨ {\displaystyle \lor } (аналог дизъюнкции), одной унарной операцией ¬ {\displaystyle \lnot } (аналог отрицания) и двумя выделенными элементами: 0 (или Ложь) и 1 (или Истина) такими, что для любых a, b и c из множества A верны следующие аксиомы:

В нотации · + ¯

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c a ( b c ) = ( a b ) c a + b = b + a a b = b a a + a b = a a ( a + b ) = a a + b c = ( a + b ) ( a + c ) a ( b + c ) = a b + a c a + a ¯ = 1 a a ¯ = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&a+(b+c)=(a+b)+c&a(bc)=(ab)c\\&a+b=b+a&ab=ba\\&a+ab=a&a(a+b)=a\\&a+bc=(a+b)(a+c)&a(b+c)=ab+ac\\&a+{\bar {a}}=1&a{\bar {a}}=0\end{aligned}}}

Первые три аксиомы означают, что (A, ∧ {\displaystyle \land } , ∨ {\displaystyle \lor } ) является решёткой. Таким образом, булева алгебра может быть определена как дистрибутивная решётка, в которой выполнены две последние аксиомы. Структура, в которой выполняются все аксиомы, кроме предпоследней, называется псевдобулевой алгеброй. Названа в честь Джорджа Буля.

Некоторые свойства

Из аксиом видно, что наименьшим элементом является 0, наибольшим является 1, а дополнение ¬a любого элемента a однозначно определено. Для всех a и b из A верны также следующие равенства:

Основные тождества

В данном разделе повторяются свойства и аксиомы, описанные выше с добавлением ещё нескольких.

Сводная таблица свойств и аксиом, описанных выше:

Примеры

  • Самая простая нетривиальная булева алгебра содержит всего два элемента, 0 и 1, а действия в ней определяются следующей таблицей:
Эта булева алгебра наиболее часто используется в логике, так как является точной моделью классического исчисления высказываний. В этом случае 0 называют ложью, 1 — истиной. Выражения, содержащие булевы операции и переменные, представляют собой высказывательные формы.

Принцип двойственности

В булевых алгебрах существуют двойственные утверждения, они либо одновременно верны, либо одновременно неверны. Именно, если в формуле, которая верна в некоторой булевой алгебре, поменять все конъюнкции на дизъюнкции, 0 на 1, ≤ на > и наоборот или < на ≥ и наоборот, то получится формула, также истинная в этой булевой алгебре. Это следует из симметричности аксиом относительно таких замен.

Представления булевых алгебр

Можно доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех подмножеств какого-то множества. Отсюда следует, что количество элементов в любой конечной булевой алгебре будет степенью двойки.

Теорема Стоуна утверждает, что любая булева алгебра изоморфна булевой алгебре всех открыто-замкнутых множеств какого-то компактного вполне несвязного хаусдорфова топологического пространства.

Аксиоматизация

В 1933 году американский математик Хантингтон[en] предложил следующую аксиоматизацию для булевых алгебр:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Хантингтона: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x.

Здесь использованы обозначения Хантингтона: + означает дизъюнкцию, n — отрицание.

Герберт Роббинс поставил следующий вопрос: можно ли сократить последнюю аксиому так, как написано ниже, то есть будет ли определённая выписанными ниже аксиомами структура булевой алгеброй?

Аксиоматизация алгебры Роббинса:

  1. Аксиома коммутативности: x + y = y + x.
  2. Аксиома ассоциативности: (x + y) + z = x + (y + z).
  3. Уравнение Роббинса: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x.

Этот вопрос оставался открытым с 1930-х годов и был любимым вопросом Тарского и его учеников.

В 1996 году Вильям МакКьюн, используя некоторые полученные до него результаты, дал утвердительный ответ на этот вопрос. Таким образом, любая алгебра Роббинса является булевой алгеброй.

См. также

Примечания

Литература

БУЛЕВА АЛГЕБРА — это… Что такое БУЛЕВА АЛГЕБРА?


БУЛЕВА АЛГЕБРА
БУЛЕВА АЛГЕБРА

Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001.

.

  • БУДДХАГХОСА
  • “БУРЖУА: ”

Смотреть что такое «БУЛЕВА АЛГЕБРА» в других словарях:

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Boolean algebra От Дж.Буль английский математик 1815 1864 Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность,… …   Словарь бизнес-терминов

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у это «х или у». Данный принцип широко применяется …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она… …   Толковый словарь по психологии

  • Булева алгебра — (араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика, Шевелев Ю.. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 2143 руб
  • Дискретная математика, Ю. П. Шевелев. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 1836 руб
Другие книги по запросу «БУЛЕВА АЛГЕБРА» >>

БУЛЕВА АЛГЕБРА — это… Что такое БУЛЕВА АЛГЕБРА?


БУЛЕВА АЛГЕБРА
Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она также называется), широко применялась в компьютерных науках и в психологии в работах над искусственным интеллектом. Это применение интересно тем, что Буль рассматривал свою работу как представление основных операций мышления.

Толковый словарь по психологии. 2013.

  • БУКВЕННОЕ РЕВЕРСИРОВАНИЕ
  • БУЛИМИЯ, НЕРВНАЯ

Смотреть что такое «БУЛЕВА АЛГЕБРА» в других словарях:

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА —     БУЛЕВА АЛГЕБРА см. Алгебра логики. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 …   Философская энциклопедия

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Boolean algebra От Дж.Буль английский математик 1815 1864 Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность,… …   Словарь бизнес-терминов

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у это «х или у». Данный принцип широко применяется …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • Булева алгебра — (араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика, Шевелев Ю.. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 2143 руб
  • Дискретная математика, Ю. П. Шевелев. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 1836 руб
Другие книги по запросу «БУЛЕВА АЛГЕБРА» >>

БУЛЕВА АЛГЕБРА — это… Что такое БУЛЕВА АЛГЕБРА?


БУЛЕВА АЛГЕБРА
Булева алгебра Boolean algebra От Дж.Буль — английский математик 1815-1864
Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание

Словарь бизнес-терминов. Академик.ру. 2001.

  • БРУТТО-«СПРЭД»
  • БУМЕРАНГ ЭКОЛОГИЧЕСКИЙ

Смотреть что такое «БУЛЕВА АЛГЕБРА» в других словарях:

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА —     БУЛЕВА АЛГЕБРА см. Алгебра логики. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 …   Философская энциклопедия

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у это «х или у». Данный принцип широко применяется …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она… …   Толковый словарь по психологии

  • Булева алгебра — (араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных …   Энциклопедический словарь по психологии и педагогике

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика, Шевелев Ю.. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 2143 руб
  • Дискретная математика, Ю. П. Шевелев. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 1836 руб
Другие книги по запросу «БУЛЕВА АЛГЕБРА» >>

Булева алгебра — это… Что такое Булева алгебра?


Булева алгебра
(араб.) – система алгебраических операций с символами, названная в честь Д. Буля, одного из её создателей. Также называется калькуляцией (лат. calсulatio – счёт, подсчёт). Интересно, что Д. Буль рассматривал свою работу как представление основных операций мышления.

Энциклопедический словарь по психологии и педагогике. 2013.

  • Буккальный тремор
  • Булимия нервная

Смотреть что такое «Булева алгебра» в других словарях:

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА —     БУЛЕВА АЛГЕБРА см. Алгебра логики. Новая философская энциклопедия: В 4 тт. М.: Мысль. Под редакцией В. С. Стёпина. 2001 …   Философская энциклопедия

  • Булева алгебра — раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность, отрицание. По английски: Boolean algebra См. также: Логические …   Финансовый словарь

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Boolean algebra От Дж.Буль английский математик 1815 1864 Раздел математической логики, изучающий высказывания и операции над ними. Наиболее известными операциями булевой алгебры являются: конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквивалентность,… …   Словарь бизнес-терминов

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — БУЛЕВА АЛГЕБРА, область математики, содержащая правила обращения с множествами, а также с логическими утверждениями типа «и», «или». Например, в Булевой алгебре выражение ху означает «х и у», а х+у это «х или у». Данный принцип широко применяется …   Научно-технический энциклопедический словарь

  • Булева алгебра — Эта статья об алгебраической системе. О разделе математической логики, изучающем высказывания и операции над ними, см. Алгебра логики. Булевой алгеброй[1][2][3] называется непустое множество A с двумя бинарными операциями (аналог конъюнкции),… …   Википедия

  • булева алгебра — Boolean algebra statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. Boolean algebra vok. Boolesche Algebra, f rus. булева алгебра, f pranc. algèbre de Boole, f ryšiai: sinonimas – Bulio algebra …   Automatikos terminų žodynas

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — булева решетк а, частично упорядоченное множество специального вида. Б. а. наз. дистрибутивная решетка (дистрибутивная структура), имеющая наибольший элемент 1 единицу Б. а., наименьший элемент 0 нуль Б. а. и содержащая вместе с каждым своим… …   Математическая энциклопедия

  • Булева алгебра — алгебра, в которой каждая переменная может принимать одно из двух значений: «истина» или «ложь». Операции над переменными в булевой алгебре называются логическими операциями. Правила выполнения логических операций удобны для преобразования… …   Начала современного естествознания

  • БУЛЕВА АЛГЕБРА — Названная по имени ее создателя, английского математика Джорджа Буля, система операций с символами, которая использует алгебраические процедуры, но независимо от определенных математических интерпретаций. Булева логика, или калькуляция (как она… …   Толковый словарь по психологии

  • булева алгебра элементарных логических операции — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN Boolean algebra …   Справочник технического переводчика

Книги

  • Дискретная математика. Учебное пособие, Шевелев Юрий Павлович. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 3613 руб
  • Дискретная математика, Шевелев Ю.. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 2143 руб
  • Дискретная математика, Ю. П. Шевелев. Представлено пять тем: теория множеств, булева алгебра логики, теория конечных автоматов, комбинаторика и теория графов. Из теории множеств освещены темы: алгебра множеств, бинарные… Подробнее  Купить за 1836 руб
Другие книги по запросу «Булева алгебра» >>
90000 Boolean Algebra — 1. Operators and Basics 90001 90002 Boolean Algebra! 90003 90004 It’s logical really. 90005 90002 Introduction 90003 90004 We’ll start off by covering what exactly Boolean Algebra is and then look at some of the basic building blocks, also referred to as operators. It may seem a little abstract at this stage but once you’ve worked through this section and the next it will start to make a bit more sense. 90005 90002 Boolean Algebra 90003 90004 Boolean Algebra is a way of formally specifying, or describing, a particular situation or procedure.We use 90013 variables 90014 to represent elements of our situation or procedure. Variables may take one of only two values. Traditionally this would be 90013 True 90014 and 90013 False 90014. So for instance we may have a variable 90013 X 90014 and state that this represents if it is raining outside or not. The value of 90013 X 90014 would be: 90005 90024 90025 90013 True 90014 if it is raining outside. 90028 90025 90013 False 90014 if it is not raining outside.90028 90033 90004 What you have to remember is that although many things in the real world exist on a spectrum, in Boolean Algebra things are reduced to black and white. So we could have, for instance, light rain, steady rain, or heavy rain. In Boolean Algebra however, it is either raining or it is not. This may seem a little limiting but this simplification of things actually turns out to be quite powerful. 90005 90004 It is possible to substitute other values ​​in place of True and False.When working with computers it is often the case that True and False is replaced with 90013 1 90014 and 90013 0 90014. When working with physical circuits we may replace True and False with the presence or absence of a voltage. 90005 90004 In this way Boolean Algebra is useful to describe a process and then to build mechanisms which can perform those processes. Keep this in mind as you’re working through the next few sections. This is what we are building towards. 90005 90002 Basic Operations 90003 90004 We saw above that variables may be used to represent the current state of elements that we are interested in.Operations allow us to then define relationships between those variables. There are three basic operations. These are used often in Boolean expressions but are also used to create more complex operations. You’ll probably find that you’ve actually used these operations quite a bit, you’ve just never thought of them formally before. 90005 90004 The result of an operation is similar to variables, it may only be either 90013 True 90014 or 90013 False 90014. 90005 90004 I have chosen to always write operations in all UPPERCASE.This is so they are easily identified as operations. Many people follow this convention but it is not required. Feel free to use whatever method suits you best. 90005 90056 AND 90057 90004 The first operation is 90013 AND 90014 and it means pretty much what it does in plain english. So for instance I may state «If it’s sunny outside 90013 AND 90014 I have completed my work then I will go for a run.» To represent this in Boolean Algebra I may say that: 90005 90024 90025 90013 x 90014 represents if it is sunny outside or not.90028 90025 90013 y 90014 represents if I have completed my work or not. 90028 90025 90013 z 90014 represents if I go for a run or not. 90028 90033 90004 And I would write it like so: 90005 90004 x AND y = z 90005 90004 Here it is represented visually. The shaded region is the region which represents 90013 AND 90014. 90005 90004 90005 90004 And now we’ll represent it using what is called a 90013 Truth table 90014.A truth table lists all the possible combinations of inputs for an expression (in this case a single operation) and what the result, or output should be. 90005 90092 90093 90094 False 90095 90094 False 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 False 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 False 90095 90094 True 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 True 90095 90094 True 90095 90100 90125 90056 OR 90057 90004 90013 OR 90014 is also the same as how we would use it in plain english.It means that if either of the two variables is 90013 True 90014 then the result is 90013 True 90014. So for instance I could say that «I will get home early from work if I get to leave early 90013 OR 90014 the traffic is good». 90005 90004 Here is 90013 OR 90014 represented visually: 90005 90004 90005 90004 And again as a truth table: 90005 90092 90093 90094 False 90095 90094 False 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 False 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 False 90095 90094 True 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 True 90095 90094 True 90095 90100 90125 90004 Note that 90013 AND 90014 is False for all but True and True whilst 90013 OR 90014 is True for all but False and False.This observation will become useful to us later on. In fact there are many shortcuts and advantageous benefits to be gained from finding patterns like this so keep an eye out for them. 90005 90056 Not 90057 90004 90013 Not 90014 is quite similar to how we use it in plain english. It has a subtle difference when used in Boolean Algebra. Normally I might say something like «I will eat dessert if I am not full». I could also have said «I will eat dessert if I am still hungry», which has the same meaning but using an opposite value.So 90013 not 90014 actually has the effect of flipping the value of a variable. If: 90005 90024 90025 the variable 90013 d 90014 currently has a value of 90013 True 90014 then 90028 90025 the expression 90013 not d 90014 has a result of 90013 False 90014 90028 90033 90004 Represented visually that is: 90005 90004 90005 90004 And as a truth table: 90005 90002 Derived Operations 90003 90004 The above three operations are the building blocks for just about everything else we can do in Boolean Algebra.We will now introduce what are called 90013 derived operations 90014. These are essentially shortcuts for commonly used combinations of the basic operations. As we will discover later on, some of these derived operations are very useful when we want to do computations and other things. 90005 90056 XOR or Exclusive OR 90057 90004 With the operation 90013 OR 90014 we saw that as long as one of the variables is 90013 True 90014 the result is 90013 True 90014. It was also True if both of them were True.With the operation 90013 XOR 90014 we now say that the result will be True only if one of the two variables is True. That is, one of them is True but only one of them is True. We may build this operation from the basic operations like so: 90005 90004 g XOR p is equivalent to (g OR p) AND NOT (g AND p) 90005 90004 When brackets 90013 () 90014 are used in an expression this means that we evaluate that part of the expression first before the other parts. 90005 90004 Let’s run through an example to better understand what’s going on.90005 90004 If 90013 g 90014 is True and 90013 p 90014 is False then: 90005 90004 Substituting 90013 g 90014 and 90013 p 90014 for those values ​​we get: 90005 90004 (True OR False) AND NOT (True AND False) 90005 90004 The first set of brackets 90013 (True OR False) 90014 AND NOT (True AND False) evaluates to True so let’s replace that into the expression and we get: 90005 90004 90259 True 90014 AND NOT (True AND False) 90005 90004 The next set of brackets True AND NOT 90013 (True AND False) 90014 evaluates to False so let’s replace that into the expression as well giving us: 90005 90004 True AND NOT (90267 False 90014) 90005 90004 90013 NOT (False) 90014 evaluates to True so we can apply that to the expression and we end up with: 90005 90004 True and 90275 True 90014 90005 90004 And the final result is 90013 True 90014.90005 90004 Visually 90013 XOR 90014 looks like: 90005 90004 90005 90004 90013 XOR 90014 as a truth table: 90005 90092 90093 90094 False 90095 90094 False 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 False 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 False 90095 90094 True 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 True 90095 90094 False 90095 90100 90125 90056 NAND or NOT AND 90057 90004 90013 NAND 90014 is effectively the opposite of what AND is.90005 90004 r NAND S is equivalent to NOT (r AND s) 90005 90004 Visually it looks like this: 90005 90004 90005 90004 NAND as a truth table: 90005 90092 90093 90094 False 90095 90094 False 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 False 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 False 90095 90094 True 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 True 90095 90094 False 90095 90100 90125 90056 NOR or NOT OR 90057 90004 NOR is effectively the opposite of OR.90005 90004 b NOR k is equivalent to NOT (b OR k) 90005 90004 Visually it looks like this: 90005 90004 90005 90004 NOR as a truth table: 90005 90092 90093 90094 False 90095 90094 False 90095 90094 True 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 False 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 False 90095 90094 True 90095 90094 False 90095 90100 90093 90094 True 90095 90094 True 90095 90094 False 90095 90100 90125 90002 Summary 90003 90422 90423 Variable 90424 90425 An item within a Boolean expression.90426 90423 Basic Operators 90424 90425 AND, OR and NOT. 90426 90423 Derived Operators 90424 90425 XOR, NAND and NOR 90426 90423 Expression 90424 90425 The result of combining variables and operators. 90426 90439 90422 90423 Only two values ​​90424 90425 There are only ever two possible values ​​in Boolean Algebra. Typically True and False but can be others such as 0 and 1. 90426 90439 90002 Activities 90003 90004 Now let’s evaluate some expressions.90005 .90000 Boolean algebra — Simple English Wikipedia, the free encyclopedia 90001 90002 90003 Boolean algebra 90004 is algebra for binary (0 means false and 1 means true). It uses normal maths symbols, but it does not work in the same way. It is named for George Boole, 90005 [1] 90006 who invented it in the middle 19th century. In the 20th century boolean algebra came to be much used for logic gates. 90007 90002 90005 [2] 90006 90007 90002 The NOT operator is written with a bar over numbers or letters like this: 90007 90014 90015 1 ¯ = 0 {\ Displaystyle {\ bar {1}} = 0} 90016 90015 0 ¯ = 1 {\ Displaystyle {\ bar {0}} = 1} 90016 90015 A ¯ = Q {\ Displaystyle {\ bar {\ mbox {A}}} = {\ mbox {Q}}} 90016 90021 90002 It means the output is 90003 not 90004 the input.90007 90002 90005 [2] 90006 90007 90002 The AND operator is written as ⋅ {\ Displaystyle \ cdot} like this: 90007 90014 90015 0 ⋅ 0 = 0 {\ Displaystyle 0 \ cdot 0 = 0} 90016 90015 0 ⋅ 1 = 0 {\ Displaystyle 0 \ cdot 1 = 0} 90016 90015 1 ⋅ 0 = 0 {\ Displaystyle 1 \ cdot 0 = 0} 90016 90015 1 ⋅ 1 = 1 {\ Displaystyle 1 \ cdot 1 = 1} 90016 90021 90002 The output is true only if one 90003 and 90004 the other input is true.90007 90002 90005 [2] 90006 90007 90002 The OR operator is written as + {\ Displaystyle +} like this: 90007 90014 90015 0 + 0 = 0 {\ Displaystyle 0 + 0 = 0} 90016 90015 0 + 1 = 1 {\ Displaystyle 0 + 1 = 1} 90016 90015 1 + 0 = 1 {\ Displaystyle 1 + 0 = 1} 90016 90015 1 + 1 = 1 {\ Displaystyle 1 + 1 = 1} 90016 90021 90002 One 90003 or 90004 the other input can be true for the output to be true.90007 90002 90005 [2] 90006 90007 90002 XOR basically means «exclusive or», meaning one input or the other must be true, but not both. It is also sometimes called NOR, which means the same thing. 90007 90002 The XOR operator is written as — {\ Displaystyle -} like this: 90007 90014 90015 0 — 0 = 0 {\ Displaystyle 0-0 = 0} 90016 90015 0 — 1 = 1 {\ Displaystyle 0-1 = 1} 90016 90015 1 — 0 = 1 {\ Displaystyle 1-0 = 1} 90016 90015 1 — 1 = 0 {\ Displaystyle 1-1 = 0} 90016 90021 90002 To make it more simple, one 90003 or 90004 the other input must be true, but 90003 not 90004 both.90007 90002 Different gates can be put together in different orders: 90007 90014 90015 A ⋅ B ¯ {\ Displaystyle {\ overline {{\ mbox {A}} \ cdot {\ mbox {B}}}}} is the same as an AND then a NOT. This is called a NAND gate.90016 90021 90002 It is 90003 not 90004 the same as a NOT then an AND like this: A ¯ ⋅ B ¯ {\ Displaystyle {\ overline {\ mbox {A}}} \ cdot {\ overline {\ mbox {B}}}} 90007 90014 90015 A + 1 = 1 {\ Displaystyle {\ mbox {A}} + 1 = 1} 90016 90015 A ⋅ 1 = A {\ Displaystyle {\ mbox {A}} \ cdot 1 = {\ mbox {A}}} 90016 90021 90002 which is called 90107 XOR identity table 90108 90007 90110 90111 90112 90113 XOR 90114 90115 1 90114 90113 0 90114 90113 Any 90114 90121 90122 90123 1 90124 90125 TRUE 90124 90125 0 90124 90125 0 90124 90121 90112 90123 0 90124 90125 0 90124 90125 0 90124 90125 A N Y ¯ {\ Displaystyle {\ overline {ANY}}} 90124 90121 90122 90143 Any 90124 90125 0 90124 90125 A N Y ¯ {\ Displaystyle {\ overline {ANY}}} 90124 90125 { A n y } {\ Displaystyle \ {Any \}} 90124 90121 90152 90153 90002, if A N Y = { x | { x } = { { T R U E } ∨ { T R U E ¯ } , } ; ∧ ( T R U E , 0 ) ⊢ T R U E ∧ 0 ¯ = { x } {\ Displaystyle ANY = \ {x | \ {x \} = \ {\ {TRUE \} \ lor \ {{\ overline {TRUE}} \}, \}; \ land (TRUE, 0) \ vdash TRUE \ land {\ overline {0}} = \ {x \}} .90005 [90107 source? 90108] 90006 90007 90002 90161 or if A N Y = { x ‖ { T R U E } , { T R U E ¯ } . } , {\ Displaystyle ANY = \ {x \ | \ {TRUE \}, \ {{\ overline {TRUE}} \}. \},} 90162 = TRUE, TRUE 90163., 90007 90002 Augustus De Morgan found out that it is possible to change a + {\ Displaystyle +} sign to a ⋅ {\ Displaystyle \ cdot} sign and make or break a bar. See the 2 examples below: 90007 90014 90015 A + B ¯ = A ¯ ⋅ B ¯ {\ Displaystyle {\ overline {{\ mbox {A}} + {\ mbox {B}}}} = {\ overline {\ mbox {A}}} \ cdot {\ overline {\ mbox {B}}}} 90016 90015 A ⋅ B ¯ = A ¯ + B ¯ {\ Displaystyle {\ overline {{\ mbox {A}} \ cdot {\ mbox {B}}}} = {\ overline {\ mbox {A}}} + {\ overline {\ mbox {B}}}} 90016 90021 90002 «Make / break the bar and change the sign.» 90007 .90000 Boolean algebra — Conservapedia 90001 90002 90003 Boolean algebra 90004 or 90003 boolean logic 90004 is the formal mathematical discipline that deals with «truth values» — «true» or «false». Its fundamental operations are «and», «or» and «not». One can write «propositions» (equations) of boolean algebra, such as 90007 90008 P = (Q + R) • (T ‘) 90009 90002 and manipulate them the way one would manipulate ordinary algebraic equations. 90007 90002 Boolean algebra as a formal mathematical study was pioneered by (and is named after) English mathematician George Boole in the 1830’s.90007 90002 The terms «boolean algebra» and «boolean logic» are used interchangeably. The words are not capitalized (except at the beginning of a sentence, of course) even though they are named after a person. 90007 90016 Boolean Algebra and Computer Hardware 90017 90002 The thing that elevates boolean algebra from a somewhat obscure branch of mathematics to one of the driving forces of modern society is that it is the basis for computers. Boolean logic is implemented in electrical circuitry by means of gates (built from many CMOS and nMOS transistors wired together) representing the basic AND, NOT, and OR operators.These gates are then wired together to create computer chips. Therefore, everything a computer does must be represented in boolean logic. All numbers are represented internally in binary (base 2) notation, with digits ( «bits») 1 and 0, corresponding to «true» and «false», respectively; and each letter is represented by a binary code. 90007 90002 Computation is then done by boolean algebra operations. For example, addition is performed by performing this function on each bit: 90007 90008 S = (A • B • C) + (A • B ‘• C’) + (A ‘• B • C’) + (A ‘• B’ • C) D = (A • B) + (A • C) + (B • C) 90009 90002 A modern computer processing chip has tens of millions of transistors, all calculating boolean operations.90007 90026 Computer Programming 90027 90002 The operations of boolean logic are also extremely important in computer software. Modern computer languages ​​usually have some kind of «boolean» data type. For example, in the C ++ language, it is called «bool». 90007 90016 Three Basic Operations 90017 90002 The three basic operations of boolean algebra are AND (analogous to multiplication), OR (analogous to addition), and NOT (analogous to inversion). See the tables below for a numerical and pictorial descriptions.From these functions, the other functions of boolean algebra can be derived. In the following descriptions, we will use the 1-and-0 notation rather than the true-and-false notation. 90007 90034 90035 90036 Truth Table for the Operators 90037 90038 90035 90040 AND: A • B = C 90037 90042 90037 90040 OR: A + B = C 90037 90042 90037 90048 NOT A ‘= B 90037 90038 90051 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90052 90003 C 90004 90055 90064 90055 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90052 90003 C 90004 90055 90064 90055 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90038 90051 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90038 90051 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90038 90051 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90038 90051 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90038 90153 90026 AND 90027 90156 Pictorial description of AND 90002 AND is the boolean equivalent of multiplication.The product of two numbers are non-zero if both numbers are non-zero. In words, the AND function states: «If A AND B are true then C is true». The AND function is commutative, so it results in the same answer no matter what order the values ​​are in. For example, A • B = B • A, and A • (B • C) = (A • B) • C. 90007 90026 OR 90027 90161 Pictorial description of OR 90002 OR is the boolean equivalent of addition. The sum of two positive numbers is non-zero if either number is non-zero. In words, the OR function states: «If A OR B is true then C is true».Like AND, the OR function is commutative. 90007 90026 NOT 90027 90002 NOT is the Boolean equivalent of inversion. It is represented by an apostrophe (A ‘) or an overbar (90167). NOT reverses the value of any variable: if A = 0, A ‘= 1, and if A = 1, A’ = 0. 90007 90002 NOT can be combined with AND and NOT for interesting results. A • A ‘(A AND NOT A) always equals 0 (false), since no matter the value of A, one of the two values ​​is always 0. Similarly, A + A’ (A OR NOT A) always equals 1 ( true), since no matter the value of A, one of the two values ​​is always 1.90007 90026 Order of Operations 90027 90002 By convention, the order of operations (sometimes called «operator precedence») for boolean algebra is the same as that for traditional algebra, except that there are fewer functions for boolean algebra: parenthesis are evaluated first, followed by multiplication then addition. Bars over multiple variables are treated at the same level as parenthesis. In practice, considerations of operation order are never a problem. 90007 90016 Derived Functions 90017 90002 From the three functions mentioned above, other functions can be derived.Some common ones are NAND, NOR and XOR. See the table below for a numerical description. 90007 90179 90035 90040 NAND: (A • B) ‘90037 90042 90037 90040 NOR: (A + B) 90037 90042 90037 90040 XOR (A’B + AB ‘) 90037 90038 90051 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90052 90003 C 90004 90055 90064 90055 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90052 90003 C 90004 90055 90064 90055 90052 90003 A 90004 90055 90052 90003 B 90004 90055 90052 90003 C 90004 90055 90038 90051 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90038 90051 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90038 90051 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90038 90051 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90052 1 90055 90052 1 90055 90052 0 90055 90038 90153 90026 NAND and NOR 90027 90002 NAND and NOR are formed by simply performing a NOT on the output of an AND or OR operation, respectively.NAND can be expressed symbolically as A NAND B = (AB) ‘and NOR can be expressed symbolically as A NOR B = (A + B)’. 90007 90026 XOR 90027 90002 XOR (or «exclusive OR») gives a 1 ( «true») if either of its inputs are 1, but not both. Symbolically this can be broken down into its basic operations by the expression: A XOR B = A’B + B’A. 90007 90016 See also 90017 .90000 What Is Boolean Algebra? 90001 90002 90003 90002 Today we’re going to talk about one of those topics in math that sounds incredibly hard but is actually pretty straightforward: Boolean algebra. Sounds painful, right? Well, as you’ll soon see, it is not. Plus, the simple ideas behind Boolean algebra are actually something you’re most likely already familiar with … you just do not know it yet! And it turns out that these ideas are some of the most important bits of math that you use in your day-to-day life.So, how does Boolean algebra work? And when do you use it? Stay tuned because those are exactly the questions we’ll be talking about today .. 90003 90006 How Do Computers Add? 90007 90002 If you’ve been following along for the past few weeks, you know that we’ve been on something of a quest. We started by talking about the basics of counting in binary, we then talked about some tricks that thinking in binary make possible, and last week we learned how to perform binary addition.What do these topics have in common? Obviously, they’re all about binary numbers. While binary numbers are certainly fun and interesting in their own right, they are not actually what we’ve been questing for. Instead, our goal is to understand the math that allows an inanimate object like a calculator to perform the rather intelligent task of adding two numbers-a feat which binary numbers play a key role in. 90003 90002 Similarly, while today’s topic-Boolean algebra-is perfectly interesting in its own right, keep in mind that our main goal is to ultimately understand the math that allows computers and calculators to do addition.And in order to do that, we need to first figure out what we can do with Boolean algebra. 90003 90006 What Is Boolean Algebra? 90007 90002 So, what is Boolean algebra? Well, for our purposes, we can think of Boolean algebra as a type of math that deals with bits instead of numbers. What does that mean? Well, as we’ve learned, a bit (which is shorthand for «binary digit») can have a value of either 1 or 0. In Boolean algebra, a binary value of 1 is interpreted to mean «true» and a binary value of 0 means «false.»Which means that Boolean algebra can equivalently be thought of as a particular type of math that deals with true and false values-aka truth values-instead of numbers. What kind of things can we do to these truth values? 90003 90006 Pages 90007.

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о