Как найти площадь сечения: Найти площадь сечения цилиндра. Примеры того, как вычислить площадь цилиндра

Как рассчитать площадь поперечного сечения

Если вам интересно, что такое площадь поперечного сечения трехмерных объектов, эта статья будет для вас информативной. Здесь вы также найдете список формул для поперечных сечений различных геометрических объектов.

Геометрия — это изучение форм, поверхностей и характеристик самого пространства. Большая часть геометрии школьного уровня сосредоточена на изучении различных трехмерных объектов и их свойств.

Хотите написать для нас? Что ж, мы ищем хороших писателей, которые хотят распространять информацию. Свяжитесь с нами, и мы поговорим …

Давайте работать вместе!

Площадь — это числовое измерение площади плоской поверхности. Обычно он измеряется в квадратных метрах, квадратных сантиметрах или квадратных футах.

Определение

Поперечное сечение любого объекта — это пересечение плоскости с этим трехмерным объектом, причем плоскость перпендикулярна самой длинной оси симметрии, проходящей через него. Площадь этой плоскости пересечения называется площадью поперечного сечения объекта.

Если вы когда-либо разрезали овощ пополам, вы уже знаете, что такое поперечное сечение. Плоскость ножа, прорезающего овощ, как морковь, создает поперечный срез предмета. Площадь одного такого тонкого ломтика, сделанного перпендикулярно оси симметрии овоща, называется площадью поперечного сечения.

Как рассчитывается?

Чтобы узнать площадь поперечного сечения любого трехмерного объекта, нужно сначала понять, какова его форма.Чтобы узнать форму, нужно сначала узнать ось симметрии объекта. Затем нарисуйте схему объекта вместе с осью симметрии. Нарисуйте плоскость, перпендикулярную оси симметрии, и посмотрите, какова форма пересечения. С технической точки зрения это называется орфографической проекцией объекта.

Изобразите форму плоскости пересечения на отдельной диаграмме. В зависимости от формы сечения формула расчета его площади будет разной.Если это квадрат, круг или треугольник, расчет прост, но если это сложная форма, вам, возможно, придется разбить ее на более простые для целей расчета. Зная размеры объекта, вы легко сможете рассчитать сечение.

Формулы

Концепция поперечного сечения или площади любого объекта находит применение в технике.Просто перечислите некоторые из вышеперечисленных формул в таблице и приклейте их перед своим рабочим столом. Когда у вас будет время, просто просматривайте формулы, и в кратчайшие сроки вы запомните их все.

Получить план линий из SAC немного сложно … вам нужно посмотреть на множество хороших кораблей, чтобы определить это.Первое решение — сделать передние этажи плоскими, U или V.

Площадь поперечного сечения цилиндра

Здесь представлена ​​формула, необходимая для вычисления площади поперечного сечения цилиндра. Сопровождающие разработанные примеры должны помочь вам понять его использование.

Одним из моих любимых предметов изучения геометрии было вычисление площади и объема различных трехмерных объектов. Это важный математический предмет, который находит применение в технике. Каждый геометрический объект отличается своей отчетливой формой.Это характеризуется различной площадью поверхности, объемом и площадью поперечного сечения этих объектов.

Какова площадь поперечного сечения цилиндра?

Хотите написать для нас? Что ж, мы ищем хороших писателей, которые хотят распространять информацию. Свяжитесь с нами, и мы поговорим …

Давайте работать вместе!

При анализе различных геометрических форм одной из наиболее важных характеристик является площадь поперечного сечения. Поперечное сечение — это перпендикулярное сечение любого геометрического объекта, которое берется перпендикулярно самой длинной оси, проходящей через него.Цилиндр можно определить как трехмерную поверхность, созданную равноудаленными точками от отрезка прямой, простирающегося в пространстве. Отрезок водопроводной трубы — это пример объекта цилиндрической формы.

Поперечное сечение цилиндра должно быть перпендикулярно самой длинной оси, проходящей через центр цилиндра. Представьте себе круглый объект, такой как труба, и разрезаете его перпендикулярно по длине. Какой будет форма поперечного сечения? Учитывая, что цилиндр имеет две круглые грани на обоих концах, форма поперечного сечения обязательно должна быть кругом. Тонкий поперечный срез цилиндра будет кругом, и поэтому формула площади поперечного сечения цилиндра будет такой же, как формула для площади круга.

Формула

Итак, вот формула:

Площадь поперечного сечения цилиндра = π x R2

, где π — постоянная величина (= 3,14159265), которая представляет собой отношение длины окружности к диаметру круга, а R — радиус цилиндра. Итак, все, что вам нужно знать, чтобы рассчитать площадь поперечного сечения, — это его радиус.Квадрат радиуса, умноженный на π, даст вам значение площади поперечного сечения. Единица площади поперечного сечения будет зависеть от единицы длины, используемой для измерения радиуса. Поскольку π безразмерно, единицей измерения площади может быть метр ² , см ² или даже фут ² .

Решенный пример

Задача : Рассмотрим цилиндр радиусом 3 метра и высотой 6 метров. Какова будет площадь поперечного сечения этого цилиндра
Решение: Используя приведенную выше формулу для расчета, значение площади поперечного сечения будет:

Площадь поперечного сечения = π x (3 метра) 2 = 3. 14159265 x 9 = 28,2743385 м2

Узнаем как правильно определить площадь сечения цилиндра, конуса, призмы и пирамиды? Формулы

На практике часто возникают задачи, которые требуют умения строить сечения геометрических фигур различной формы и находить площади сечений. В данной статье рассмотрим, как строятся важные сечения призмы, пирамиды, конуса и цилиндра, и как рассчитывать их площади.

Объемные фигуры

Из стереометрии известно, что объемная фигура совершенно любого типа ограничена рядом поверхностей. Например, для таких многогранников, как призма и пирамида, этими поверхностями являются многоугольные стороны. Для цилиндра и конуса речь идет уже о поверхностях вращения цилиндрической и конической фигур.

Если взять плоскость и пересечь ею произвольным образом поверхность объемной фигуры, то мы получим сечение. Площадь его равна площади части плоскости, которая будет находиться внутри объема фигуры. Минимальное значение этой площади равно нулю, что реализуется, когда плоскость касается фигуры. Например, сечение, которое образовано единственной точкой, получается, если плоскость проходит через вершину пирамиды или конуса. Максимальное значение площади сечения зависит от взаимного расположения фигуры и плоскости, а также от формы и размеров фигуры.

Ниже рассмотрим, как рассчитывать площади образованных сечений для двух фигур вращения (цилиндр и конус) и двух полиэдров (пирамида и призма).

Цилиндр

Круговой цилиндр является фигурой вращения прямоугольника вокруг любой из его сторон. Цилиндр характеризуется двумя линейными параметрами: радиусом основания r и высотой h. Ниже схематически показано, как выглядит круговой прямой цилиндр.

Для этой фигуры существует три важных типа сечения:

• круглое;
• прямоугольное;
• эллиптическое.

Эллиптическое образуется в результате пересечения плоскостью боковой поверхности фигуры под некоторым углом к ее основанию. Круглое является результатом пересечения секущей плоскости боковой поверхности параллельно основанию цилиндра. Наконец, прямоугольное получается, если секущая плоскость будет параллельна оси цилиндра.

Площадь круглого сечения рассчитывается по формуле:

S₁ = pi*r²

Площадь осевого сечения, то есть прямоугольного, которое проходит через ось цилиндра, определяется так:

S₂ = 2*r*h

Сечения конуса

Конусом является фигура вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. Конус имеет одну вершину и круглое основание. Его параметрами также являются радиус r и высота h. Пример конуса, сделанного из бумаги, показан ниже.

Видов конических сечений существует несколько. Перечислим их:

• круглое;
• эллиптическое;
• параболическое;
• гиперболическое;
• треугольное.

Они сменяют друг друга, если увеличивать угол наклона секущей плоскости относительно круглого основания. Проще всего записать формулы площади сечения круглого и треугольного.

Круглое сечение образуется в результате пересечения конической поверхности плоскостью, которая параллельна основанию. Для его площади справедлива следующая формула:

S₁ = pi*r²*z²/h²

Здесь z — это расстояние от вершины фигуры до образованного сечения. Видно, что если z = 0, то плоскость проходит только через вершину, поэтому площадь S₁ будет равна нулю. Поскольку z < h, то площадь изучаемого сечения будет всегда меньше ее значения для основания.

Треугольное получается, когда плоскость пересекает фигуру по ее оси вращения. Формой получившегося сечения будет равнобедренный треугольник, сторонами которого являются диаметр основания и две образующие конуса. Как находить площадь сечения треугольного? Ответом на этот вопрос будет следующая формула:

S₂ = r*h

Это равенство получается, если применить формулу для площади произвольного треугольника через длину его основания и высоту.

Сечения призмы

Призма — это большой класс фигур, которые характеризуются наличием двух одинаковых параллельных друг другу многоугольных оснований, соединенных параллелограммами. Любое сечение призмы — это многоугольник. В виду разнообразия рассматриваемых фигур (наклонные, прямые, n-угольные, правильные, вогнутые призмы) велико и разнообразие их сечений. Далее рассмотрим лишь некоторые частные случаи.

Если секущая плоскость параллельна основанию, то площадь сечения призмы будет равна площади этого основания.

Если плоскость проходит через геометрические центры двух оснований, то есть является параллельной боковым ребрам фигуры, тогда в сечении образуется параллелограмм. В случае прямых и правильных призм рассматриваемый вид сечения будет представлять собой прямоугольник.

Пирамида

Пирамида — это еще один многогранник, который состоит из n-угольника и n треугольников. Пример треугольной пирамиды показан ниже.

Если сечение проводится параллельной n-угольному основанию плоскостью, то его форма будет в точности равна форме основания. Площадь такого сечения вычисляется по формуле:

S₁ = S_o*(h-z)²/h²

Где z — расстояние от основания до плоскости сечения, S_o — площадь основания.

Если секущая плоскость содержит вершину пирамиды и пересекает ее основание, то мы получим треугольное сечение. Для вычисления его площади необходимо обратиться к использованию соответствующей формулы для треугольника.

Площадь сечения — Справочник химика 21

[c. 183]

    Для определения числа проходов и массы наплавленного мет алла требуется узнать площадь сечения швов, которая представляет собой сумму площадей элементарных геометрических фигур их составляющих. [c.182]

    Площадь сечения одностороннего стыкового шва, выполненного без зазора, можно определить по форму ге [c.182]

    Определяем площадь сечения наплавленного металла в зависимости от формы сечения наплавленного металла по формуле (5.10). Скорость перемещения дуги (м/ч) [c.188]

    Расход жидкости (дебит галереи) Q получается из (7.12) умножением на площадь сечения потока Вк. [c.206]

    F — площадь сечения поршня, м -, [c.31]

    Составим уравнение энергетического баланса для систем жидкость -пористая среда, рассматривая для простоты одномерный поток жидкости в направлении оси х. Выделим в пористой среде цилиндрический элемент длиной с/х и площадью сечения со. Если и и соответственно внутренняя энергия единицы массы жидкости и скелета, то левую часть соотношения (10.40) можно записать в виде [c.318]

    Запишем закон Дарси (2.11) через функцию Лейбензона (2.55). Для этого умножим правую и левую части уравнения (2.11) на плотность флюида р(р) и на площадь сечения со (5)  [c.62]

    Объем реактора равен произведению площади сечения Р на высоту Ь  [c.151]

    Рассмотрим процесс вытеснения, происходящий в прямолинейном тонком горизонтальном образце (рис. 8.1), представленном однородной и изотропной пористой средой, т. е. его пористость т и проницаемость к постоянны. Координата х отсчитывается вдоль образца, направление течения-горизонтальное. Поперечное сечение образца (площадь сечения обозначим со) предположим достаточно малым, так что давление и насыщенность можно считать постоянными по сечениям. Давление р в водяной и нефтяной фазах считаем одинаковым в силу пренебрежения капиллярным давлением, обе фазы несжимаемы, температура постоянна.  [c.228]

    Математическая модель. Уравнения этой модели при условии изотермичности процесса находят из уравнений материального баланса для потока газа. Для составления их выделим в реакторе, имеющем высоту насыпного и рабочего слоев катализатора VI Ь ш площадь сечения Р, элемент объема длиной 1 (рис. 42). В соответствии с двухфазной моделью представим этот элемент в виде двух составляющих — одной для плотной фазы (индекс 1 ) — другой для фазы пузырей (индекс 2 ), Введем следующие обозначения  [c.121]

    Весовая скорость выражает количество килограммов газа (или жидкости), прошедшее в 1 час через единицу объема (1 л) или через единицу площади сечения (1 см ) данного аппарата, или, наконец, через данный агрегат в целом. В практике технологических расчетов к весовой скорости прибегают довольно часто, так как эта величина очень удобна для расчетов, производимых с газами, меняющими во время движения свои температуру и объем она также упрощает расчет процессов, которые протекают с изменением агрегатного состояния продуктов и т. д. Из определения объемной и весовой скорости следует, что [c.18]

    Эти электрофильтры предусмотрены для новых фосфорных заводов. Представляется целесообразным заменить ими устаревшие конструкции на всех действующих предприятиях, что позволяет улучшить очистку печных газов и уменьшить затраты труда на очистку оборудования. Предполагается в дальнейшем цилиндрические осадительные электроды заменить пластинчатыми, активная площадь сечения которых больше, что дает возможность повысить пропускную способность и увеличить межремонтный пробег (до 100 суток) электрофильтров.  [c.77]

    Однако несмотря на то, что проходное сечение по газу в лабиринтном уплотнении принимается не менее площади сечения факельного ствола, в нем может создаваться значительное сопротивление при аварийных внезапных больших сбросах газов. При этом могут возникнуть значительные динамические нагрузки, что может привести к разрушению факельного ствола. [c.219]

    Входное устройство рассматривается совместно с входным регулирующим аппаратом (ВРА). При расчете входного устройства необходимо сначала определить параметры потока в сечении н, причем такой расчет выполняется в нескольких местах и может быть использован также для других сечений. Поэтому решение системы уравнений, позволяющих найти статические параметры потока по известным полным р Т , площади сечения Р и массовому расходу вещества С, оформляется в виде процедуры. Исходная система уравнений имеет вид  [c.183]

    Площадь сечения стыкового шва с V- образной разделкой и с по,цваркой (рис. 5.15) определяется как сумма геометрических фигур [c.182]

    Г — площадь сечения поршня или плунжера, м , равная — где О — диаметр поршня (плунжера), м  [c.100]

    I — площадь сечения поршневого штока, м , равная — —, 1 Де [c.100]

    Условие прочности укрепления выреза состоит в следующем расчетная площадь поперечного сечения металла стенки Гд, удаленного вырезом, должна компенсироваться за счет площади сечения избыточного над расчетным металла стенки корпуса Р, патрубка и площади поперечного сечения металла укрепляющего кольца 2- Условие прочности укрепления выреза в этом случае имеет вид 1  [c.77]

    Для аппарата с переменной по высоте площадью сечения (см. например, рис. 85) период собственных колебаний в секундах определяют по формуле [c.106]

    Площадь сечения стержней рассчитывают, учитывая возможность коррозии. [c.126]

    Отмеченное выше другое преимущество ПНК — возможность ор — гани ации высокоплотного жидкостного орошения — исключительно важно для эксплуатации высокопроизводительных установок вакуум — ной или глубоко вакуумной перегонки мазута, оборудованных колонной большого диаметра. Для сравнения сопоставим потребное количество жидкостного орошения примени — тельно к вакуумным колоннам про — тивоточного и перекрестноточного типов диаметром 8 м (площадью сечения 50 м ). При противотоке для обес течения даже пониженной плот — ностч орошения 20 м /м ч требуется на орошение колонны 50×20=1000 м /ч жидкости, что техр[ически не просто осуществить. При этом весьма сложной проблемой становится организация равномерного распределения такого количества орошения по сочению колонны. [c.197]

    Иногда порядок расчета кожухогрубчатых теплообменников изменяют. В этом случае в интересах интенсификации процесса теплообмена сначала определяют размеры корпуса аппарата, а потом производят расчет трубчатки. Это предпринимается для того, чтобы, независимо ог числа трубок в трубном пучке, создать оптимальные условия теплоотдачи в межтрубном пространстве, задавшись необходимой для данного расхода теплоносителя площадью сечения межтрубного пространства. Скорость течения теплоносителя внутри трубок в этом случае (а следовательно, и значение коэффициента теплоотдачи в трубках) может корректироваться изменением числа ходов по трубному пространству аппарата. При этом увеличение числа ходов в теплообменном аппарате, имеющем определенное число трубок, приводит к у.меньшению числа трубок в одном ходе, а следовательно, к увеличению скорости течения теплоносителя в них. В многоходовых теплообменниках все количество жидкости, поступающее в трубное пространство, проходит сначала одну группу трубок, затем при помощи перегородок, отлитых или заваренных в крышках аппарата, поворачивается и поступает в другую группу трубок и т. д. (фиг. 108). [c.210]

    При образовании трещин в качестве дополнительного сравнительного количественного показателя принимают процентное отношение суммарной длины трещины к длине шва или площадь трещины к площади сечения шва. За количественный показатель сгойкости против трещин принимают температуру подогрева, при которой уже не образуется трещин.  [c.176]

    Зная площадь сечения сварного шва штощадь сечения первого и последующих проходов, можно найти общее число проходов [c.184]

    Наряду с пористостью т иногда вводится понятие просветности п, определяемой для каждого сечения, проходящего через данную точку, как отношение площади со активных пор в сечении ко всей площади сечения со  [c.12]

    Расчет укрепления б. шзко расположенных отверстий выполняют сначала как для отдельных отверстий по формулам (75)—(84), а затем проверяют, чтобы половина требуемой по расчету площади сечения металла для укрепления приходилась на простенок между патрубками п смежггые сечения стенок патрубков (рис. 57, контур /). [c.80]

Площадь сечения швеллера: сортамент, таблица

Стальной швеллер – вид фасонного стального проката П-образного поперечного сечения. Для изготовления этой металлопродукции используют углеродистые, низколегированные, коррозионностойкие стали. Повысить коррозионную стойкость изделий из «черных» сталей позволяет цинкование или окрашивание. По способу производства швеллер разделяется на горячекатаный и гнутый. В зависимости от этого, различается и внешний вид изделий. Наружные углы горячекатаного профиля имеют четкие очертания, у гнутого они закруглены.

Сортамент горячекатаного швеллера

В соответствии с ГОСТом 8240-89, выпускают профиль с уклоном внутренних граней полок «У» и с параллельными гранями – «П». Выпускаются одинаковым сортаментом. Расчет площади сечения швеллера, представленной в таблице ГОСТа, является усредненным и производится по средней плотности стали, равной 7,85 кг/м3.

Таблица площади поперечного сечения горячекатаных изделий

Сортамент гнутого швеллера

Гнутый швеллер отличается точностью геометрических размеров и равномерной толщиной стенок. Это объясняется тем, что профилегибочное оборудование служит не только для придания требуемого профиля, но и исправления некоторых дефектов заготовки. Сортамент равнополочных изделий определяется ГОСТом 8278-83. В зависимости от материала, используемого для изготовления этой металлопродукции, колеблется стандартная высота стенки:

• углеродистая кипящая и полуспокойная сталь – 25-410 мм;
• спокойная углеродистая и низколегированная – 25-310 мм.Стальной швеллер – вид фасонного стального проката П-образного поперечного сечения. Для изготовления этой металлопродукции используют углеродистые, низколегированные, коррозионностойкие стали. Повысить коррозионную стойкость изделий из «черных» сталей позволяет цинкование или окрашивание. По способу производства швеллер разделяется на горячекатаный и гнутый. В зависимости от этого, различается и внешний вид изделий. Наружные углы горячекатаного профиля имеют четкие очертания, у гнутого они закруглены.

Сортамент горячекатаного швеллера

В соответствии с ГОСТом 8240-89, выпускают профиль с уклоном внутренних граней полок «У» и с параллельными гранями – «П». Выпускаются одинаковым сортаментом. Расчет площади сечения швеллера, представленной в таблице ГОСТа, является усредненным и производится по средней плотности стали, равной 7,85 кг/м3.

Таблица площади поперечного сечения горячекатаных изделий

Сортамент гнутого швеллера

Гнутый швеллер отличается точностью геометрических размеров и равномерной толщиной стенок. Это объясняется тем, что профилегибочное оборудование служит не только для придания требуемого профиля, но и исправления некоторых дефектов заготовки. Сортамент равнополочных изделий определяется ГОСТом 8278-83. В зависимости от материала, используемого для изготовления этой металлопродукции, колеблется стандартная высота стенки:

• углеродистая кипящая и полуспокойная сталь – 25-410 мм;
• спокойная углеродистая и низколегированная – 25-310 мм.

Уравнения трубы

Поперечное сечение внутри участка трубы

Внутреннее поперечное сечение трубы можно рассчитать как

A _i = π (d _i /2) ²

= π d _i ² /4 (1)

где

A _i = внутреннее сечение трубы (м ² , дюйм ² )

d _i = внутренний диаметр (м, дюйм)

Площадь поперечного сечения стенки трубы

Площадь поперечного сечения стенки — или площадь материала трубопровода — можно рассчитать как

A _м = π (d _o /2) ² — π (d _i /2) ²

= π ( d _o ² — d _i ² ) / 4 (2)

где

A _м = площадь поперечного сечения стенки трубы (м ² , дюйм ² )

d _o = внешний диаметр (м, дюйм)

Вес пустых труб

Вес пустых труб на единицу длины можно рассчитать как

w _p = ρ _м A _м

= ρ _м ( π (d _o /2) ² — π (d _i / 2) ² )

= ρ _м π (d _o ² — d _i ² ) / 4 (3)

где

w _p = вес пустой трубы на единицу длины (кг / м, фунт / дюйм)

ρ _s = плотность материала трубы (кг / м ³ , фунт / дюйм ³ )

Вес жидкости в трубах

Вес жидкости в трубах на единицу длины можно рассчитать как

w _l = ρ _л A

= ρ _л π (d _i /2) ²

= ρ _l π d _i ² /4 (4)

где

w _l = вес жидкости в трубе на единицу длины трубы (кг, фунт)

ρ _л = плотность жидкости (кг / м ³ , фунт / дюйм ³ )

Масса of Трубы, заполненные жидкостью

Вес трубы, заполненной жидкостью на единицу длины, можно рассчитать как

w = w _l + w _p (5)

где

w = вес трубы и жидкости на единицу длины трубы (кг, фунт)

Площадь наружной поверхности труб

Площадь наружной поверхности стальных труб на единицу длины можно рассчитать как

A _o = 2 π (d _o /2)

= π d _o (6)

где

A _o = внешняя площадь трубы — на единицу длины трубы (м ² , в ² )

Площадь внутренней поверхности труб

Площадь внутренней поверхности стальных труб на единицу длины можно рассчитать как

A _i = 2 π (d _i /2)

= π d _i (7)

где

A _i = внутренняя площадь труба — на единицу длины трубы (м ² , в ² )

Расчет площади поперечного сечения

Расчет площади поперечного сечения

Детали

Последнее обновление: 18 августа 2017 г. , 06:31

Использование

Мы предлагаем здесь инструмент gromacs, который можно использовать для расчета площади поперечного сечения мембранного белка (или аналогичного включения) в мембране.Схематично показано на следующем рисунке:

Подробнее см. Документ (укажите его, если вы используете этот код):

Скомпилируйте его как любой инструмент, созданный с помощью шаблона gromacs. Затем просто запустите его в обычном режиме:

g_de density3Darea -f traj.trr -s topol.tpr

Для этого расчета требуются две группы (2 — это ответ на вопрос « Сколько групп? »): первая включает все небелковые шарики, вторые — протеиновые шарики.С -sl вы можете изменить размер сетки 3D плотности. В вашем каталоге должен быть файл electrons.dat, даже если он не используется (это глупо и должно быть исправлено!).

Профиль области получается в area.xvg (три столбца имеют одинаковые номера по историческим причинам, это тоже следует исправить). Его можно визуализировать в 3D, открыв файл proteinformDENS.dat с помощью rasmol, выбрав «Цвета»> «Температура» и «Режим плиты».

Если вы хотите рассчитать изменение механической энергии бислоя из-за включения, как это сделано в публикации, вам необходимо рассчитать профиль давления вне включения.Это можно сделать с помощью сценария, подобного этому:

Линия выше вычисляет профиль среднего бокового давления вне белка (эта идея должна быть описана в публикации).

proteinformDENS.dat и 3Dpp.dat (трехмерное поле давления, формат ascii) должны быть выходными данными из g_de density3Darea.Шаг сетки должен быть точно таким же.

За дополнительной информацией обращайтесь к Самули Оллила (Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов. У вас должен быть включен JavaScript для его просмотра.).

Замечание

Код НЕ удаляет вращение или трансляцию, и белок должен быть целиком внутри коробки во всех кадрах. Это можно сделать следующим образом (разумеется, для адаптации к каждой системе):

Определение площади поперечного сечения сосуда пороговым методом в радоновом пространстве

Abstract

Площадь поперечного сечения кровеносного сосуда определяет его сопротивление и, таким образом, является регулятором местного кровотока.Однако поперечные сечения проникающих сосудов в коре могут быть некруглыми, а расширение и сужение могут изменить форму сосудов. Мы показываем, что наблюдаемые изменения формы сосуда могут привести к большим ошибкам в расчетах потока при использовании одного измерения диаметра. Из-за этих изменений формы типичные подходы к измерению диаметра, такие как полная ширина на полувысоте (FWHM), которые зависят от одной оси диаметра, будут генерировать ошибочные результаты, особенно при вычислении магнитного потока.Здесь мы представляем автоматизированный метод — пороговую обработку в радоновом пространстве (TiRS) — для определения площади поперечного сечения выпуклого объекта, такого как проникающий сосуд, наблюдаемый с помощью двухфотонной лазерной сканирующей микроскопии (2PLSM). Изображение с пороговым значением преобразуется обратно в пространство изображения, и смежные пиксели сегментируются. Метод TiRS аналогичен измерению FWHM по нескольким осям и более устойчив к шумам и изменениям формы, чем методы FWHM и пороговой обработки. Мы демонстрируем превосходную точность метода TiRS с помощью измерений диаметра сосудов in vivo 2PLSM.

Ключевые слова: алгоритм , визуализация, проникающие сосуды

Введение

Проникающие артериолы являются контрольными точками кортикального кровотока ^{1, 2, 3, 4, 5} , что делает их важными регуляторами доставки кислорода к активной нервной ткани. ^{6, 7} Динамика изменений диаметра проникающих артериол может отличаться от поверхностных сосудов, ⁸ , следовательно, точное измерение дилатационных ответов проникающих сосудов имеет решающее значение для интерпретации функциональных гемодинамических сигналов. ⁹ Двухфотонная лазерная сканирующая микроскопия (2PLSM) использовалась для измерения диаметра проникающих артериол. ^{4, 8} Размер сосуда обычно количественно определяется с использованием измерения полной ширины на полувысоте (FWHM). ^{10, 11} Неявное предположение метода FWHM состоит в том, что сосуды круглые или почти круглые, хотя в некоторых исследованиях эта некруглость принималась во внимание при количественном определении размеров сосудов. ^{3, 12} Тщательная анатомическая количественная оценка показала, что кровеносные сосуды по всему телу, ¹³ , включая сонные артерии ^{14, 15} и коронарные вены, ¹⁶ , имеют явно некруглое поперечное сечение, составляющее единую ось диаметра. не подходит для измерения площади поперечного сечения.Важно отметить, что если очень большие сосуды, которые пропускают значительную часть или даже всю циркулирующую кровь, имеют неоптимальную форму, вероятно, что более мелкие сосуды также будут отклоняться от округлости. Кроме того, недооценивается тот факт, что форма поперечного сечения кровеносных сосудов может изменяться при расширении и сужении. ^{17, 18, 19} Другие факторы, такие как механические соединения с соседней тканью ²⁰ и изменения формы эндотелиальных клеток ²¹ , также могут исказить поперечное сечение сосуда от округлости и способствовать изменениям формы во время изменений сосудистый тонус.Отклонения от округлости поперечного сечения просвета сосуда увеличивают сопротивление сосудов, ²² и широко постулируются для учета аномальных показателей вязкости крови в посткапиллярных венулах ²³ и расхождений в расчетных измерениях потока через сосуды. ^{24, 25, 26} Хотя плоскость изображения, которая не перпендикулярна длинной оси сосуда, приведет к некруглому поперечному сечению, она не может учесть изменения формы, наблюдаемые в этих исследованиях.

Вместо того, чтобы предполагать округлость и проводить измерения по одной оси для определения площади поперечного сечения сосуда, предпочтительно определять площадь поперечного сечения сосуда независимо от формы. Одним из способов измерения площади является установка порога ^27, для создания двоичной маски и количественное определение площади внутри маски. Однако алгоритмы пороговой обработки часто очень чувствительны к пороговому значению и плохо работают с изображениями с низким отношением сигнал-шум без более сложных этапов предварительной фильтрации и обработки. ²⁸ Поскольку в физиологических условиях проникающие и восходящие сосуды имеют выпуклое поперечное сечение, мы хотели бы использовать это ограничение, чтобы помочь нашим алгоритмам автоматической обработки изображений. Мы используем преобразование Радона, ²⁹ , в котором изображение преобразуется в серию проекций под разными углами путем взятия интегралов по параллельным линиям. Для получения надежных оценок изменения площади поперечного сечения сосудов, ориентированных перпендикулярно поверхности коры, мы разработали новый метод — пороговую обработку в радоновом пространстве (TiRS). Метод TiRS аналогичен измерению FWHM по многим осям изображения, например кадру из фильма. Вкратце, мы преобразуем изображения в пространство Радона, пороговое значение изображения в пространстве Радона, затем преобразуем изображение обратно в пространство изображения, где площадь проникающего сосуда оценивается количественно после второго порогового значения и обнаружения смежных пикселей. Выполнение пороговой обработки в пространстве Радона имеет преимущество перед пороговой обработкой в ​​пространстве изображения, поскольку выполнение операции в пространстве Радона использует глобальную структуру изображения, а не только один пиксель.В отличие от преобразования Хафа, ³⁰ , которое использовалось для обнаружения параметризованных форм, ³¹ метод TiRS предназначен для количественной оценки площади непараметрических (но выпуклых) объектов. Мы показываем, что алгоритм TiRS более устойчив к шуму, изменениям размера и формы, чем FWHM и стандартные методы пороговой обработки, и может применяться к реальным данным.

Материалы и методы

Моделирование

Вся обработка и моделирование выполнялись в Matlab (Mathworks, Натик, Массачусетс, США).Внутри моделируемого сосуда интенсивность пикселей была получена из экспоненциального распределения со средним значением, равным единице. После добавления различных количеств экспоненциально распределенного шума изображение было свернуто с 2-мерным гауссовым образом с x и y s.d. одного пикселя.

Для простоты сравнения метода FWHM, который выводит диаметр или радиус, с методами TiRS и чистого порогового значения, которые имеют область вывода, мы использовали тождество следующим образом: radius =. Все моделирование повторяли 100 раз для определения s.d. При моделировании области интереса (ROI) были установлены в два раза больше диаметра используемого круга.

Пороговая обработка в пространстве радона

Преобразование Радона берет изображение и выполняет линейные интегралы вдоль параллельных линий, ориентированных под углом θ , с расстоянием до ближайшей точки вдоль линии от центра изображения, заданным как ρ . варьируется для охвата всего изображения, а θ распространяется в диапазоне от 0 до 180 градусов.

Алгоритм этой процедуры приведен ниже и показан на рисунке 3A. Цифры ниже соответствуют изображениям на Рисунке 3 на различных этапах обработки.

(1) Начнем с кадра фильма M [ x , y ], содержащего проникающий сосуд. Чтобы сократить время вычислений с данными in vivo и избежать помех от соседних сосудов, прямоугольная область интереса, охватывающая интересующий сосуд, выбирается вручную. Вычитается средняя интенсивность пикселей, усредненная по всей области интереса.

(2) Преобразование Радона этого изображения R [ ρ , θ ] вычисляется с θ = [0, π ) с шагом π /180 радиан (один градус) ( Рисунок 3C, вверху). Для этой операции использовалась команда Matlab radon (набор инструментов обработки изображений).

(3) Для каждого угла θ _p , R масштабируется между 0 и 1, чтобы получить нормализованное преобразование радона R _norm :

(Рисунок 3C, средний ). Это преобразование масштабирования позволяет нам использовать единый порог для всех углов.

(4) Для каждого угла θ _p находим FWHM R _norm [ ρ , θ _p ], то есть минимум и максимум ρ , ρ _— и ρ ₊ , где R _норма [ ρ , θ _p ] соответственно превышает и опускается ниже порогового значения C _Радон .Это аналогично операции FWHM в пространстве изображения. Эмпирическим путем мы обнаружили, что установка C _Radon между 0,3 и 0,5 эффективно сегментирует изображение. Мы использовали C _Radon = 0,35 для моделирования и измерений, показанных в этой статье. R _norm [ ρ , θ _p ] имеет такой порог: R _th [ ρ , θ _p ] = 1 для ρ _— < ρ < ρ ₊ и R _th [ ρ , θ _p ] = 0 для ρ < ρ _— и ρ ₊ < ρ (рис. 3B, внизу).Конечный результат этого преобразования заключается в уменьшении амплитуды любых пикселей за пределами центральной непрерывной формы.

(5) R _th [ ρ , θ ] преобразуется обратно в пространство изображения с использованием обратного преобразования Радона, что дает M _IR [ x , y ] (Рисунок 3B, справа). Для этого преобразования использовалась функция панели инструментов Matlab «iradon» с окном Хэмминга для уменьшения высокочастотного шума.

(6) Порог We M _th [ x , y ] = H ( M _IR [ x , y ] — c ), где H — функция Хевисайда, а c — постоянная, обычно в диапазоне от 0,1 до 0,3. Мы использовали 0,2 для моделирования и измерений, показанных в этой статье. Затем количественно оценивается область, ограниченная внешней границей самой большой смежной области пикселей (с использованием 8-связности, т. е. пиксели по диагонали друг от друга могут быть смежными).Это необходимо для того, чтобы исключить любые пиксели, которые ложно ниже этого порога. Аналогичная процедура используется в чистом алгоритме пороговой обработки (описанном ниже).

Чистый алгоритм пороговой обработки

Параметры для чистого порогового алгоритма были выбраны для оптимизации точности в условиях от нуля до низкого уровня шума (сигнал / шум ~ 3).

(1) Начнем с кадра фильма M [ x , y ], содержащего проникающий сосуд. Вычитается среднее значение по всем изображениям.

(2) Изображение фильтруется с помощью медианного фильтра 3 × 3 пикселя. Это служило для уменьшения влияния пикселей с очень высокой интенсивностью, повышая точность определения порога.

(3) Значения пикселей в ROI нормализованы, чтобы они лежали между 0 и 1 с помощью преобразования.

(4) Интенсивность пикселей преобразуется в двоичную форму в соответствии с преобразованием:

, где H — функция Хевисайда, а c _bt — порог для преобразования в двоичную форму. Для показанного здесь моделирования c _bt было установлено на 0.35, за исключением рисунка 3, где 0,25 и 0,45 использовались для нижнего и верхнего порогов соответственно.

(5) Как и в случае метода TiRS, область берется как наибольшая непрерывная область пикселей (с использованием 8-связности).

Полная ширина на полувысоте

(1) Изображение было сначала отфильтровано с помощью фильтра медианных пикселей 3 × 3. Эта фильтрация снижает экстремальные значения и снижает шум при измерении диаметра.

(2) Единственная горизонтальная ось, проходящая через центр сосуда, использовалась для определения FWHM.Расстояние между крайними пикселями вдоль этой оси, которые в 0,5 раза больше максимума, было рассчитано как диаметр сосуда. Для измерений в форме эллипса выбран диаметр по горизонтальной оси. Это было сделано специально, чтобы подчеркнуть величину ошибки с произвольно выбранной осью в сосуде, который меняет форму.

Хирургия

Все хирургические и экспериментальные процедуры были выполнены в соответствии с рекомендациями NIH и одобрены Комитетом по уходу и использованию животных (IACUC) Университета штата Пенсильвания. Объектами двухфотонной визуализации были девять (шесть самцов) мышей C57 / BL6 в возрасте от 2 до 4 месяцев (Jackson Labs, Бар-Харбор, Мэн, США). Окна тонкого черепа были имплантированы над правой соматосенсорной корой после процедуры отполированных и усиленных окон тонкого черепа. ³² Вкратце, головной болт был приклеен к черепу, и три самонарезающих винта # 000 3/32 ″ (JI Morris, Southbridge, MA, USA) были ввинчены в череп и прикреплены к головному болту и черепу через стоматологический цемент. Площадь окна сначала утоняли до ~ 30 мкм м с помощью сверла № 7, а затем полировали зерном 3 f, затем 4 f (Convington Engineering, Redlands, Калифорния, США) каждые ~ 3 минуты.Покровное стекло №0 было прикреплено к полированной области окна цианакрилатом, а края герметизированы стоматологическим цементом. Животным позволяли восстанавливаться в течение 2 дней после операции, прежде чем они привыкли к установке визуализации за 15-минутный сеанс до четырех сеансов в день.

Двухфотонная визуализация

Изображения животных получали с помощью двухфотонного микроскопа, состоящего из микроскопа с подвижным объективом (Sutter Instruments, Новато, Калифорния, США) и лазера MaiTai HP (Spectraphysics, Маунтин-Вью, Калифорния, США), контролируемого программой MPScan. ³³ Для получения изображений использовались водно-погружные объективы 20 × 0,5 N.A. (Olympus, Center Valley, PA, США) или 20 × 1,0 N.A. (Olympus). Перед каждым сеансом визуализации животных ненадолго анестезировали изофлураном (2% в воздухе) и инфраорбитально вводили 50 мкл л (50 мг / мл) декстрана, конъюгированного с флуоресцеином (70 кДа; Sigma-Aldrich, Сент-Луис, Миссури, США. ) для визуализации сосудистой системы. Мышь не спала, а голова была зафиксирована ¹⁰ на вершине сферической беговой дорожки, оснащенной оптическим датчиком вращения для записи движения. ³⁴ Сеансы визуализации обычно длились около 2 часов. Сосуды снимались в течение ~ 20 минут со скоростью от 6 до 9 кадров в секунду. Сеансы визуализации проводились до 3 месяцев после первой операции. Поперечные сечения сосудов были изображены на 30–150 мкм м ниже мягкой оболочки.

Анализ данных

Все временные ряды сосудов были отфильтрованы с помощью 5-точечного медианного фильтра. Все указанные числа являются средними ± стандартное отклонение. если не указано иное. Все полосы погрешностей на графиках показывают стандартное отклонение. В представленном здесь анализе использовалось всего 15 артерий и 11 вен.Сосуды были выбраны из набора данных, собранных для другого набора экспериментов. Чтобы обеспечить справедливое сравнение между методами FWHM и TiRS, мы исключили сосуды, для которых метод FWHM, очевидно, не мог определить диаметр. Апостериорный расчет статистической мощности (вероятность ошибки 1- β ) расхождений потока и диаметра составил 0,84, а соотношение точности методов FWHM и TiRS на рисунке 6F было 0,99.

Проникающие сосуды меняют форму, поэтому расчет потока на основе измерения единичного диаметра сильно варьируется.( A ) Схема, показывающая расположение плоскости изображения и судна. ( B ) Два кадра из видеофильма об одной проникающей артериоле. Изображения были сняты с номинальной частотой кадров 9 Гц, 50 мкм м ниже pia. Оба кадра относятся к временным точкам, когда мышь была неподвижна. Моменты времени обозначены голубыми (30 секунд) и фиолетовыми (35 секунд) стрелками на ( C ) соответственно. Пурпурная ( D ₁ ) и зеленая ( D ₂ ) линии указывают оси, по которым рассчитывалась полная ширина на полувысоте (FWHM).Обратите внимание на некруглую форму сосуда. ( C ) Временные зависимости измеренного диаметра и расчетного потока проникающей артериолы, показанные в B методом FWHM. Верхний диаметр изменяется по двум осям, как показано в B . В этом сосуде диаметр колеблется больше по горизонтальной оси (пурпурный), чем по вертикальной оси (зеленый). В середине график отношения диаметров FWHM по двум осям ( D ₂ / D ₁ ), указывающий на то, что сосуд меняет форму с течением времени.Внизу, изменения потока, рассчитанные как пропорциональные (диаметру) ⁴ , сильно зависели от выбранной оси. ( D ) Соотношение диаметров двух осей рассчитано по D _{длинной} / D _{короткой} между 15 артериями (красные) и 11 венами (синие). Отношение диаметров отображается в зависимости от базового диаметра сосуда во время покоя. Соотношения всех сосудов, кроме одной жилы, значительно больше единицы (односторонний т -тест, P <0.05 Бонферрони), что указывает на значительную разницу между оценками, полученными по двум осям. Среднее значение D _{длинное} / D _{короткое} среди всех сосудов составило 1,22 ± 0,27. Медиана составила 1,12. ( E ) Нормализованная расчетная разница в коэффициенте магнитного потока для одних и тех же сосудов в D . Небольшая разница диаметров, измеренных по разным осям, может привести к огромной разнице в расчетных потоках. Нормированные оценочные коэффициенты потоков для всех судов были значительно больше 0 (односторонний т -тест, P <0.05 Бонферрони поправил). Среднее значение нормализованного расчетного коэффициента потока для всех сосудов составило 198 ± 371%, медиана - 58,1%.

Результаты

Изменения формы в проникающих сосудах приводят к большим ошибкам в расчетах потока с использованием измерения единичного диаметра

показывает кадры, взятые из 2PLSM-фильма одной проникающей артериолы в теменной коре бодрствующей мыши () во время стационарного периода нет движения. Этот сосуд демонстрирует явные изменения площади поперечного сечения и формы из-за спонтанных колебаний диаметра. ¹⁰ Мы количественно оценили некруглость, взяв две меры диаметра под перпендикулярными углами с использованием метода FWHM (пурпурные и зеленые линии соответственно). Соотношение двух диаметров со временем меняется (, в центре), указывая на изменение формы этого сосуда. Мы количественно оценили соотношение длинной оси / короткой оси, которые были размещены вдоль вертикальной и горизонтальной осей сосудов, как в примере (), в популяции проникающих артериол и восходящих венул (). Соотношение измеренных диаметров в этих сосудах существенно отличалось от 1 ().Если плоскость изображения не перпендикулярна оси сосуда, это приведет к незначительному искажению поперечного сечения сосуда. Абсолютную площадь поперечного сечения под углом можно рассчитать с помощью тригонометрии. Если угол ( θ ) между длинной осью сосуда и плоскостью изображения известен, изображение можно масштабировать на cos ( θ ) вдоль вытянутой оси изображения. На практике искажающие эффекты внеосевого изображения вряд ли будут вносить существенный вклад в некруглость, видимую здесь, поскольку отклонение под углом 10 градусов приведет к искажению на 2%.Мы также подчеркиваем, что изменения формы не могут быть вызваны неперпендикулярностью судна к плоскости изображения, и, поскольку движение в плоскости x — y минимально (<1 μ м), изменения маловероятны. происходит из-за движения плоскости z .

Эффекты некруглости и изменения формы становятся еще более выраженными, если мы оцениваем поток крови через сосуд, который контролирует местную оксигенацию тканей. ^{1, 2, 7, 8, 9} Согласно уравнению Пуазейля, поток жидкости через трубу с радиусом r пропорционален r ⁴ , хотя это, вероятно, будет нижней границей для зависимость расхода от диаметра. ^{35, 36} Последствия этой взаимосвязи между радиусом и магнитным потоком заключаются в том, что относительно небольшие изменения диаметра, будь то фактические или из-за шума измерения, будут иметь сильное влияние на расчетный поток. Чтобы продемонстрировать, насколько велико может быть влияние на расчетный поток, мы вычислили разницу в% среднего потока между двумя измерениями диаметра в популяции сосудов (). Процентные различия в потоке между оценками с использованием диаметров, измеренных по двум осям, были огромными (), почти 200%.Это показывает, что одна ось измерения диаметра вызывает недопустимо большую вариабельность как в измерениях диаметра, так и в расчетах кровотока.

Выбор оси может привести к огромным изменениям в расчетах диаметра и потока в зависимости от измеряемой оси. Чтобы устранить смещение и погрешность, присущие выбору одной оси диаметра, лучшим методом будет выполнение FWHM по всем возможным осям для получения среднего диаметра или площади. Вторая проблема заключается в том, что только небольшая часть возможных пикселей используется для расчета диаметра с использованием метода FWHM, и было бы предпочтительнее использовать метод, который может выполнять пространственное усреднение для уменьшения шума.

Пороговая обработка в радоновом пространстве Метод более точен и точен при измерении смоделированного диаметра проникающего сосуда

Чтобы естественным образом выполнить что-то вроде FWHM вдоль нескольких диаметров, мы будем использовать преобразование Радона. ²⁹ Пример преобразования Радона простого двоичного изображения овала при трех углах отсчета показан на. Преимущество выполнения этой операции в радоновом пространстве состоит в том, что расчет типа FWHM может быть легко выполнен под многими углами.

Преобразование Радона выпуклого объекта позволяет производить вычисления на полную ширину на полувысоте (FWHM) под множеством углов. Вверху слева двоичное изображение с ярким овалом. По часовой стрелке от верхнего правого угла показаны преобразования Радона этого изображения под углом 0, 45 и 90 градусов соответственно. Синие линии со стрелками показывают ширину преобразования выше половины максимального порога (FWHM). Преобразования были повернуты, чтобы лучше показать связь с исходным изображением.

В, мы проиллюстрируем шаги, задействованные в алгоритме TiRS (), и покажем выходные данные на различных этапах обработки.Цифры в прямоугольниках соответствуют номерам в углах изображений. Метки на стрелках обозначают этап обработки, выполняемый между изображениями. Подробный алгоритм изложен в методе. Вкратце, изображение, которое нужно сегментировать, содержит круг с радиусом 25 пикселей с центром в области интереса 100 × 100 пикселей (слева). Необработанное изображение преобразуется в пространство Радона (вверху), а амплитуда под каждым углом масштабируется так, чтобы лежать в пределах от 0 до 1 (, в середине). Изображение, преобразованное Радоном, затем подвергается пороговому значению (внизу) и преобразуется обратно в пространство изображения.Преобразованное изображение при двух разных уровнях шума показано в правом столбце. Чистый эффект пороговой обработки в радоновом пространстве заключается в усилении контраста краев. Вторая операция установления порога выполняется в пространстве изображения, и наибольшая смежная область пикселей определяется как сосуд. Важно отметить, что обнаруженная область относительно нечувствительна к точным значениям этих пороговых значений, в отличие от чистого алгоритма определения пороговых значений, который может быть очень чувствительным к точному выбранному значению ().Это демонстрирует, что в практически бесшумных условиях метод TiRS легко сегментирует изображение, позволяя легко количественно оценить площадь «сосуда».

Определение площади поперечного сечения проникающего сосуда с помощью пороговой обработки в радоновом пространстве более устойчиво к шуму, чем чистое пороговое значение или полная ширина на полувысоте (FWHM). На этом и последующих рисунках результаты метода определения порога в радоновом пространстве (TiRS) показаны красным цветом, чистое пороговое значение с низким порогом — коричневым, чистое пороговое значение со средним порогом — оранжевым, чистое пороговое значение с высоким порогом — зеленым, FWHM синий, а истинный результат — черная линия.Толстыми линиями показаны средние значения 100 прогонов, заштрихованные области ± одна стандартная ошибка. ( A ) Краткое описание алгоритма TiRS. Цифры в прямоугольниках соответствуют изображениям на каждом этапе обработки. Помеченные стрелки обозначают этапы обработки. ( B ) Слева, необработанные изображения с двумя разными уровнями шума, с наложенными границами обнаружения с использованием метода TiRS (красный) или чистого порогового значения (средний порог, оранжевый). Справа, преобразованное изображение после нормализации и определения порога в радоновом пространстве. ( C ) Необработанное изображение сверху слева в ( B ) на различных этапах обработки.Вверху, изображение, преобразованное Радоном. В центре изображение в радоновом пространстве после нормализации под каждым углом. Внизу: радон преобразуется после определения порога. ( D ) Влияние шума на точность метода TiRS, порога и FWHM. Вверху: измеренный радиус в зависимости от уровня шума для различных методов. Средний, с.д. измеренного радиуса, деленного на радиус для каждого из методов. Внизу, средняя абсолютная дробная ошибка для каждого из методов. Метод FWHM является наименее точным из всех методов.Для определенного порогового параметра и уровня шума чистый метод пороговой обработки может работать хорошо, но за пределами этого узкого диапазона параметров производительность быстро ухудшается. Метод TiRS дает наиболее точную и точную оценку размера судна при различных уровнях шума.

Затем мы сравнили влияние добавления шума к изображению на производительность алгоритма TiRS, FWHM и алгоритмов чистой пороговой обработки. Мы использовали экспоненциально распределенный аддитивный шум и количественно оценили точность, сравнив фактическую площадь круга с площадью, обнаруженной тремя алгоритмами (, вверху).При низком уровне шума все алгоритмы работали хорошо; однако по мере увеличения шума точность алгоритма FWHM и чистого порогового значения быстро ухудшалась. Дробная ошибка (sd / истинный радиус) для метода TiRS ниже, чем у других методов, когда отношение сигнал / шум выше 1. Дробная ошибка чистого метода пороговой обработки уменьшается, когда отношение шум / сигнал становится выше какое-то критическое значение, зависящее от порогового параметра. Это связано с тем, что чистый алгоритм пороговой обработки постоянно дает крайне неверную оценку площади сосуда, поскольку он неправильно сегментирует почти все изображение, как находящееся выше порогового значения (слева внизу).Это можно увидеть более четко, если мы посмотрим на среднюю абсолютную дробную ошибку (внизу). По мере увеличения шума метод FWHM постоянно завышает диаметр моделируемого сосуда. Метод чистого порога (со средним пороговым параметром) также претерпевает изменение около S / N = 1, где очень большие части порогового изображения были обнаружены как непрерывная область выше порогового значения, что привело к значительному завышению оценки площади сосуда. Это можно несколько смягчить, выбрав более высокий порог, но это приводит к неточности при более низких отношениях S / N ().На практике, когда реальный диаметр неизвестен, использование чистого метода пороговой обработки затруднено, так как небольшие изменения порогового параметра будут давать разные меры диаметра, и не будет ясно, какой из них правильный. Этот результат ясно показывает устойчивую производительность алгоритма TiRS по отношению к шуму и его превосходство над стандартными операциями FWHM и чистым пороговым значением.

Затем мы рассмотрим способность алгоритма TiRS точно обнаруживать круги разных размеров. Это актуально, поскольку проникающие корковые кровеносные сосуды сужаются и расширяются в естественных условиях, и наш алгоритм должен быть в состоянии обнаружить эти изменения площади поперечного сечения.Мы используем отношение сигнал / шум, равное 3, для этих симуляций в режиме, когда чистая пороговая обработка и измерения FWHM имеют сопоставимую точность с алгоритмом TiRS. В разделе мы отображаем зависимость производительности этих трех алгоритмов от размера обнаруживаемого круга. В, мы строим график зависимости измеренного выхода от фактического диаметра круга для всех трех методов. Все точно померили диаметр круга. Практически во всех условиях метод TiRS имеет более низкий уровень шума () и более точный (), чем алгоритм FWHM и чистые пороговые значения.Единственное исключение — для смоделированных судов с очень большими радиусами (> 40 пикселей), где средняя дробная ошибка несколько выше, чем при чистом пороговом алгоритме, из-за постоянного количества углов, используемых в Radon для всех размеров изображения. Для сосудов диаметром> 80 пикселей или около того, рекомендуется увеличить количество углов, чтобы обеспечить более точную реконструкцию. Эти проблемы очевидны только при диаметрах сосудов, намного превышающих диаметры, полученные при обычном увеличении, но требуют внимания при анализе реальных данных.

Точная количественная оценка площади поперечного сечения сосуда для сосудов разного размера методом пороговой обработки в радоновом пространстве (TiRS). Отношение сигнал / шум составляло 3. Толстыми линиями показаны средние значения 100 прогонов, заштрихованные области ± одна стандартная ошибка. ( A ) Измеренный радиус по сравнению с истинным радиусом для трех методов. ( B ) S.d. измеренного радиуса, нормированного на истинный радиус, эквивалентного коэффициенту вариации, что показывает, что метод TiRS имеет наименьшую вариабельность по всем диаметрам.( C ) Средняя абсолютная ошибка в зависимости от радиуса. Для сосудов большинства размеров метод TiRS имеет наименьшую абсолютную погрешность. Метод полной ширины на полувысоте очень плохо работает по всем параметрам.

Затем мы рассмотрим, насколько точен метод TiRS при определении площади, когда объект, подлежащий сегментации, отклоняется от округлости. В, мы параметрически изменяем отношение длинной оси к короткой оси эллипсоидальной области, сохраняя при этом площадь постоянной, чтобы имитировать виды изменений формы сосудов, наблюдаемые in vivo .Изменения формы реальных сосудов можно рассматривать как вариации по оси абсцисс. Опять же, мы выбрали отношение сигнал / шум, равное 3, чтобы обеспечить справедливое сравнение различных методов. FWHM измеряется по горизонтальной оси, чтобы продемонстрировать, как (относительно) небольшие отклонения от округлости и изменения формы могут вызвать большие ошибки в измерениях площади. Некруглое поперечное сечение приведет к тому, что метод FWHM даст постоянную, потенциально очень большую ошибку в области, и любые изменения формы вызовут некоторую изменчивость этой ошибки.В, мы видим, что как чистый порог, так и метод TiRS точно определяют площадь эллипса по всем соотношениям длинной / короткой осей, в то время как метод FWHM неточен и сильно варьируется. Низкая точность и аккуратность метода FWHM четко показана на рис. Чистый порог и методы TiRS не имеют проблем с определением площади некруглых объектов.

Точная количественная оценка площади поперечного сечения при изменении формы методом пороговой обработки в радоновом пространстве (TiRS).Длинная ось изменялась от 25 до 35 пикселей. Короткая ось начиналась с 25 пикселей и была отрегулирована так, чтобы общая площадь оставалась постоянной. Отношение сигнал / шум составляло 3. Толстые линии показывают среднее значение 100 прогонов, заштрихованные области ± одна стандартная ошибка. ( A ) Отношение истинной площади к фактической площади для полной ширины на полувысоте (FWHM), чистого порогового определения и методов TiRS. Площадь в случае FWHM рассчитывалась по радиусу, принимая круглую форму, чтобы подчеркнуть, насколько сильно предположение округлости повлияет на расчетную площадь.Как чистый порог, так и методы TiRS работают намного лучше, чем метод FWHM. ( B ) S.d. рассчитанного радиуса, нормализованного по истинному радиусу по отношению к истинному радиусу (рассчитанному по площади). Помимо того, что метод FWHM очень неточен, он очень вариабелен, метод TiRS — наименее вариабельный. ( C ) Метод TiRS имеет самую низкую среднюю абсолютную дробную ошибку, чистое пороговое значение имеет промежуточное значение, а FWHM — самое высокое.

Пороговая обработка в радоновом космическом методе более точна, чем полная ширина на половине максимума при количественной оценке диаметра и потока проникающих сосудов, полученных с помощью двухфотонной лазерной сканирующей микроскопии

Наконец, мы демонстрируем большую точность метода TiRS по сравнению с метод FWHM по совокупности судов.Мы не сравнивали чистый алгоритм пороговой обработки, потому что его чувствительность к пороговому параметру затрудняла оптимизацию для использования с реальными данными, где отношение сигнал-шум может изменяться динамически. Используя 2PLSM, мы сделали снимки проникающих сосудов в теменной коре головного мозга бодрствующей мыши, закрепленной на сферической беговой дорожке ³⁴ (). Этот пример изображения показывает одновременно визуализированные проникающую артериолу и восходящую венулу 40 мкм м ниже мягкой мозговой оболочки (). Мы использовали метод TiRS для расчета их площадей поперечного сечения.Кадры, взятые из фильма, показывают изменения диаметра артериолы и венулы, а также контур области, полученный с помощью метода TiRS (оценка артериальной артерии с помощью TiRS — красным, венула — синим). Полная ширина при полувысоких значениях была снята по зеленой и пурпурной осям. На графике нанесены диаметры двух сосудов с диаметром TiRS, пропорциональным квадратному корню из площади. Оценки FWHM существенно более зашумлены, чем оценка TiRS. Как и в случае спонтанного и сенсорного возбуждения пиальных сосудов, артерия демонстрирует быстрое расширение и расслабление на временной шкале в несколько секунд, а вена демонстрирует меньшие расширения, которые происходят намного медленнее, на временной шкале в десятки секунд. ¹⁰ Поскольку время реакции артериальной и венозной крови сильно различается, маловероятно, что эти изменения в площади поперечного сечения связаны с движением. Поскольку в реальных данных изображения нет «достоверной информации» о диаметре сосуда, как это было с моделированием, мы не можем сравнивать точность методов TiRS и FWHM для реальных данных, но мы можем сравнить их точность. Чтобы количественно сравнить точность методов FWHM и TIRS, мы начали с взятия временной производной диаметров, измеренных с помощью TiRS, и среднего диаметра, полученного с помощью двух перпендикулярных оценок FWHM ().Поскольку динамика расширения и сжатия является медленной ^{5, 8, 10, 12} относительно используемой здесь частоты кадров (от 6 до 9 Гц), межкадровые различия в диаметре будут в первую очередь отражать погрешность измерения соответствующих методов, не реальные изменения диаметра сосуда. Временная производная диаметра, полученная методом FWHM, заметно шумнее, чем метод TiRS (). Чтобы количественно оценить относительную точность методов TiRS и FWHM, мы построили отношения s.d. дифференцированных трасс FWHM и TiRS для той же популяции сосудов (), что и в.Отношение можно интерпретировать как относительное количество «шума» в двух методах, причем отношение 1 означает одинаковый шум, а отношения выше 1 означают, что метод TiRS имеет более низкий уровень шума. Анализируя совокупность судов, мы видим существенное и значительное преимущество метода TiRS перед методом FWHM (). Эти результаты демонстрируют, что метод TiRS дает гораздо более точные измерения, чем метод FWHM для данных in vivo .

Сравнение результатов методов двухфотонной лазерной сканирующей микроскопии (2PLSM), полученных методом двухфотонной лазерной сканирующей микроскопии (2PLSM), полученных методом in vivo.( A ) Изображение пиальной сосудистой сети, полученное с помощью 2PLSM. Красные и синие стрелки указывают изображение проникающей артериолы и восходящей венулы соответственно. Оба сосуда были отображены на 40 мкм м ниже мягкой мозговой оболочки. ( B ) X – Z максимальные проекции проникающей артериолы и восходящей венулы в A . ( C ) Кадры из фильма в периоды покоя (125 секунд) и передвижения (238 секунд). Изображения были сняты со скоростью 8,3 кадра в секунду.Зеленая и пурпурная линии указывают две оси, где диаметры были рассчитаны методом FWHM. Красные и синие контуры показывают границы сосудов, обнаруженные с помощью метода TiRS. ( D ) Динамика изменения диаметра проникающей артериолы (верхняя панель) и восходящей венулы (нижняя панель), полученная по двум одиночным осям (пурпурные и зеленые кривые) и с использованием метода TiRS (артериально-красная, вена-синяя) . Черные точки обозначают передвижение. Обратите внимание на изменение формы обоих сосудов во время движения. ( E ) Временные производные временного ряда диаметров в D .Серые кривые — временные производные от усредненных измерений диаметра на полувысоте по вертикальной и горизонтальной осям артерии (верхняя панель) и вены (нижняя панель). Красные и синие кривые соответствуют измерениям диаметра артериолы и венозной артерии с помощью TiRS соответственно. Обратите внимание на больший шум от метода FWHM, чем от метода TiRS. ( F ) Гистограмма s.d. отношения временных производных двух измерений. Серая вертикальная линия обозначает коэффициент 1. Среднее значение стандартного отклонения. соотношение между всеми судами было 3.08 ± 2,70, а медиана — 2,11. Соотношение всех сосудов было значительно больше 1 (односторонний т -тест, P <0,05 с поправкой Бонферрони).

Обсуждение

Площадь поперечного сечения кровеносного сосуда является основным фактором, определяющим его сопротивление, поэтому важно точно количественно оценить любые изменения площади, если мы хотим понять регуляцию кровотока. ³⁷ Учитывая, что поперечное сечение кровеносных сосудов некруглое, и что форма поперечного сечения может изменяться, очень важно использовать метод, который правильно фиксирует эти изменения.Здесь мы показываем, что, поскольку форма сосуда варьируется и может быть некруглой, метод стандартного диаметра для определения площади поперечного сечения сосуда, полной ширины на полувысоте (FWHM), даст неточные и сильно изменчивые результаты из-за его надежности. на единственной оси измерения. Из-за этого ограничения FWHM — плохой выбор для количественной оценки диаметров проникающих артериол и восходящих венул коры. Мы также показали, что алгоритм пороговой обработки при точной настройке может работать лучше, чем метод FWHM, но не метод TiRS.Однако точность алгоритма определения порога зависит от отношения сигнал / шум. На практике отношение сигнал / шум отображаемого сосуда может динамически изменяться в течение сеанса визуализации. Отношение сигнал-шум может быть изменено за счет расширения пиальных сосудов, ^{5, 10} , что может уменьшить сигнал флуоресценции из-за поглощения входящих или испускаемых фотонов, ^{5, 38} изменения фона из-за -плоская флуоресценция, ³⁹ потенциально из-за расширения сосудов пиала, содержащих флуоресцентный краситель, или перекрестная связь ²⁸ из другого канала, такого как канал, содержащий индикатор кальция, флуоресценция которого будет меняться в быстрой временной шкале.Таким образом, гораздо предпочтительнее иметь алгоритм, который дает надежные результаты в условиях переменного отношения сигнал-шум, например метод TiRS.

Мы использовали глобальную чувствительность преобразования Радона для количественной оценки площади поперечного сечения сосуда. Метод TiRS аналогичен измерению FWHM под разными углами, что дает ему два преимущества. Во-первых, он может точно определять площадь выпуклых форм различного размера, что важно, поскольку поперечные сечения кровеносных сосудов могут быть некруглыми и могут изменять свою форму.Во-вторых, алгоритм TiRS эффективно использует множество измерений диаметра, выполненных в широком диапазоне углов, что делает его очень устойчивым к шуму даже в большей степени, чем чистые алгоритмы пороговой обработки. Преобразования изображений, которые работают на глобальном уровне, такие как преобразования Хафа и Радона, широко используются в компьютерном зрении для обнаружения и локализации определенных параметризованных форм, ³¹ или для извлечения параметра из этих форм, такого как наклон линия. ⁴⁰ Используя глобальный характер преобразования Радона для подавления шума, мы можем получить более точные измерения площади объекта, чем другие методы.Устойчивость метода TiRS к шуму, вероятно, окажется полезной при изучении сосудистой динамики, которая не может быть усреднена по испытаниям, например, спонтанной дилатации. ¹⁰

% PDF-1.5 % 1 0 объект >>> / Страницы 3 0 R / Тип / Каталог >> эндобдж 2 0 obj > поток 2010-11-22T11: 01: 12-05: 002010-11-22T11: 01: 12-05: 002010-11-22T11: 01: 12-05: 00LuraDocument PDF Compressor Server 5.5.46.38application / pdfuuid: 2bda81d9-f095 -4a92-9edf-afff031ec837uuid: 500b3d3c-2275-4bd1-8ea7-70b00755761bLuraDocument PDF v2.38 конечный поток эндобдж 3 0 obj > эндобдж 5 0 obj > эндобдж 6 0 obj > эндобдж 16 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 17 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 18 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 19 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 20 0 объект > / XObject >>> / Тип / Страница >> эндобдж 41 0 объект > поток

Объем твердого тела с известным поперечным сечением

В этом разделе мы узнаем, как найти объем твердого объекта, имеющего известные поперечные сечения. 2}}} \] и плоскость \ (z = 1.2} \] и ось \ (x — \). Найдите объем твердого тела, если поперечные сечения представляют собой равносторонние треугольники, перпендикулярные оси \ (x — \).

Пример 4

Найдите объем правильной квадратной пирамиды со стороной основания \ (a \) и высотой \ (H. \)

Пример 1.

Твердое тело имеет основание, лежащее в первом квадранте плоскости \ (xy — \) и ограниченное прямыми \ (y = x, \) \ (x = 1, \) \ (y = 0. \) Каждое плоское сечение, перпендикулярное оси \ (x — \), представляет собой полукруг.1 = \ frac {{\ sqrt 3}} {4} \ left [{\ left ({1 — \ frac {2} {3} + \ frac {1} {5}} \ right) — \ left ({ — 1 + \ frac {2} {3} — \ frac {1} {5}} \ right)} \ right] = \ frac {{\ sqrt 3}} {2} \ left ({1 — \ frac { 2} {3} + \ frac {1} {5}} \ right) = \ frac {{4 \ sqrt 3}} {{15}}. \]

Пример 4.

Найдите объем правильной квадратной пирамиды со стороной основания \ (a \) и высотой \ (H. \)

Решение. 2}}}.2} H}} {3}. \]

См. Другие проблемы на странице 2.

Расчет площади поперечного сечения

Расчет площади поперечного сечения

Детали

Последнее обновление: 18 августа 2017 г., 06:31

Использование

Мы предлагаем здесь инструмент gromacs, который можно использовать для расчета площади поперечного сечения мембранного белка (или аналогичного включения) в мембране. Схематично показано на следующем рисунке:

Подробнее см. Документ (укажите его, если вы используете этот код):

Скомпилируйте его как любой инструмент, созданный с помощью шаблона gromacs.Затем просто запустите его в обычном режиме:

g_de density3Darea -f traj.trr -s topol.tpr

Для этого расчета требуются две группы (2 — это ответ на вопрос « Сколько групп? »): первая включает все небелковые шарики, вторые — протеиновые шарики. С -sl вы можете изменить размер сетки 3D плотности. В вашем каталоге должен быть файл electrons.dat, даже если он не используется (это глупо и должно быть исправлено!).

Профиль площади получается в области.xvg (три столбца имеют одинаковые номера по историческим причинам, это тоже следует исправить). Его можно визуализировать в 3D, открыв файл proteinformDENS.dat с помощью rasmol, выбрав «Цвета»> «Температура» и «Режим плиты».

Если вы хотите рассчитать изменение механической энергии бислоя из-за включения, как это сделано в публикации, вам необходимо рассчитать профиль давления вне включения. Это можно сделать с помощью сценария, подобного этому:

Линия выше вычисляет профиль среднего бокового давления вне белка (эта идея должна быть описана в публикации).

proteinformDENS.dat и 3Dpp.dat (трехмерное поле давления, формат ascii) должны быть выходными данными из g_de density3Darea. Шаг сетки должен быть точно таким же.

За дополнительной информацией обращайтесь к Самули Оллила (Этот адрес электронной почты защищен от спам-ботов.У вас должен быть включен JavaScript для просмотра.).

Замечание

Код НЕ удаляет вращение или трансляцию, и белок должен быть целиком внутри коробки во всех кадрах. Это можно сделать следующим образом (разумеется, для адаптации к каждой системе):

Произошла ошибка при настройке пользовательского файла cookie

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности.Если ваш браузер не принимает файлы cookie, вы не можете просматривать этот сайт.

Настройка вашего браузера для приема файлов cookie

Существует множество причин, по которым cookie не может быть установлен правильно. Ниже приведены наиболее частые причины:

• В вашем браузере отключены файлы cookie. Вам необходимо сбросить настройки своего браузера, чтобы он принимал файлы cookie, или чтобы спросить вас, хотите ли вы принимать файлы cookie.
• Ваш браузер спрашивает вас, хотите ли вы принимать файлы cookie, и вы отказались.Чтобы принять файлы cookie с этого сайта, используйте кнопку «Назад» и примите файлы cookie.
• Ваш браузер не поддерживает файлы cookie. Если вы подозреваете это, попробуйте другой браузер.
• Дата на вашем компьютере в прошлом. Если часы вашего компьютера показывают дату до 1 января 1970 г., браузер автоматически забудет файл cookie. Чтобы исправить это, установите правильное время и дату на своем компьютере.
• Вы установили приложение, которое отслеживает или блокирует установку файлов cookie.Вы должны отключить приложение при входе в систему или проконсультироваться с системным администратором.

Почему этому сайту требуются файлы cookie?

Этот сайт использует файлы cookie для повышения производительности, запоминая, что вы вошли в систему, когда переходите со страницы на страницу. Чтобы предоставить доступ без файлов cookie потребует, чтобы сайт создавал новый сеанс для каждой посещаемой страницы, что замедляет работу системы до неприемлемого уровня.

Что сохраняется в файле cookie?

Этот сайт не хранит ничего, кроме автоматически сгенерированного идентификатора сеанса в cookie; никакая другая информация не фиксируется.

Как правило, в файле cookie может храниться только информация, которую вы предоставляете, или выбор, который вы делаете при посещении веб-сайта. Например, сайт не может определить ваше имя электронной почты, пока вы не введете его. Разрешение веб-сайту создавать файлы cookie не дает этому или любому другому сайту доступа к остальной части вашего компьютера, и только сайт, который создал файл cookie, может его прочитать.