Измерение косинуса фи: Nothing found for Koefficient-moshhnosti-cos-%25cf%2586-ponyatie-fizicheskij-smysl-izmerenie

Содержание

Измерение коэффициента мощности | Электролаборатория ЦентрЭнергоЭкспертизы

Для всех потребителей электроэнергии экономические вопросы никогда не теряют своей актуальности, именно поэтому каждый из них озабочен повышением КПД собственной сети энергопотребления. Важным параметром, характеризующим такую электрическую сеть, является потребляемая мощность, собственно то, за что приходится регулярно платить поставщикам электроэнергии.

Из школьного курса физики мы знаем, что величина электрической мощности на активных нагрузках выражается произведением напряжения и тока, однако выражение это справедливо лишь в отношении постоянного тока, в цепях переменного тока оно приемлемо разве что в качестве мгновенного показателя.

Стоимость работ

В сетях переменного тока приходится учитывать реактивные составляющие приемников электроэнергии с емкостным или индуктивным характером. Именно они порождают реактивную мощность – основную причину потерь электроэнергии.

Таким образом, если рассматривать конкретную электрическую цепь, то суммарная мощность ее потребления складывается из активной и реактивной составляющей, связанных между собой коэффициентом мощности.

Суть и пути повышения коэффициента мощности

На активной нагрузке, как и при постоянном токе, напряжение по фазе совпадает с током и потребляемая мощность равна полезной или активной мощности. Электрические емкости (конденсаторы) и индуктивности имеют свойство накапливать энергию, что оборачивается в сетях, где присутствует переменный ток неизбежным сдвигом фазы между напряжением и током на реактивной нагрузке с емкостной или индуктивной составляющей.

В математическом понимании полная электрическая мощность и ее полезная составляющая связаны отношением второй к первой, именуемым коэффициентом мощности, который фактически равен косинусу угла сдвига фазы. Благодаря этому вторым названием коэффициента мощности принято считать cos ϕ.

Коэффициенты мощности, точнее их величины лежат в пределах 0 – 1. При значении коэффициента равным единице, вся потребляемая мощность идет на выполнение полезной работы, такие показатели характерны для ламп накаливания или ТЭНов. Низкому коэффициенту соответствуют электрические цепи, с большим расходом электроэнергии впустую, характерным примером можно считать электродвигатель, работающий на холостом ходу.

Для повышения эффективности электрических сетей используют корректоры коэффициента мощности, результатом повышения cos ϕ можно считать:

  • снижение энергетических потерь;
  • нормализацию нагрузок на питающие линии;
  • рациональное использование возможностей источников питания.

Практически коррекция коэффициента реализуется путем введения в электрические цепи дополнительных элементов, например последовательного включения дросселя или посредством специальных схем. Но прежде чем приступать к корректировке реактивной мощности конкретного оборудования необходимо измерить cos ϕ.

Методы измерения коэффициента мощности

Измерения косинуса фазового сдвига можно производить разными способами, как прямыми, так и косвенными. Наиболее простым способом будет использовать измеритель коэффициента мощности, именуемый фазометром. Значение cos ϕ он выдает в десятых долях единицы, причем с указанием характера реактивной нагрузки (индуктивная или емкостная). Косвенные измерения можно провести при помощи трех измерительных приборов:

  • амперметра;
  • ваттметра;
  • вольтметра.

Ваттметром измеряется активная мощность потребляемая нагрузкой, которая потом делится на произведение показаний вольтметра с амперметром измеренные на входе цепи. Результатом деления будет cos ϕ.

Учитывая важность определения коэффициента в снижении энергетических затрат все измерения и корректировки следует доверять специализированным электроизмерительным лабораториям.

Прибор для измерения косинуса фи Э1600 0-1-0 cos F, цена 978 грн.

год изготовления: 80…89 г.

примечание: — упаковка (вид):

Фазометр Э1600 предназначен для измерений коэффициента мощности в трехфазных сетях частотой 50Гц, 60Гц и 400Гц при равномерной нагрузке фаз и симметричном напряжении.


    Подключение последовательных цепей прибора Э1600 (Э160) осуществляется через измерительные трансформаторы тока с вторичной обмоткой  на 5А или 1А, либо через измерительные трансформаторы тока с  вторичной обмоткой на 5А. либо через промежуточные трансформаторы тока И1820 с коэффициентом трансформации 5/1. Диапазон измерений cosφ 0емк — 1 — 0инд.
    Параметры прибора Фазометры Э1600 приведены в табл. 1.

    Время установления показаний не превышает 3с. Изменение показаний прибора фазометр Э1600, вызванное отклонением температуры окружающего воздуха от нормальной на каждые 10К, соответствует 0,2 допускаемой основной погрешности. Допускаемая дополнительная погрешность прибора под влиянием внешнего магнитною поля индукцией 0.5мТл частотой, одинаковой с частотой тока, протекающего по измерительным цепям, не превышает 0,4 допускаемой основной погрешности.

    Мощность, потребляемая каждой последовательной цепью прибора Э1600, при номинальном токе и частоте 50Гц и 60 Гц не превышает 5Вт, при частоте 400Гц — 10Вт. Мощность, потребляемая параллельной цепью прибора, при номинальном напряжении и частоте 50Гц, 60Гц и 400Гц не превышает 8Вт.
    Система прибора электромагнитная с подвижной частью на  кернах, с круговой шкалой. Масса 2,3кг. Наработка на отказ не менее 33300ч. По устойчивости к климатическим воздействиям прибор соответствует ГОСТ.
    Климатическое исполнение — обычное и тропическое (Э1600Т).
 
    Таблица 1. Параметры прибора фазометр Э1600

Тип прибора Номинальное значение Номинальная частота Включение прибора (параллельная цепь)
  напряжения тока    
Э1600 380В 1,5А 50Гц
Через трансформатор напряжения 380/127

Частично без упаковки, изготовитель: …

Оптовым покупателям и постоянным клиентам скидки.

Ватт-метр + статистика /Power Energy Meter Watt Voltage Amps

Очередной Ватт-Метр в копилку сайта.
Был куплен за 16,24 $ на Али, сейчас его стоимость 17,09. Приехал за 25 дней, трек код кетаец не зажал. Упаковка, белая коробка просто обмотана двумя слоями пупырки и обтянута прозрачной плёнкой.

Коробка и иструкция


Качество исполнения корпуса на высоком уровне, внутрь пока не заглядывал(болты под треугольную отвертку, придётся изготовить).

Абсолютный нонейм за исключением надписи на инструкции — DEM1499.

Память энергозависимая(сзади вставляются две батарейки-таблетки типа LR44/AG13), помнит стоимость киловатта и время.
Инструкция кстати весьма качественная, на английском языке.

Характеристики

Входное/выходное напряжение: 230В/50Гц
Максимальный ток нагрузки: 16 Ампер
Диапазон напряжения: 190-270в
Текущий диапазон измерений: 0,01-19,999А
Диапазон мощности: 1 — 3680 W
Показания частоты: 46-65 Гц
Точность: 0,5 W


Отображает в текущем времени, показания переключаются независимо кнопками H/+ и M/-
Напряжение в сети и текущая стоимость набежавших ваттов

Тыц


Текущее потребление тока и общее время измерения

Тыц


Кстати время тикает только тогда когда есть потребление.
Максимальный ток за всё время и просто время

Тыц


Текущее потребление Ватт и количество набежавших Ваттов

Тыц


Максимальные Ватты за период измерения и стоимость одного Ватта

Тыц


Ток перегрузки и общая стоимость

Тыц


Частота и общая стоимость

Тыц


Параметр для расчёта(плавает) реактивной нагрузки и общая стоимость

Тыц


Есть также что-то на подобие статистики на 7 дней недели. В виде уровней на каждый день, цена деления меняется в диапазоне от 1 до 15 кВатт.
Также возможно задать второй тариф, ночной.
При сбрасывание замеров время и стоимость кВатта не стираются.
После нескольких дней непрерывной работы, корпус слегка тёпленький.
А вот что внутри:

Провел замер с использованием 100 Ваттного паяльника.
Мультиметр MASTECH MS8200G намерял 220В против 215В девайса(не могу сказать что доверяю своему мультиметру хоть он и не из самых дешевых).
По амперам они сошлись(мультметр 0,420А, девайс в среднем 0,415А).
Измеренный максимум 95,5 Ватт, в среднем 88.

Утюг Филипс 2400 Ватт (с маркировкой на корпусе от 2000 до 2400 Ватт) показал 1700 Ватт максимум при напряжение 205 Вольт и 8 Амперах.

Паяльник 40 Ватт выдал 32.
Ноутбук+внешний HDD в среднем 55.

Плюсы:
+ качественный корпус
+ наличие памяти на настройки
+ весьма широкий диапазон по вольтам(для меня актуально ибо иногда в розетке бывает и 180В)
+ Измеряет как активную так и реактивную мощность
+ Двухдиапазонное измерение
+ Очень плотно сидящая вилка
+ Хорошие углы обзора у дисплея

Минусы:
— Бликующее стекло на дисплее
— Отсутствие подсветки, глаз не напрягает только ну при очень хорошем освещение
— Малоинформативная статистика на 7 дней, лучше бы была цифровая индикация а не черточки.

Конфигурация измерений измерителя Cos-Phi

Измеритель

Cos-Phi — это рабочий измеритель коэффициента мощности для сети переменного тока, который измеряет фазовый сдвиг между напряжением и током на электрической нагрузке. В этом случае измеритель cos-Phi включает в себя перекрестно-катушечный прибор электродинамического типа.

Для серии измерителей cos-Phi можно увидеть на рисунке ниже:

Рисунок 51. Измеритель Cos-Phi

Описание измерителя cos-Phi GB количество контуров P и Q равно количеству, в котором катушка P последовательна с сопротивлением R, а катушка Q включена последовательно с сопротивлением C, так что ток через катушку Q предшествует ток через катушку 90 ° P P.Если измеритель cos-Phi работает в сети с резистивной нагрузкой, ток, протекающий по катушке P, будет в фазе с током, протекающим по фиксированной катушке AB, так что крутящий момент перекрестной катушки = 0.

Затем движущаяся стрелка калибруется, cos-Phi = 1. Но если нагрузка чисто реактивная (L или C). Ток через катушку Q будет эквивалентен катушке AB, а разность фаз с катушкой P составляет 90 градусов в результате поперечного (напряжения), перемещающегося таким образом, что катушка Q формирует новое положение, перпендикулярное AB. катушка обозначается cos φ = 0.Далее игла переместится на φ градусов. Если ток нагрузки I смещается на φ градусов к нагрузке.

Направление стрелки по часовой стрелке обозначается (LAG) или предшествует. А против часовой стрелки будет обозначено (LEAD) или оставлено позади. Может быть прочитано на шкале показаний измерителя cos φ.

A. Тип мощности Тип переменного тока
Для получения более подробной информации о типе электроэнергии, ниже описан треугольник мощности следующим образом.

Угол между вектором активной мощности и полной мощностью — это угол сдвига фаз, а соотношение между двумя векторами называется коэффициентом мощности нагрузки (cos φ).

Таким образом, cos φ = =

Sin φ =
Где:
В = напряжение источника (вольт)
I = проточный ток (в амперах)
P = активная мощность (ватт)
Q = реактивная мощность (ВАР)
S = Псевдо мощность (ВА)

Б. Повышенный коэффициент мощности за счет расчета емкости конденсатора
Попытка минимизировать фазовый сдвиг между током и напряжением (увеличить коэффициент мощности) состоит в увеличении емкости конденсатора параллельно нагрузке, потому что, как мы знаем, ток протекание по емкости противоположно току, протекающему по индуктивной нагрузке, так что реактивный ток был бы меньше, и если бы можно было ожидать, что он будет равен нулю. Как известно, реактивная мощность:
QC = P (Tan φ 1 — Tan φ 2)
Где:
P = V. I. Cos φ
и
Q = V. I (Tan φ 1)

Тогда получаем XC =

Тогда значение C =

Сравнение

— классическое измерение cos-phi Gossen Metrawatt USA

Сравнение — классическое измерение cos-phi и измерение коэффициента мощности (PF) и коэффициента мощности (LF)

Измерение коэффициента мощности как cos phi

Коэффициент мощности — это чистое соотношение, которое рассчитывается из отношения P / S.

Измеряемая переменная «cos phi», традиционно используемая вместо коэффициента мощности (P / S), по существу является результатом ранее использовавшейся измерительной технологии: раздельное измерение активной мощности и полной мощности, необходимых для определения коэффициента мощности с последующим делением P / S (= коэффициент мощности) ранее не выполнялся из-за больших метрологических усилий с обычными преобразователями cos-phi.

В этих традиционных преобразователях аппаратное измерение фазового сдвига тока и напряжения (угол phi, расстояние между нулевыми переходами тока и напряжения) используется в качестве замены, что намного проще в реализации.Соответствующие преобразователи обычно выдают выходной сигнал, который линейно пропорционален углу фи (а не cos фи) (например, -20 мА … 0 … 20 мА).
Требуемая функция косинуса реализуется на шкалах последующих устройств путем соответствующего нелинейного деления шкалы (прогрессия шкалы пропорциональна косинусной кривой, рис. 1).


1) нелинейная шкала 2) линейная шкала

Основным преимуществом этого метода до сих пор была простая и недорогая реализация устройства.

Недостатки обусловлены двумя причинами:
— С одной стороны, последующее подключение индикаторов или устройств оценки представляет трудности, которые допускают только линейную взаимосвязь между входом и дисплеем (пример цифрового дисплея: здесь желаемая косинусная характеристика не совпадает в большинство типов оборудования, что приводит к неверным истолкованиям).
— С другой стороны (и это важный аспект) результат измерения верен только для неискаженных изгибов. Для искаженных сигналов измерение даст неверные результаты (искажения приведут к дополнительным пересечениям нуля, поэтому расстояние между точками пересечения нуля тока и напряжения больше не определяется только фазовым сдвигом).

Однако, если граничные условия этого измерения (например, чистая синусоидальная форма измеряемых величин) четко распознаны и учтены, метод все еще можно использовать сегодня, даже если идеальных условий в сетях практически больше нет, так что замена классического (описанного выше) измерения «cos-phi».


Измерение коэффициента мощности PF и коэффициента мощности LF

Микропроцессорная технология, используемая в преобразователях нескольких измерений (M1004, M563, DME4…) позволяет перейти от измерения углового дифференциала к измерению истинного коэффициента мощности. Чтобы прояснить отход от традиционного измерения «cos-phi», в новой методике измерения были введены термины «коэффициент мощности» (PF) и коэффициент мощности (LF).

По сравнению с измерением угловой разницы, оба измеренных значения обеспечивают линейную зависимость между измеряемой переменной и аналоговым выходным сигналом преобразователя (рис. 2). Кроме того, из-за типа измерения гармоники возрастают. до 16-й гармоники.

Коэффициент мощности PF используется для определения физически и математически точного cos phi как отношения активной мощности к полной мощности. Для него знак определяется знаком активной мощности (положительный для опорной мощности, отрицательный для выходной мощности, сама полная мощность беззнаковая).
Коэффициент мощности PF, таким образом, предоставляет информацию о поставке и артикуле.

PF = P w / S

Однако наиболее частым требованием на практике является определение типа нагрузки (индуктивная или емкостная).Это учитывается измеряемой переменной LF (для коэффициента мощности).

В отличие от PF, коэффициент мощности LF определяет не направление потока энергии, а тип нагрузки. Так что утверждение явно зависит только от типа нагрузки (а не от направления потока энергии), в правило расчета включается только количество активной мощности (P). Сам знак получается при измерении реактивной мощности фазы основной волны (по определению, знак положительный для индуктивной нагрузки и отрицательный для емкостной).
Затем рассчитывается LF следующим образом.

LF = sgn Qn * | P w | / П с

(индуктивное: Q + на опорном, Q- на выходе)
(емкостное: Q- на опорном, Q + на выходе)

Обратите внимание, что из-за абсолютного значения активной мощности измеряемая переменная LF может использоваться только для одного направления потока энергии.

В случае, если требуется четырехквадрантное измерение коэффициента мощности, следует использовать коэффициент мощности, а индикацию типа нагрузки следует получать от монитора предела реактивной мощности (установить предел, например, на 0 мА).

Калибровка по приведенной выше формуле для НЧ приведет к скачку выходного сигнала (рис. 3). Чтобы противостоять этому, LF рассчитывается для калибровки устройства следующим образом:

LF = sign Qn * (1 — | P w | / P s) Из желаемого диапазона измерения, например, мыс. 0,5 … 1 … инд. 0,5 (т.е. -0,5 … 1 … + 0,5) в соответствии, например, с -20 … 0 … + 20 мА будет для внутреннего исполнения -0,5 … 0 … + 0,5. Таким образом, характеристика проходит через нулевую точку, поэтому ее можно воспроизвести без скачка (перегиба) (рис.4).

Рис.3 Рис.4

Комплексные числа: углы и полярные координаты

Комплексные числа: углы и полярные координаты Этот раздел предполагает знание тригонометрии. Для получения информации о тригонометрии см. Краткий курс Дэйва по адресу
 http://www.clarku.edu/~djoyce/trig/ 

Полярные координаты помогут нам понять комплексные числа геометрически.С одной стороны, обычные прямоугольные координаты x и y задают комплексное число z = x + yi , задав расстояние x справа и расстояние y вверх. С другой стороны, полярные координаты указывают ту же точку z , говоря, как далеко r от начала координат 0, и угол линии от начала координат до точки. Мы уже назвали расстояние r абсолютным значением | z | из z, , и мы увидели, как Теорема Пифагора дала связь между ним и x и y :

Далее нам нужно разобраться с углом.Мы будем следовать стандартному соглашению при указании угла . Согласно этому соглашению положительная ось x (наша действительная ось) находится под углом 0 °, положительная ось y (наша воображаемая ось) под углом 90 °, отрицательная x — угол оси 180 °, а отрицательная y — ось под углом 270 °. Кроме того, 360 ° можно складывать или вычитать под любым углом, и направление при этом не меняется. Так, 0 °, 360 °, 720 ° и –360 ° относятся к положительной оси x . Аналогично 270 ° и –90 ° оба относятся к отрицательной оси y .Угол 45 ° проходит по линии y = x вправо. И так далее.

Точка z может быть указана любой парой, парой прямоугольных координат, x и y , или парой полярных координат. координаты, r, , который | z |, и является arg ( z ). Поскольку любая пара определяет точку, каждая пара должна определять другую пару. Должно получиться четыре уравнения, связывающих их, и так оно и есть.Пифагорейский идентичность была упомянута выше, но другие требуют тригонометрии. Из того же треугольника мы используется для теоремы Пифагора, мы находим следующие три соотношения:

tan = y / x , x = r cos, и y = r sin.

Теперь, если мы применим эти отношения к нашему комплексному числу z = x + yi, , то мы получим альтернативное описание для z

Обратите внимание, что комплексное число cos + i sin имеет абсолютное значение 1, поскольку cos 2 + sin 2 равно 1 для любого угла. Таким образом, каждое комплексное число z является произведение действительного числа | z | и комплексное число cos + i sin.

Мы почти подошли к тому моменту, когда мы можем доказать последнее недоказанное утверждение предыдущего раздела об умножении, а именно, что arg ( zw ) = arg ( z ) + arg ( w ). Как и выше, мы принимаем arg ( z ) равным, а теперь пусть arg ( w ) будет. Потом,

z = | z | (cos + i sin) а также w = | w | (cos + i sin)

Нам нужно показать, что arg ( zw ) равен +.Другими словами

zw = | zw | (cos (+) + i sin (+))

Если мы воспользуемся формулами сложения для косинуса и синуса в одной критической точке, мы получим это. Вспомните из тригонометрии эти сложения формулы:

соз (+) = соз соз — грех грех

грех (+) = соз грех + грех соз.


Теперь мы готовы показать аргументы, добавленные в продукт zw.

Таким образом, arg ( zw ) равен +, как заявлено.

Ввод математики как текста: другие символы

Набор текста
форматирование
Только текст
форматирование
Банкноты
sin ( x ) грех (х) Заключите в скобки аргумент любой функции, включая синус и косинус.2) Если вы возводите синус в квадрат, включите синус. Если вы обдумываете аргументы, придайте им сил. Используйте круглые скобки, чтобы четко обозначить, что и куда идет.
sin (2 x ) грех (2x) Используйте круглые скобки, чтобы пояснить, что вы имеете в виду «синус 2 x », а не «квадрат синуса x ».
° градуса
°
*
Для обозначения «градусов» либо выпишите слово; используйте звездочку и объясните, что это означает; или же (на ПК), удерживая клавишу «ALT», введите «0176», чтобы вставить символ напрямую.
θ тета
@
т
Пока вы определяете себя, можно использовать «@» вместо «тета».В противном случае произнесите его по буквам или выберите латинскую букву, например «t».
β beta
ß
b
Вы можете (на ПК) вставить символ, похожий на «beta», удерживая клавишу «ALT» и набрав «0223» на цифровой клавиатуре. В противном случае напишите имя по буквам или замените в упражнении «бета» латинскими буквами.
π пи Не используйте «m» или «n» для обозначения «π», поскольку m и n — переменные, а π — число.Вместо этого произнесите имя по буквам. (И, пожалуйста, напишите это правильно. Это «пи», а не «пирог» или «пирог».) Возможно, вам будет полезно использовать круглые скобки, например, «sin [(2/3) (pi)]».
и и При написании комплексных чисел просто используйте «i» как обычно.
e e Натуральная экспонента e — широко известное значение, как и пи.У вас нет определения, что такое e в вашем сообщении.
цис ( x ) cos (x) + isin (x)
cis (x)
Не все знакомы с обозначением «цис». Если вы его используете, сначала определите его, чтобы они знали, что вы имеете в виду, что показано в первой строке.
∠A угол A
Если вы используете формат «знак меньше, название угла», определите, что вы имеете в виду.В противном случае вы оставите людей в недоумении, что именно меньше A .
м (∠A)
м (A)
размер A
м (A)
Если вы используете « м ( A )», укажите, что это означает «мера угла A ». (Часть выражения «угол» часто опускается. Не знаю почему.)
a ⊥ b
a & parallel; b
перп.к b
a параллельно к b
Укажите отношения «перпендикуляр» и «перпендикуляр».
м C n
C ( м , n )
m-select-n
mCn
C (m, n)
Большинство преподавателей знакомы с сокращением « m C n » для формулы для комбинаций, но не помешает определить его, если вы его используете.
м P n
P ( м , n )
м-перестановка-n
мПн
Большинство преподавателей знакомы с аббревиатурой « m P n » для формулы перестановок, но не помешает определить ее, если вы ее используете.
<2, 3> Для векторов можно использовать знаки «меньше» и «больше».

u-точка-v
u * v
Пока вы определяете звездочку для обозначения скалярного произведения, вы можете использовать это для расстановки точек на двух векторах. Используйте большие интервалы. Пока вы указали, что контекст — это векторы, стрелки можно игнорировать.

u-cross-v
u × v
Не используйте букву «X» между векторами, так как это будет ошибочно принято за третий вектор.(-1) Запишите транспонированную или инверсную матрицу, используя надстрочный индекс.
 [[1 2 3] 
[4 5 6]
[7 8 9]]
Матрицы практически невозможно отформатировать с помощью текста. Конструкция скобок, использующая внешние скобки для матрицы и внутренние скобки для строк, возникла из обозначений графического калькулятора.Обязательно скажите, что вы имеете в виду, и попробуйте использовать теги «CODE» или «PRE» или шрифт фиксированной ширины.
 || 1 2 3 | 
| 4 5 6 |
| 7 8 9 ||
Детерминанты также трудно отформатировать одним текстом. Используйте полосы (символ «вертикальная черта», показанный на клавиатуре в виде (возможно, прерывистой) линии, где-то над клавишей «Enter»), чтобы очертить строки.
| A | det (A)
| A |
Если вы используете обозначение столбца абсолютного значения для определителя, укажите, что вы имеете в виду.+] f (x) Сокращенное обозначение «предел» для «лимита» является стандартным. Затем заключите в скобки то, что к чему ведет, а затем укажите аргумент.
int [a, b] f (x) dx Аббревиатура int от «интеграл» довольно стандартна. Следуйте этому с пределами интегрирования (если есть), подынтегрального выражения и дифференциала.2 + 2) [x = 0,2] Чтобы указать пределы оценки, либо заключите их в скобки после выражения, которое вы оцениваете, либо укажите «оценивается между (этим) и (тем)».

1.3 Тригонометрические функции — Объем исчисления 1

Цели обучения

  • Преобразование угловых единиц между градусами и радианами.
  • Узнайте о треугольных и круговых определениях основных тригонометрических функций.
  • Напишите основные тригонометрические тождества.
  • Определите графики и периоды тригонометрических функций.
  • Опишите сдвиг синусоидального или косинусоидального графика из уравнения функции.

Тригонометрические функции используются для моделирования многих явлений, включая звуковые волны, колебания струн, переменный электрический ток и движение маятников. Фактически, почти любое повторяющееся или циклическое движение можно смоделировать с помощью некоторой комбинации тригонометрических функций.В этом разделе мы определяем шесть основных тригонометрических функций и рассмотрим некоторые из основных тождеств, связанных с этими функциями.

Тригонометрические функции позволяют нам использовать угловые измерения в радианах или градусах, чтобы найти координаты точки на любой окружности, а не только на единичной окружности, или найти угол, заданный точкой на окружности. Они также определяют соотношение сторон и углов треугольника.

Чтобы определить тригонометрические функции, сначала рассмотрим единичную окружность с центром в начале координат и точку на единичной окружности.Позвольте быть углом с начальной стороной, которая лежит вдоль положительной оси, и с конечной стороной, которая является отрезком линии. Угол в этом положении считается стандартным положением ((Рисунок)). Затем мы можем определить значения шести тригонометрических функций для в терминах координат и.

Мы видим, что для точки на окружности радиуса с соответствующим углом координаты и удовлетворяют

.

Значения других тригонометрических функций могут быть выражены через, и ((Рисунок)).

(рисунок) показывает значения синуса и косинуса под большими углами в первом квадранте. Из этой таблицы мы можем определить значения синуса и косинуса при соответствующих углах в других квадрантах. Значения других тригонометрических функций легко вычисляются по значениям и.

Оценка тригонометрических функций

Оцените каждое из следующих выражений.

Как упоминалось ранее, отношения длин сторон прямоугольного треугольника могут быть выражены через тригонометрические функции, вычисленные для любого из острых углов треугольника.Позвольте быть одним из острых углов. Позвольте быть длиной соседнего катета, быть длиной противоположного катета и быть длиной гипотенузы. Вписав треугольник в круг радиуса, как показано на (Рисунок), мы видим это и удовлетворяем следующим соотношениям с:

Рис. 4. Вписав прямоугольный треугольник в круг, мы можем выразить отношения длин сторон через тригонометрические функции, вычисленные в.

Строительство деревянного пандуса

Деревянный пандус должен быть построен так, чтобы один конец был на земле, а другой конец был наверху короткой лестницы. Если верх лестницы находится на высоте 4 фута от земли и должен быть угол между землей и пандусом, какой длины должен быть пандус?

Маляр хочет прислонить к дому 20-футовую лестницу. Если должен быть угол между основанием лестницы и землей, как далеко от дома следует разместить основание лестницы?

Тригонометрический идентификатор — это уравнение, включающее тригонометрические функции, которое справедливо для всех углов, для которых эти функции определены.Мы можем использовать тождества, чтобы помочь нам решить или упростить уравнения. Далее перечислены основные тригонометрические тождества.

Правило: тригонометрические идентичности

Взаимная идентичность

Пифагорейские тождества

Формулы сложения и вычитания

Формулы двойного угла

Решение тригонометрических уравнений

Для каждого из следующих уравнений используйте тригонометрическое тождество, чтобы найти все решения.

[показать-ответ q = ”501288 ″] Показать ответ [/ раскрыть-ответ] [скрытый-ответ a =” 501288 ″] а. Используя формулу двойного угла для, мы видим, что это решение

тогда и только тогда, когда

,

, что верно тогда и только тогда, когда

.

Чтобы решить это уравнение, важно отметить, что нам нужно разложить левую часть уравнения на множители, а не делить обе части уравнения на. Проблема с делением на состоит в том, что оно может быть нулем.Фактически, если мы разделим обе части уравнения на, мы упустим некоторые решения исходного уравнения. Разложив левую часть уравнения на множители, мы видим, что это решение этого уравнения тогда и только тогда, когда

.

С тех пор

,

и когда

, или,

заключаем, что набор решений этого уравнения равен

, и.

г. Используя формулу двойного угла для и обратное тождество для, уравнение можно записать как

.

Чтобы решить это уравнение, мы умножаем обе части на, чтобы исключить знаменатель, и говорим, что если удовлетворяет этому уравнению, то удовлетворяет уравнению

.

Однако здесь нужно быть немного осторожнее. Даже если удовлетворяет этому новому уравнению, оно может не удовлетворять исходному уравнению, потому что для удовлетворения исходного уравнения нам потребуется иметь возможность разделить обе части уравнения на. Однако, если, мы не можем разделить обе части уравнения на. Поэтому не исключено, что мы можем прийти к посторонним решениям.Итак, в конце важно проверить наличие посторонних решений. Возвращаясь к уравнению, важно, чтобы мы вычленили оба члена в левой части вместо того, чтобы делить обе части уравнения на. Факторизуя левую часть уравнения, мы можем переписать это уравнение как

.

Следовательно, решения задаются такими углами, что или. Решения первого уравнения равны. Решения второго уравнения равны. После проверки на наличие посторонних решений набор решений уравнения составляет

и.

Найдите все решения уравнения.

Решение

для

Подтверждение тригонометрической идентичности

Докажите тригонометрическое тождество.

Докажите тригонометрическое тождество.

Мы видели, что, когда мы путешествуем по единичной окружности, значения тригонометрических функций повторяются. Мы можем видеть эту закономерность на графиках функций. Позвольте быть точкой на единичной окружности и позвольте быть соответствующим углом.Поскольку угол и соответствуют одной и той же точке, значения тригонометрических функций at и at одинаковы. Следовательно, тригонометрические функции — это периодических функций . Период функции определяется как наименьшее положительное значение, такое, что для всех значений в области. Функции синуса, косинуса, секущей и косеканса имеют период. Поскольку функции тангенса и котангенса повторяются на отрезке длины, их период равен ((Рисунок)).

Рисунок 5. Шесть тригонометрических функций являются периодическими.

Как и в случае с алгебраическими функциями, мы можем применять преобразования к тригонометрическим функциям. В частности, рассмотрим следующую функцию:

.

В (рисунок) постоянная вызывает сдвиг по горизонтали или фазе. Фактор меняет период. Эта преобразованная синусоидальная функция будет иметь период. Фактор приводит к вертикальному растяжению в раз. Мы говорим «амплитуда». Константа вызывает вертикальный сдвиг.

Рисунок 6. График общей синусоидальной функции.

Обратите внимание на (Рисунок), что график представляет собой график смещенных влево единиц. Следовательно, мы можем писать. Точно так же мы можем рассматривать график как график сдвинутых вправо единиц и констатировать это.

Сдвинутая синусоида возникает естественным образом при построении графика количества часов дневного света в данном месте как функции дня года. Например, предположим, что город сообщает, что 21 июня — самый длинный день в году (15,7 часа), а 21 декабря — самый короткий день в году (8 часов). 3 часа. Можно показать, что функция

— это модель количества часов светового дня в зависимости от дня в году ((рисунок)).

Рис. 7. Часы дневного света как функция дня в году можно смоделировать с помощью смещенной синусоидальной кривой.

Построение графика преобразованной синусоидальной кривой

Нарисуйте график.

  • Обобщенная функция синуса

Для следующих упражнений преобразуйте каждый угол из градусов в радианы.Запишите ответ как кратное.

Решение

рад

Решение

рад

Решение

рад

Для следующих упражнений преобразуйте каждый угол из радиан в градусы.

6. рад

7. рад

8. рад

9. рад

10. рад

Оцените следующие функциональные значения.

11.

12.

13.

Решение

14.

15.

Решение

16.

Для следующих упражнений рассмотрим треугольник, прямоугольный треугольник с прямым углом под углом . а. Найдите недостающую сторону треугольника. б. Найдите шесть значений тригонометрической функции для угла при.При необходимости округлите до одного десятичного знака.

18.

20.

22.

Для следующих упражнений — точка на единичном круге. а. Найдите (точное) отсутствующее значение координаты каждой точки и b. найти значения шести тригонометрических функций для угла с конечной стороной, проходящей через точку. Рационализируйте все знаменатели.

24.

26.

Для следующих упражнений упростите каждое выражение, записав его в терминах синусов и косинусов, а затем упростите. Окончательный ответ не обязательно должен быть выражен только в терминах синуса и косинуса.

27.

Решение

28.

29.

Решение

30.

31.

Решение

32.

33.

Решение

34.

В следующих упражнениях убедитесь, что каждое уравнение является тождественным.

35.

36.

37.

38.

39.

40.

41.

42.

Для следующих упражнений решите тригонометрические уравнения на отрезке.

43.

Решение

44.

45.

Решение

46.

47.

Решение

48.

49.

Решение

50.

В следующих упражнениях каждый график имеет форму или, где.Напишите уравнение графика.

51.
Решение

52.
53.
Решение

54.

Для следующих упражнений найдите. амплитуда, b. период, и c. фазовый сдвиг с направлением для каждой функции.

55.

Решение

а. 1 б. c. ед. вправо

56.

57.

Решение

а. б. c. Без фазового сдвига

58.

59.

Решение

а. 3 б. 2 в. единиц слева

60.

61. [T] Диаметр колеса, катящегося по земле, составляет 40 дюймов. Если колесо вращается на угол, на сколько дюймов оно перемещается? Приблизительно с точностью до целого дюйма.

Решение

Приблизительно 42 дюйма

Решение

а. 0,550 рад / сек b. 0,236 рад / сек c. 0,698 рад / мин d. 1,697 рад / мин

64. [T] Всего 250 000 м 2 2 земли необходимо для строительства АЭС. Предположим, принято решение, что территория, на которой будет построена электростанция, должна быть круглой.

  1. Найдите радиус круглой области суши.
  2. Если площадь участка должна образовывать сектор круга под 45 °, а не весь круг, найдите длину изогнутой стороны.

66. [T] Частица движется по круговой траектории с постоянной угловой скоростью. Угловая скорость моделируется функцией. Определите угловую скорость в сек.

68. [T] Количество часов светового дня в северо-восточном городе моделируется функцией

. ,

где — количество дней после 1 января.

  1. Найдите амплитуду и период.
  2. Определите количество часов светового дня в самый длинный день года.
  3. Определите количество часов светового дня в самый короткий день в году.
  4. Определить количество часов светового дня через 90 дней после 1 января.
  5. Нарисуйте график функции для одного периода, начинающегося 1 января.
Решение

а. Амплитуда = 10; период = 24 б. c. 14 часов спустя, или 14:00. d.

70. [T] Функция моделирует высоту (в футах) прилива в часы после полуночи.Предположим, что сейчас полночь.

  1. Найдите амплитуду и период.
  2. Постройте график функции за один период.
  3. Какова высота прилива в 4:30 утра?

Малоугловая аппроксимация | Блестящая вики по математике и науке

Приближение малых углов повсеместно используется во всех областях физики, включая механику, волны и оптику, электромагнетизм, астрономию и многое другое. Ниже мы рассмотрим несколько хорошо известных примеров, чтобы проиллюстрировать, почему малоугловое приближение полезно в физике.

Простой маятник

Малые колебания простого маятника лучше всего моделировать в малоугловом приближении.

Небольшие колебания простого маятника являются основным примером в механике, где малоугловое приближение абсолютно необходимо для достижения любого полезного аналитического прогресса. Согласно вращательной форме второго закона Ньютона, крутящий момент τ \ tauτ на маятнике массой mmm под действием силы тяжести, когда он колеблется вокруг точки поворота на струне длиной \ ellℓ, равен

. 2 \ ddot {\ theta} \ подразумевает \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {\ ell} \ sin \ theta = 0, τ = Iα⟹ − ℓmgsinθ = mℓ2θ¨⟹θ¨ + ℓg sinθ = 0,

где θ \ thetaθ — угол между струной и вертикалью.

Решения этого уравнения движения могут быть найдены в терминах функций, называемых эллиптическими интегралами, с которыми трудно работать вручную. Однако, используя малоугловое приближение,

θ¨ + gℓsin⁡θ = 0 ⟹ θ¨ + gℓθ = 0. \ Ddot {\ theta} + \ frac {g} {\ ell} \ sin \ theta = 0 \ подразумевает \ ddot {\ theta} + \ frac {g} {\ ell} \ theta = 0.θ¨ + ℓg sinθ = 0⟹θ¨ + ℓg θ = 0.

Новое дифференциальное уравнение легко разрешимо. Решения имеют вид θ (t) = Acos⁡ (gℓt) + Bsin⁡ (gℓt) \ theta (t) = A \ cos \ left (\ sqrt {\ frac {g} {\ ell}} t \ right) + B \ sin \ left (\ sqrt {\ frac {g} {\ ell}} t \ right) θ (t) = Acos (ℓg t) + Bsin (ℓg t) для констант AAA и BBB в зависимости от начальные условия, успешно воспроизводящие колебательное поведение маятника.

Угловое расстояние в астрономии

Размер или расстояние между небесными телами в астрономии обычно записывается в терминах углового диаметра или видимого размера , то есть угла θ \ thetaθ между двумя телами, если смотреть с Земли. Если расстояние между двумя удаленными точками равно ddd, а средняя точка между ними находится на расстоянии DDD от Земли, то этот угол подчиняется соотношению

tan⁡θ2 = d2D. \ Tan \ frac {\ theta} {2} = \ frac {d} {2D}.tan2θ = 2Dd.

Диаграмма, соответствующая этой формуле, ниже:

Угловое расстояние между двумя далекими звездами, если смотреть с Земли

Используя малоугловое приближение, угловое расстояние можно переписать как

θ = dD. \ Theta = \ frac {d} {D} .θ = Dd.

Приближение полезно, потому что обычно угловое расстояние легче всего измерить в астрономии, а разница между углами настолько мала, что сам угол более полезен, чем синус.9 \ text {m}, d≈θD = (32 угл.мин) (60 угл.мин1∘) (360∘2π радиан) (1,44 × 1011 м) = 1,34 × 109 м,

с погрешностью менее 5% 5 \% 5%. □ _ \ квадрат □

8,4 × 1058,4 \ раз 10 ^ 58.8 \ text {m} 3,7 × 108 м от Земли. Что из следующего является наилучшим приближением диаметра Луны в метрах?

Однощелевая дифракция

При дифракции на одной щели свет, проходящий через барьер с щелью, превышающей одну длину волны света, имеет профиль интенсивности, измеренный за барьером, который показывает характерный рисунок пиков и впадин. Условие минимума в этом распределении интенсивности —

dsin⁡θ = mλ, d \ sin \ theta = m \ lambda, dsinθ = mλ,

, где ddd — ширина щели, θ \ thetaθ — угол к точке измерения от центра щели, λ \ lambdaλ — длина волны света, а mmm — ненулевое целое число.

Это условие можно переписать с точки зрения вертикального расстояния от центра экрана измерений, yyy, как показано на диаграмме выше. Предположим, что экран измерения находится на расстоянии DDD от барьера. Обычно считается, что DDD намного больше, чем ddd, и можно использовать малоугловое приближение для θ \ thetaθ. Тогда формула для минимумов интенсивности принимает вид

y = mλDd, y = \ frac {m \ lambda D} {d}, y = dmλD,

— удобное выражение для длины волны света, ширины щели и расстояния от барьера до экрана.

λad \ frac {\ lambda a} {d} dλa 2λda \ frac {2 \ lambda d} {a} a2λd 2λad \ frac {2 \ lambda a} {d} d2λa λda \ frac {\ lambda d} {a} aλd

В эксперименте по дифракции с одной щелью с шириной щели aaa, расстоянием ddd между барьером и измерительным экраном и светом с длиной волны λ \ lambdaλ, какова ширина центрального максимального пика?

KryssTal: Тригонометрия

KryssTal: Тригонометрия
Рассмотрим прямоугольный треугольник, показанный на схеме. a , b и c — стороны; φ — угол. Это греческая буква, произносимая как фи . Угол между сторонами a и b составляет 90 o , а угол — прямой . Сторона c , которая находится напротив прямого угла, называется гипотенузой (от греческого слова, означающего протяженность ). Пифагор (c582 до н.э. — c497 до н.э.) доказал то, что сейчас называется теоремой Пифагора , хотя она веками использовалась в древнем мире для строительства и измерения.Теорема может быть описана следующим образом: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Математически это записывается как a 2 + b 2 = c 2 Пример 1: Если прямоугольный треугольник имеет меньшие стороны длины 3 и 4. Какова длина гипотенузы?

Из теоремы Пифагора,

c 2 = a 2 + b 2 = 3 2 + 4 2 = (3 × 3) + (4 × 4) = 9 + 16 = 25

Если c 2 = 25, c = 5 .

Это знаменитый треугольник 3: 4: 5 , используемый при съемке и измерениях. Таких треугольников много (например, 5: 12: 13 ). Вы можете проверить, что 5: 12: 13 — прямоугольный треугольник, выполнив приведенный выше расчет.

Конечно, числа не обязательно должны быть целыми.

Пример 2: Прямоугольный треугольник имеет гипотенузу длиной 15,3 и одну из сторон равной 4,7. Найдите длину недостающей стороны.

Из теоремы Пифагора,

a 2 = c 2 — b 2 = 15,3 2 — 4,7 2 = (15,3 × 15,3) — (4,7 × 4,7) = 234,09 — 22,09 = 212

Если 2 = 212, a = 14,56 .


Площадь ( A ) прямоугольного треугольника определяется формулой A = ab / 2 Пример 3: Найдите площадь прямоугольного треугольника с более короткими сторонами длиной 4.3 и 6.4 соответственно.

Площадь задана по

A = ab / 2 = 4,3 × 6,4 / 2 = 13,76


Вернемся к схеме прямоугольного треугольника. Между сторонами a , b и c и углом φ существует ряд соотношений. Они называются тригонометрическими функциями .

Есть три основных тригонометрических функции.Они называются синус , косинус и касательная .

Синус угла φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Sin φ = a / c . Косинус угла φ определяется как длина смежной стороны (смежной с углом φ), деленная на гипотенузу.

Это записывается как

Cos φ = b / c . Касательная к углу φ определяется как длина противоположной стороны (противоположной углу φ), деленная на длину соседней стороны (смежной с углом φ).

Это записывается как

Tan φ = a / b . В таблице ниже показаны некоторые значения этих функций для различных углов.
Уголок Грех Cos Желто-коричневый
0 o 0,000 1.000 0,000
30 o 0,500 0.866 0,577
45 o 0,707 0,707 1.000
60 o 0,866 0,500 1,732
90 o 1.000 0,000 Бесконечный
Обратите внимание на следующее: Sin 0 o = Cos 90 o = 0 Sin 30 o = Cos 60 o = 0.500 Sin 45 o = Cos 45 o = 0,707 = 1 / (√2) Sin 60 o = Cos 30 o = 0,866 = (√3) / 2 Sin 90 o = Cos 0 o = 1 Между 0 o и 90 o : Синусы увеличиваются с 0 до 1,
Косинусы уменьшаются с 1 до 0,
Касательные увеличиваются от 0 до бесконечности.
Наконец-то, Cos (90 — X) = Sin (X)
Грех (90 — X) = Cos (X)
Значения тригонометрических функций (кроме 0 o , 30 o , 45 o , 60 o , 90 o ) не являются целыми числами, дробями или дробями.Они трансцендентны.
Три тригонометрические функции связаны. Sin φ / Cos φ = Tan φ Sin 2 φ + Cos 2 φ = 1 Примечание. Квадрат синуса угла, скажем (Sin φ) 2 , чаще записывается как Sin 2 φ. Эта форма применяется ко всем тригонометрическим функциям.
Пример 4: Докажите, что Sin φ / Cos φ = Tan φ

Используя определения тригонометрических функций

Sin φ / Cos φ = (a / c) / (b / c) = (a / c) × (c / b) = a / b = Tan φ

Пример 5: Докажите, что Sin 2 φ + Cos 2 φ = 1

Используя определения тригонометрических функций

Sin 2 φ + Cos 2 φ = (a / c) 2 + (b / c) 2 = (a 2 / c 2 ) + (c 2 / b 2 ) = (a 2 + b 2 ) / с 2 .

Но a 2 + b 2 = c 2 (из теоремы Пифагора)

Следовательно, (a 2 + b 2 ) / c 2 = c 2 / c 2 = 1 .

Значения тригонометрических функций для определенного угла можно найти в таблицах или на калькуляторе, как в случае с логарифмами. Мы будем использовать их сейчас в некоторых примерах.

Пример 6: Найдите длину сторон a и c в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных и перестановку, получаем

a = b × Tan φ = 12,6 × Tan 51 o = 12,6 × 1,235

Используя калькулятор или таблицы, мы можем найти, что Tan 51 o = 1,235 (с точностью до трех знаков после запятой).

12,6 × 1,235 = 15,56 м .

Значение c можно найти с помощью теоремы Пифагора. Здесь мы будем использовать определение косинусов и перестановок.Это дает

c = b / Cos φ = 12,6 / Cos 51 o = 12,6 / 0,629 = 20,03 м.

Пример 7: Найдите угол φ в следующем прямоугольном треугольнике.

Используя определение касательных

Tan φ = a / b = 9,6 / 7,4 = 1,297.

Используя таблицы или калькулятор, φ = 52,37 o .


До сих пор мы рассматривали прямоугольные треугольники.В общем, треугольники могут иметь любые углы. Рассмотрим треугольник ниже. Треугольник имеет три стороны: a , b и c . Есть три угла: A , B , C (где угол A — противоположная сторона a и т. Д.). Высота треугольника х .

Сумма трех углов всегда равна 180 o .

A + B + C = 180 o Площадь этого треугольника задается одной из следующих трех формул: Площадь = (a × b × Sin C) / 2 = (a × c × Sin B) / 2 = (b × c × Sin A) / 2

= b × h / 2

Отношения между тремя сторонами общего треугольника задаются правилом Правила косинуса .Есть три формы этого правила. Все равноценны. a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos A)

b 2 = a 2 + c 2 — (2 × a × c × Cos B)

c 2 = a 2 + b 2 — (2 × a × b × Cos C)

Пример 8: Покажите, что теорема Пифагора является частным случаем правила косинусов.

В первой версии правила косинуса, если угол A прямой, Cos 90 o = 0 .Затем уравнение сводится к теореме Пифагора.

a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos 90 o ) = b 2 + c 2 — 0 = b 2 + c 2

Отношения между сторонами и углами общего треугольника задаются правилом Правила синуса .

a / Sin A = b / Sin B = c / Sin C Пример 9: Найдите недостающую длину и недостающие углы в следующем треугольнике.

По правилу косинуса,

a 2 = b 2 + c 2 — (2 × b × c × Cos A)

а 2 = 6,3 2 + 4,6 2 — (2 × 6,3 × 4,6 × Cos 32 o )

а 2 = 39,69 + 21,16 — (2 × 6,3 × 4,6 × 0,848)

а 2 = 60,85 — 49,15 = 11,7

а = 3,42 м

Теперь, из правила синуса,

a / Sin A = c / Sin C

Это можно изменить на

Sin C = (c × Sin A) / a

Подставляя различные значения, получаем

Sin C = (c × Sin A) / a = (4.6 × Sin 32 o ) / 3,42 = (4,6 × 0,530) / 3,42 = 0,713

Следовательно,

C = 45,5 o

Окончательный угол можно найти из

A + B + C = 180 o

Rearanging,

B = 180 — A — C = 180 — 32 — 45,5

B = 102,5 o

Используя уравнения, описанные в этом эссе, можно узнать все о треугольнике всего из нескольких заданных битов информации.В приведенном выше примере мы вычислили, что a = 3,42 м, B = 102,5 o , С = 45,5 o .


Помимо трех уже определенных тригонометрических функций, есть еще три, которые являются их обратными. Секанс угла φ определяется как величина, обратная косинусу.

Это записывается как

сек φ = 1 / Cos φ Косеканс угла φ определяется как величина, обратная синусу.

Это записывается как

Csc φ = 1 / Sin φ . Котангенс угла φ определяется как величина, обратная касательной.

Это записывается как

Cot φ = 1 / Tan φ . Эти функции приведены здесь для полноты.
Прежде чем мы перейдем к серии тригонометрических функций, я хочу поговорить об углах.

Система градусов , используемая для нормальных угловых измерений, датируется вавилонскими временами.Полный круг составляет 360 o ; полукруг 180 o ; а прямой угол равен 90 o . Эти числа были использованы, потому что они содержат много факторов и просты в использовании. Градусы — это искусственные единицы.

Когда мы рассматриваем тригонометрические функции с математической точки зрения, нам нужна более фундаментальная единица измерения углов. Это Radian .

Радиан определяется так, что полный круг равен 2π радианам.
Полукруг равен π радианам, а прямой угол равен π / 2 радианам.
1 радиан = 57,3 o

1 o = 0,0175 радиан

радианы градусов Грех Cos Желто-коричневый
0 0 0 1 0
π / 2 90 1 0 Бесконечный
π 180 0 –1 0
3π / 2 270 –1 0 Бесконечный
360 0 1 0

Существует серия для оценки синуса и косинуса.Эти серии работают, только если угол φ находится в радианах. Оба ряда действительны для всех значений φ . Пример 10: Используйте ряд, чтобы найти значение Sin 45 o .

Преобразуйте угол в радианы:

45 o = π / 4 радиана

следовательно

Sin 45 o = Sin π / 4 = π / 4 — ((π / 4) 3 ) / 3! + ((π / 4) 5 ) / 5! -….

= 0,785 — 0,081 + 0,002 — … = 0,706

(до трех знаков после запятой).

Правильное значение, конечно же, 0,707.


Посмотрите еще раз на две вышеупомянутые серии. Теперь сравните их с экспоненциальным рядом ниже. Немного математики (не здесь!), Можно показать, что тригонометрические функции связаны с числом e ( 2,71828183 … ), основанием натурального логарифма) и мнимым числом i .

Отношения:

Эти уравнения можно объединить и записать в альтернативном формате под названием Формула Эйлера :

e = Cos φ + i × Sin φ Мы начали с прямоугольных треугольников и закончили с очень абстрактными уравнениями. Разве математика не увлекательна? Пример 11: Каково значение e ?

Используя формулу Эйлера и помня, что Sin π = 0 и Cos π = -1 (см. Таблицу выше):

e = Cos π + (i × Sin π) = -1 + (i × 0) = -1

Эти числа обсуждаются далее в эссе «Введение в числа».

© 2000, 2009 KryssTal

Введение в различные типы чисел: реальные, мнимые, рациональные, иррациональные, трансцендентные. Введение в алгебру и способы решения простых, одновременных и квадратных уравнений. Серия, разработанная Исааком Ньютоном, которая используется для расчетов. Подробнее об индексах: корни и полномочия. Факториалы. Комбинации. Индекс и база. Определены логарифмы.База 10 и база e. Использование логарифмов в расчетах. Ряды для логарифмов. Как решать уравнения, содержащие синусы, косинусы и касательные. Сферическая тригонометрия — это тригонометрия треугольников, нарисованных на сфере.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *