Как найти сечение: ? , » elektri4estwo.ru

Сечение куба плоскостью

Задачи на построение сечений куба плоскостью, как правило, проще чем, например, задачи на сечения пирамиды.

Провести прямую можем через две точки, если они лежат в одной плоскости. При построении сечений куба возможен еще один вариант построения следа секущей плоскости. Поскольку две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым, то, если в одной из граней уже построена прямая, а в другой есть точка, через которую проходит сечение, то можем провести через эту точку прямую, параллельную данной.

Рассмотрим на конкретных примерах, как построить сечения куба плоскостью.

1) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, C и M.

Задачи такого вида — самые простые из всех задач на построение сечений куба. Поскольку точки A и C лежат в одной плоскости (ABC), то через них можем провести прямую. Ее след — отрезок AC. Он невидим, поэтому изображаем AC штрихом. Аналогично соединяем точки M и C, лежащие в одной плоскости (CDD1), и точки A и M, которые лежат в одной плоскости (ADD1). Треугольник ACM — искомое сечение.

 

 

 

2) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

Здесь только точки M и N лежат в одной плоскости (ADD1), поэтому проводим через них прямую и получаем след MN (невидимый). Поскольку противолежащие грани куба лежат в параллельных плоскостях, то секущая плоскость пересекает параллельные плоскости (ADD1) и (BCC1) по параллельным прямым. Одну из параллельных прямых мы уже построили — это MN.

 

Через точку P проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро BB1 в точке S. PS — след секущей плоскости в грани (BCC1).

Проводим прямую через точки M и S, лежащие в одной плоскости (ABB1). Получили след MS (видимый).

Плоскости (ABB1) и (CDD1) параллельны. В плоскости (ABB1) уже есть прямая MS, поэтому через точку N в плоскости (CDD1) проводим прямую, параллельную MS. Эта прямая пересекает ребро D1C1 в точке L. Ее след — NL (невидимый). Точки P и L лежат в одной плоскости (A1B1C1), поэтому проводим через них прямую.

Пятиугольник MNLPS — искомое сечение.

3) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точки M, N, P.

 

Точки M и N лежат в одной плоскости (ВСС1), поэтому через них можно провести прямую. Получаем след MN (видимый). Плоскость (BCC1) параллельна плоскости (ADD1),поэтому через точку P, лежащую в (ADD1), проводим прямую, параллельную MN. Она пересекает ребро AD в точке E. Получили след PE (невидимый).

 

 

 

Больше нет точек, лежащей в одной плоскости, или прямой и точки в параллельных плоскостях. Поэтому надо продолжить одну из уже имеющихся прямых, чтобы получить дополнительную точку.

Если продолжать прямую MN, то, поскольку она лежит в плоскости (BCC1), нужно искать точку пересечения MN с одной из прямых этой плоскости. С CC1 и B1C1 точки пересечения уже есть — это M и N. Остаются прямые BC и BB1. Продолжим BC и MN до пересечения в точке K. Точка K лежит на прямой BC, значит, она принадлежит плоскости (ABC), поэтому через нее и точку E, лежащую в этой плоскости, можем провести прямую. Она пересекает ребро CD в точке H. EH -ее след (невидимый). Поскольку H и N лежат в одной плоскости (CDD1), через них можно провести прямую. Получаем след HN (невидимый).

Плоскости (ABC) и (A1B1C1) параллельны. В одной из них есть прямая EH, в другой — точка M. Можем провести через M прямую, параллельную EH. Получаем след MF (видимый). Проводим прямую через точки M и F.

Шестиугольник MNHEPF — искомое сечение.

 

Если бы мы продолжили прямую MN до пересечения с другой прямой плоскости (BCC1), с BB1, то получили бы точку G, принадлежащую плоскости (ABB1). А значит, через G и P можно провести прямую, след которой PF. Далее — проводим прямые через точки, лежащие в параллельных плоскостях, и приходим к тому же результату.

Работа с прямой PE дает то же сечение MNHEPF.

 

4) Построить сечение куба плоскостью, проходящей через точку M, N, P.

Здесь можем провести прямую через точки M и N, лежащие в одной плоскости (A1B1C1). Ее след — MN (видимый). Больше нет точек, лежащих в одной плоскости либо в параллельных плоскостях.

 

 

 

 

Продолжим прямую MN. Она лежит в плоскости (A1B1C1), поэтому пересечься может только с одной из прямых этой плоскости. С A1D1 и C1D1 точки пересечения уже есть — N и M. Еще две прямые этой плоскости — A1B1 и B1C1. Точка пересечения A1B1 и MN — S. Поскольку она лежит на прямой A1B1, то принадлежит плоскости ( ABB1), а значит, через нее и точку P, лежащую в этой же плоскости, можно провести прямую. Прямая PS пересекает ребро AA1 в точке E. PE — ее след (видимый). Через точки N и E, лежащие в одной плоскости (ADD1), можно провести прямую, след которой — NE (невидимый). В плоскости (ADD1) есть прямая NE, в параллельной ей плоскости (BCC1) — точка P. Через точку P можем провести прямую PL, параллельную NE. Она пересекает ребро CC1 в точке L. PL — след этой прямой (видимый). Точки M и L лежат в одной плоскости (CDD1), значит, через них можно провести прямую. Ее след — ML (невидимый). Пятиугольник MLPEN — искомое сечение.

 

Можно было продолжать прямую NM в обе стороны и искать ее точки пересечения не только с прямой A1B1, но и с прямой B1C1, также лежащей в плоскости (A1B1C1). В этом случае через точку P проводим сразу две прямые: одну — в плоскости (ABB1) через точки P и S, а вторую — в плоскости (BCC1), через точки P и R. После чего остается соединить лежащие в одной плоскости точки: M c L, E — с N.

 

 

 

 

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Учимся строить сечения многогранников. Часть 2.

Эта статья для тех, кто хочет научиться строить сечения. Она содержит 11 заданий для построения сечений, подсказки и ответы к каждому заданию. Рекомендую сначала прочитать эту статью и посмотреть это видео.

Вспомним, что сечение многогранника плоскостью представляет собой плоский многоугольник, вершины которого принадлежат сторонам, а ребра — граням многогранника. Две соседние вершины принадлежат одной грани многогранника. 

Чтобы найти точку, лежащую одновременно в двух плоскостях, нужно найти точку пересечения прямой, лежащей в первой плоскости, с прямой, лежащей во второй плоскости.

 

В подсказках и ответах изображение  дополнительных прямых, используемых при построении сечения, сплошными линиями или пунктирными, не зависит от того, видимы эти прямые или нет.

Рядом с каждой дополнительной прямой указан ее порядковый номер при построении сечения. Все прямые проведены через две точки, принадлежащие определенной плоскости. Прямые пронумерованы в порядке их построения. Рекомендуется при использовании подсказки и воспроизведении построения сечения проговаривать, какой плоскости принадлежит данная прямая, каким плоскостям принадлежит точка их пересечения.

Постройте сечения, проходящие через точки .

Задание 1:

Подсказка. показать

Ответ. показать

Задание 2:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 3:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

Задание 4:

 

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 5:

Подсказка: показать

 

Ответ: показать

 

Задание 6:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 7:

Подсказка: показать

Ответ: показать

Задание 8:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 9:

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

Задание 10:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

 

 

Задание 11:

 

Подсказка: показать

Ответ: показать

И. В. Фельдман, репетитор по математике.

Построение сечений

Определение

Сечение — это плоская фигура, которая образуется при пересечении пространственной фигуры плоскостью и граница которой лежит на поверхности пространственной фигуры.

 

Замечание

Для построения сечений различных пространственных фигур необходимо помнить основные определения и теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых и плоскостей, а также свойства пространственных фигур. Напомним основные факты.
Для более подробного изучения рекомендуется ознакомиться с темами “Введение в стереометрию. Параллельность” и “Перпендикулярность. Углы и расстояния в пространстве”

.

 

Важные определения

1. Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

 

2. Две прямые в пространстве скрещиваются, если через них нельзя провести плоскость.\circ\).

 

Важные аксиомы

1. Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

 

2. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

 

3. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

 

Важные теоремы

1. Если прямая \(a\), не лежащая в плоскости \(\pi\), параллельна некоторой прямой \(p\), лежащей в плоскости \(\pi\), то она параллельна данной плоскости.

 

2. Пусть прямая \(p\) параллельна плоскости \(\mu\). Если плоскость \(\pi\) проходит через прямую \(p\) и пересекает плоскость \(\mu\), то линия пересечения плоскостей \(\pi\) и \(\mu\) — прямая \(m\) — параллельна прямой \(p\).

 

3. Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

 

4. Если две параллельные плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересечены третьей плоскостью \(\gamma\), то линии пересечения плоскостей также параллельны:

\[\alpha\parallel \beta, \ \alpha\cap \gamma=a, \ \beta\cap\gamma=b \Longrightarrow a\parallel b\]

 

5. Пусть прямая \(l\) лежит в плоскости \(\lambda\). Если прямая \(s\) пересекает плоскость \(\lambda\) в точке \(S\), не лежащей на прямой \(l\), то прямые \(l\) и \(s\) скрещиваются.

 

6. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

7. Теорема о трех перпендикулярах.

Пусть \(AH\) – перпендикуляр к плоскости \(\beta\). Пусть \(AB, BH\) – наклонная и ее проекция на плоскость \(\beta\). Тогда прямая \(x\) в плоскости \(\beta\) будет перпендикулярна наклонной тогда и только тогда, когда она перпендикулярна проекции.

 

8. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

 

Замечание

Еще один важный факт, часто использующийся для построения сечений:

для того, чтобы найти точку пересечения прямой и плоскости, достаточно найти точку пересечения данной прямой и ее проекции на эту плоскость.

 

Для этого из двух произвольных точек \(A\) и \(B\) прямой \(a\) проведем перпендикуляры на плоскость \(\mu\) – \(AA’\) и \(BB’\) (точки \(A’, B’\) называются проекциями точек \(A,B\) на плоскость). Тогда прямая \(A’B’\) – проекция прямой \(a\) на плоскость \(\mu\). Точка \(M=a\cap A’B’\) и есть точка пересечения прямой \(a\) и плоскости \(\mu\).

 

Причем заметим, что все точки \(A, B, A’, B’, M\) лежат в одной плоскости.

 

Пример 1.

Дан куб \(ABCDA’B’C’D’\). \(A’P=\dfrac 14AA’, \ KC=\dfrac15 CC’\). Найдите точку пересечения прямой \(PK\) и плоскости \(ABC\).

 

Решение

1) Т.к. ребра куба \(AA’, CC’\) перпендикулярны \((ABC)\), то точки \(A\) и \(C\) — проекции точек \(P\) и \(K\).\circ, \angle E\) – общий), значит, \[\dfrac{PA}{KC}=\dfrac{EA}{EC}\]

Если обозначить ребро куба за \(a\), то \(PA=\dfrac34a, \ KC=\dfrac15a, \ AC=a\sqrt2\). Тогда:

\[\dfrac{\frac34a}{\frac15a}=\dfrac{a\sqrt2+EC}{EC} \Rightarrow EC=\dfrac{4\sqrt2}{11}a \Rightarrow AC:EC=4:11\]

Пример 2.

Дана правильная треугольная пирамида \(DABC\) с основанием \(ABC\), высота которой равна стороне основания. Пусть точка \(M\) делит боковое ребро пирамиды в отношении \(1:4\), считая от вершины пирамиды, а \(N\) – высоту пирамиды в отношении \(1:2\), считая от вершины пирамиды. Найдите точку пересечения прямой \(MN\) с плоскостью \(ABC\).

 

Решение

1) Пусть \(DM:MA=1:4, \ DN:NO=1:2\) (см. рисунок). Т.к. пирамида правильная, то высота падает в точку \(O\) пересечения медиан основания. Найдем проекцию прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). Т.к. \(DO\perp (ABC)\), то и \(NO\perp (ABC)\). Значит, \(O\) – точка, принадлежащая этой проекции. Найдем вторую точку. Опустим перпендикуляр \(MQ\) из точки \(M\) на плоскость \(ABC\). Точка \(Q\) будет лежать на медиане \(AK\).
Действительно, т.к. \(MQ\) и \(NO\) перпендикулярны \((ABC)\), то они параллельны (значит, лежат в одной плоскости). Следовательно, т.к. точки \(M, N, O\) лежат в одной плоскости \(ADK\), то и точка \(Q\) будет лежать в этой плоскости. Но еще (по построению) точка \(Q\) должна лежать в плоскости \(ABC\), следовательно, она лежит на линии пересечения этих плоскостей, а это – \(AK\).

 

Значит, прямая \(AK\) и есть проекция прямой \(MN\) на плоскость \(ABC\). \(L\) – точка пересечения этих прямых.

 

2) Заметим, что для того, чтобы правильно нарисовать чертеж, необходимо найти точное положение точки \(L\) (например, на нашем чертеже точка \(L\) лежит вне отрезка \(OK\), хотя она могла бы лежать и внутри него; а как правильно?).

 

Т.к. по условию сторона основания равна высоте пирамиды, то обозначим \(AB=DO=a\).\circ, \ \angle L\) – общий). Значит,

\[\dfrac{MQ}{NO}=\dfrac{QL}{OL} \Rightarrow \dfrac{\frac45 a}{\frac 23a} =\dfrac{\frac{7}{10\sqrt3}a+x}{\frac1{2\sqrt3}a+x} \Rightarrow x=\dfrac a{2\sqrt3} \Rightarrow OL=\dfrac a{\sqrt3}\]

Следовательно, \(OL>OK\), значит, точка \(L\) действительно лежит вне отрезка \(AK\).

 

Замечание

Не стоит пугаться, если при решении подобной задачи у вас получится, что длина отрезка отрицательная. Если бы в условиях предыдущей задачи мы получили, что \(x\) – отрицательный, это как раз значило бы, что мы неверно выбрали положение точки \(L\) (то есть, что она находится внутри отрезка \(AK\)).

 

Пример 3

Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Найдите сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\), проходящей через точку \(C\) и середину ребра \(SA\) и параллельной прямой \(BD\).

 

Решение

1) Обозначим середину ребра \(SA\) за \(M\). Т.к. пирамида правильная, то высота \(SH\) пирамиды падает в точку пересечения диагоналей основания. Рассмотрим плоскость \(SAC\). Отрезки \(CM\) и \(SH\) лежат в этой плоскости, пусть они пересекаются в точке \(O\).

 

Для того, чтобы плоскость \(\alpha\) была параллельна прямой \(BD\), она должна содержать некоторую прямую, параллельную \(BD\). Точка \(O\) находится вместе с прямой \(BD\) в одной плоскости – в плоскости \(BSD\). Проведем в этой плоскости через точку \(O\) прямую \(KP\parallel BD\) (\(K\in SB, P\in SD\)). Тогда, соединив точки \(C, P, M, K\), получим сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Найдем отношение, в котором делят точки \(K\) и \(P\) ребра \(SB\) и \(SD\). Таким образом мы полностью определим построенное сечение.

 

Заметим, что так как \(KP\parallel BD\), то по теореме Фалеса \(\dfrac{SB}{SK}=\dfrac{SD}{SP}\). Но \(SB=SD\), значит и \(SK=SP\). Таким образом, можно найти только \(SP:PD\).

 

Рассмотрим \(\triangle ASC\).\circ\), то \(\triangle ABD=\triangle CBD\), следовательно, \(AD=CD\), следовательно, \(\triangle DAC\) – тоже равнобедренный и \(DK\perp AC\).

 

Применим теорему о трех перпендикулярах: \(BH\) – перпендикуляр на \(DAC\); наклонная \(BK\perp AC\), значит и проекция \(HK\perp AC\). Но мы уже определили, что \(DK\perp AC\). Таким образом, точка \(H\) лежит на отрезке \(DK\).

 

Соединив точки \(A\) и \(H\), получим отрезок \(AN\), по которому плоскость \(\alpha\) пересекается с гранью \(DAC\). Тогда \(\triangle ABN\) – искомое сечение пирамиды плоскостью \(\alpha\).

 

2) Определим точное положение точки \(N\) на ребре \(DC\).

 

Обозначим \(AB=CB=DB=x\). Тогда \(BK\), как медиана, опущенная из вершины прямого угла в \(\triangle ABC\), равна \(\frac12 AC\), следовательно, \(BK=\frac12 \cdot \sqrt2 x\).

 

Рассмотрим \(\triangle BKD\). Найдем отношение \(DH:HK\).

 

Заметим, что т.к. \(BH\perp (DAC)\), то \(BH\) перпендикулярно любой прямой из этой плоскости, значит, \(BH\) – высота в \(\triangle DBK\). Тогда \(\triangle DBH\sim \triangle DBK\), следовательно

\[\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{DB}{DK} \Rightarrow DH=\dfrac{\sqrt6}3x \Rightarrow HK=\dfrac{\sqrt6}6x \Rightarrow DH:HK=2:1\]

 

Рассмотрим теперь \(\triangle ADC\). Медианы треугольника точной пересечения делятся в отношении \(2:1\), считая от вершины. Значит, \(H\) – точка пересечения медиан в \(\triangle ADC\) (т.к. \(DK\) – медиана). То есть \(AN\) – тоже медиана, значит, \(DN=NC\).

Поперечное сечение

Поперечным сечением называется фигура, образованная пересечением продолговатого тела с воображаемой плоскостью, расположенных перпендикулярно друг другу, т.е. когда тело рассекается строго поперек его длины.

Сечение может иметь простую или сложную форму, а также быть составным.

Площадь и размеры (длина и ширина) поперечного сечения равны соответствующим размерам этой фигуры.

Площадь поперечного сечения

В общем случае, площадь поперечного сечения имеющая сложную или составную форму определяется как сумма (иногда с вычитанием) составляющих ее простых фигур, таких как прямоугольник, треугольник и круг.

Формулы для расчета площади основных фигур.

Пример:
Рассчитать площадь поперечного сечения сложной формы с квадратным отверстием и закруглением.

Для расчета общей площади, сложное сечение раскладывается на простые фигуры:

Прямоугольник — 1, треугольник — 2, полукруг — 3 и прямоугольник — 4, площади которых определяются просто.

В итоге площадь всего поперечного сечения будет получена сложением первых трех фигур с вычитанием фигуры номер 4:

A=A₁+A₂+A₃-A₄

Площадь поперечного сечения обозначается латинскими буквами S или A, и измеряется в квадратных единицах длины, например: м², см² или мм².

Площадь составного сечения

Составными называют сечения, которые состоят из двух, трех и более отдельных фигур, не являющихся одним целым.

Это может быть, например сечение балки, состоящее например из швеллера и двух уголков.

Эти сечения сами по себе тоже являются сложными.
Площади поперечного сечения для таких стандартных профилей можно найти в специальном справочнике — сортаменте.

В результате сложив все составляющие профили, получим площадь всего сечения.

Таким образом, расчет площади составного сечения производится аналогично предыдущему порядку, только без вычитаний.

Длина поперечного сечения

Длиной поперечного сечения называют полную (габаритную) длину фигуры как расстояние по горизонтали между двумя её наиболее удаленными точками.

Длина поперечного сечения обозначается латинской буквой L или l и измеряется стандартно в миллиметрах или сантиметрах.

Ширина сечения определяется аналогично, но обозначается буквой H или h.

При решении задач, длину, ширину и площади поперечного сечения рекомендуется переводить соответственно в метры и м².

Понятие «поперечное сечение» является одним из основных при расчетах на прочность в сопротивлении материалов и технической механике.

Различают два основных вида расчета площади сечений:

1. Геометрический — когда требуется найти площадь сечения тела по известным размерам;
2. Прочностной — расчет площади поперечного сечения бруса проводится по условию прочности.

Пример расчета поперечных сечений >

что является, как найти, разновидности

Кратко о цилиндре

Цилиндр — это геометрическая фигура, которая ограничена цилиндрической поверхностью и двумя плоскими окружностями.

Также можно сказать, что это тело вращения, возникающее при вращении прямоугольника вокруг его стороны.

Осевое сечение

Это сечение фигуры плоскостью, проходящей через ее ось. Оно является прямоугольником. Таким образом, любое сечение, параллельное оси цилиндра (и перпендикулярное его основанию), становится прямоугольником. Сторонами этой фигуры будет диаметр цилиндра и высота его оси.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти площадь сечения

Формула 1

\(S = d*h,\)

где \(d\) — диаметр, а \(h\) — высота всей фигуры.

Источник: reader.lecta.rosuchebnik.ru

Также есть формулы для расчета площади сечения, параллельного оси геометрического тела (но не пересекающего ее).

Формула 2

\(S = a*h, \)

где \(a\) — хорда.

Источник: bezikev.ru

Осевое сечение наклонного цилиндра

Сечение наклонного цилиндра по оси представляет собой параллелограмм. Его стороны нам уже известны: одна из них равна диаметру d, как и в случае с прямой фигурой. Другая — длина образующего отрезка. Ее мы можем обозначить буквой b.

Для точного определения всех параметров параллелограмма недостаточно знать только длины его сторон. Для расчета площади фигуры нам понадобится один из ее углов. Допустим, что острый угол между плоскостью и направляющий равен α. Тогда формула S параллелограмма будет выглядеть следующим образом:

\(S = d * b * sin(α)\)

Источник: present5.com

Примеры задач

Рассмотрим пару задач на осевое сечение с решениями.

Задача 1

Дан круглый прямой цилиндр. Его осевое сечение является квадратом. Вопрос: чему равна S сечения, если площадь поверхности всего цилиндра — 100 см²?

Решение

Чтобы найти S квадрата, нужно сначала определить радиус или диаметр окружности цилиндра. Для этого вспомним формулу для нахождения площади самого цилиндра:

\(Sц = 2pi * r * (r + h)\)

Так как осевое сечение — квадрат, значит радиус основания в два раза меньше высоты фигуры. В таком случае, формула будет выглядеть так:

\(Sц = 2pi * r * (r + 2r) = 6 * pi * r²\)

Исходя из этого, будем выражать радиус:

\(r = √(Sц / (6*pi))\)

Если сторона квадратного сечения равна диаметру основания цилиндра, то для определения площади квадрата S используем формулу:

\(S = (2*r)2 = 4*r2 = 2*Sц/ (3*pi)\)

Подставим известные данные (\(Sц = 100см^2\)) и получим площадь сечения \(S = 21,23 см²\).

Ответ: \(S = 21,23 см²\).

Задача 2

Дано: ABCD — осевое сечение цилиндра. Площадь сечения \(Sc\) равна \(10 м²\), а площадь основания \(Sо— 5 м²\). Найти высоту цилиндра.

Решение

Так как площадь основания — круг, то \(Sо = pi * r²\). Тогда \(r = √(Sо/pi) = √(5/pi).\)

Так как площадь сечения  — прямоугольник, то \(Sc = AB * BC = h * 2r.\) Тогда \(h = Sc/(2r) = 10/(2√(5/pi)) = 5√(pi/5) = √(5pi).\)

Ответ: \(h = √(5pi).\)

Как определить поперечное сечение провода? — Общий раздел — Каталог статей по электрике

В быту каждому из нас регулярно приходится иметь дело с электропроводкой и техникой. Нас повсюду окружают всевозможные провода и кабели: в доме, в гараже, в строительных постройках, в автомобиле и так далее. Никакой ремонт не обходится без диагностики или замены электропроводки. В этой статье мы расскажем о том, как определить поперечное сечение одножильных и многожильных кабелей.

Электрики, имеющие солидный опыт работы в области электромонтажа, редко прибегают к научным методам определения поперечного сечения проводов, прикидывая его «на глаз». Чтобы избежать ошибок, площадь поперечного сечения лучше определять математическими расчетами.

Расчет площади сечения одножильного провода

Сначала разрезаем кабель и замеряем диаметр его жилы, после чего приступаем к расчетам. Так как форма сечения проводов круглая, то рассчитывать ее будем за формулой определения площади круга:

S = π • d²/4, где:

S — искомая площадь поперечного сечения, кв. мм;

d — диаметр жилы, мм;

π — 3,14.

В принципе, формулу можно сразу сократить, разделив π на 4, в итоге мы получим: S = 0,8 • d².

Давайте рассмотрим конкретный случай. Допустим, диаметр жилы составляет 2 мм, тогда S = 0,8 • 2² = 3,2 кв.мм.

Расчет площади сечения многожильного провода

После того, как мы разрежем провод, необходимо подсчитать точное количество жил в связке. Теперь измеряем диаметр одной из них и за уже знакомой формулой S = π • d²/4 определяем площадь ее сечения. Общая площадь поперечного сечения провода будет сумой площади сечения его жил.

Например, мы имеем провод, в котором 25 жил, диаметр каждой из них — 0,5 кв. мм.

s = 0,8 • d² = 0.8 • 0.5 • 0.5 = 0,2 кв. мм.

Следовательно, общая площадь провода будет: S = 25 • s = 25 • 0,2 = 5 кв. мм.

Что касается диаметра жил, то его можно измерить с помощью штангенциркуля или микрометра. Поскольку, не каждый имеет дома эти инструменты, то диаметр жилы будем определять, воспользовавшись линейкой и карандашом. Плотно наматываем жилу на карандаш (чем больше вы сделаете витков, тем точнее будет измерение), а затем линейкой измеряем длину намотки. Полученное число разделяем на количество витков и получаем нужный нам размер диаметра жилы.

— — — — —
Статью подготовил: samparam (from Advego — прим. ред.) специально для официального сайта компании «Электро911».

Площадь поперечного сечения проводника: как найти площадь формулой

С необходимостью определения площади поперечного сечения проводника сталкивается каждый, кто хоть раз в жизни занимался ремонтом кабельной проводки в квартире, на даче, в гараже или офисе. Нехватка сечения может привести к пожару, так как провод будет сильно нагреваться. Если же сечение, наоборот, подобрано со значительным запасом, то стоимость проводки станет необоснованно высокой. В этой статье рассказывается, о различных методиках определения площади поперечного сечения проводника для круглых, одножильных, многожильных проводов и кабелей.

Что такое площадь поперечного сеченья

Если провод разрезать строго перпендикулярно его длине, чтобы металлические сердечники имели форму правильного круга, то несложно будет измерить диаметр этих жил и определить их площадь с использованием стандартной формулы.

Поперечное сечение

Важно! До недавнего времени опытные электрики могли определить этот параметр на глаз, но сегодня даже они вынуждены измерять провода, и проводить вычисления. Во времена Советского Союза все провода и кабели выпускались по единому ГОСТу, который и нормировал стандартные сечения. Если это 2.5 мм2, то электрик сразу мог отличить его от близких параметров 2 мм2 или 3 мм2. Сегодня производством кабельной продукции занимаются различные компании, которые могут сознательно уменьшать сечение провода и экономить на этом деньги. Вместо заявленных 2.5 мм2 в продажу может поступить провод 2,2 мм2, а это может иметь серьезные последствия и закончиться выгоранием проводки.

Чему равна площадь

Чему равна площадь поперечного сечения проводника – главный вопрос монтажника. Данный показатель является величиной, которая зависит от формы перпендикулярного среза геометрического тела. Проще всего определить площадь квадрата или прямоугольника, для чего достаточно перемножить между собой длину на ширину. Еще в Древней Греции научились рассчитывать площадь практически любой фигуры. Как правило, большинство проводов имеют круглую форму сечения, которую вычислить несложно по формуле или воспользовавшись справочной таблицей. Для этого нужно знать только диаметр или радиус жилы проводника.

Обратите внимание! Существуют кабели большого сечения, в составе которых расположены секторные провода. Но в конечном итоге, сердечники таких изделий рассчитываются исходя из общего приведённого диаметра всех металлических элементов в пучке. Для определения площади сечения каждой жилы необходимо общий показатель разделить на их количество в кабеле.

Секторный кабель

Чем измерять площадь

Для правильного измерения площади поперечного сечения важно сделать ровный перпендикулярный срез и измерить диаметр металла при помощи высокоточных приборов. В случае с многожильными проводами необходимо выполнить следующие шаги:

• Для точных расчетов нужна одиночная проволока. Из пучка проводов выделяют одну жилку и вычисляют площадь ее сечения.
• Пересчитывают количество жил в проводе.
• Перемножают площадь сечения жилки на их количество.

Полученный результат и будет искомой площадью многожильного проводника.

Многожильный провод

Дополнительная информация: Для вычисления площади сечения проводника необходимо, в первую очередь, измерить его диаметр, и сделать это лучше всего микрометром, штангенциркулем или, в крайнем случае, высокоточной инженерной линейкой. Так как микрометр – редкость в наборе инструментов электрика, то этот способ мы упустим и остановимся на штангенциркуле и линейке.

Штангенциркуль

Штангенциркуль — высокоточный измерительный инструмент, при помощи которого можно определить линейные размеры любого предмета, диаметры круглых изделий, а также глубину сквозных и глухих отверстий и выемок. Такой инструмент должен быть у каждого домашнего мастера, стоит он не дорого и при правильном обращении может прослужить не одно десятилетие.

Штангенциркуль

Штангенциркули подразделяются на следующие виды:

• Нониусные — имеют классическую конструкцию и высокоточную измерительную шкалу, которая позволяет измерять предметы с точностью до 0.1 – 0.05 мм.
• Со стрелочным отображением результатов измерений — очень удобный для снятия точных показаний инструмент, но его главным недостатком является повышенная хрупкость.
• С электронной индикацией результатов — относительно новая разработка, предназначенная для получения максимальной точности и удобного снятия показаний измерений.

Рассмотрим самый распространенный вид штангенциркуля — нониусный. Из таких инструментов наибольшее распространение получили два вида:

• ШЦ-I с точностью измерений 0,1 мм, такой инструмент есть практически у каждого слесаря.
• ШЦ-II с точностью измерений 0,05 мм, этот штангенциркуль предпочтительнее, так как в результате работы он выдаёт меньшую погрешность.

Для правильного измерения диаметра достаточно оголить сердечник кабеля путём снятия изоляция, после чего прижать раздвижные губки инструмента к его поверхности. Риска на подвижной части штангенциркуля совпадёт с показателем на шкале, который и будет являться диаметром.

Карандаш + линейка

Если под рукой нет точных измерительных инструментов, а определить диаметр провода необходимо в настоящий момент, можно воспользоваться старым проверенным способом. Картинка 5. Метод карандаша.

Для данного способа понадобятся круглый карандаш и линейка. Суть метода состоит в следующем алгоритме:

• Прежде всего необходимо отрезать кусок провода и очистить его от изоляции.
• Далее проволока из металлического сердечника плотно наматывается на карандаш, причём, минимальное количество витков должно быть не меньше 15. Здесь все зависит от толщины провода, и чем он тоньше, тем больше витков необходимо намотать.
• Проводятся вычисления по формуле, приведённой на картинке 6.

Формула расчета диаметра методом карандаша и линейки

Обратите внимание! Для получения точного результата следует наматывать провод на карандаш как можно плотнее. Для этого перед наматыванием его необходимо тщательно выровнять в местах перегибов и образования петель.

Как правильно найти площадь поперечного сечения (с помощью формулы)

Как найти площадь поперечного сечения проводника подскажет формула, известная из школьного курса геометрии – пr2. Когда известен диаметр провода, можно приступать к вычислению площади сечения. Сделать это несложно с помощью калькулятора по формуле, указанной на картинке 7.

Формула расчета площади

Таблица диаметров и сечения проводов

Формула для расчёта диаметра достаточно проста и выдаёт стандартные значения для конкретного диаметра. Поэтому часто можно увидеть в продаже соответствующие таблицы площадей круга.

Таблица соотношений диаметров и площадей проводов

Таким способом можно пользоваться в том случае, если под рукой оказался стандартный проводник, указанный в ГОСТ. Например — при диаметре сердечника 2.8 мм площадь его сечения составит 6 мм2.

Прочитав эту статью, любой человек сможет самостоятельно рассчитать площадь поперечного сечения провода или кабеля. Это пригодится при замене старой проводки или при монтаже новой кабельной линии. Главное условия подбора – повышенная точность, так как идеального соотношения качества, простоты установки, безопасности и оптимальной цены можно добиться только после проведения кропотливых замеров.

Обучение расчету поперечного сечения

С технической точки зрения, поперечное сечение — это когда плоскость встречается с твердой формой. Вычисление очень похоже на вычисление площади фигуры; единственное отличие состоит в том, что поперечное сечение является частью трехмерной формы. Различные формы имеют разные формулы, и ниже приведены некоторые примеры того, как проводить вычисления.

Прямоугольники Вы можете увидеть прямоугольное поперечное сечение прямоугольного здания, коробки с хлопьями или чего-то еще, что представляет собой прямоугольную призму.Это может быть самый простой способ вычисления площади поперечного сечения, так как это просто ширина x длина. Например, предположим, что одна сторона здания восьми футов в длину, а другая — шести футов в длину. Восемь, умноженная на шесть, дает 48, и вот вам поперечное сечение.

Квадраты Вы можете увидеть квадратное поперечное сечение в кости или в пирамиде с квадратным основанием, как в Египте. Поскольку все стороны квадрата имеют одинаковую длину, поперечное сечение — это просто длина, умноженная на себя.Например, если длина кости составляет два дюйма, площадь поперечного сечения составляет четыре дюйма в квадрате. Легкий способ запомнить это: поперечное сечение квадрата — это квадрат длины.

Треугольники Треугольное поперечное сечение может быть не таким распространенным, как другие формы, поскольку вы, вероятно, видели бы его только в пирамиде с треугольным основанием или треугольной призме. Самый простой способ найти эту площадь поперечного сечения — это умножить базовую длину на высоту и затем разделить на два.Однако эти длины может быть сложно найти, если они не указаны, и вам нужно будет полагаться на тригонометрию, чтобы найти любые недостающие цифры.

Круги Площадь поперечного сечения круга довольно сложна, так как обычно требуется калькулятор, чтобы получить точное число, потому что оно включает число Пи. Формы с круглым поперечным сечением включают конусы, сферы и цилиндры. Площадь круга равна двум x пи x квадрату радиуса. Радиус равен половине диаметра, который равен длине реза по окружности.Если вам не нужно точное число, вы можете просто оставить результат с пи. Например, если радиус составляет пять дюймов, площадь поперечного сечения будет равна двум x пи x 25, что в конечном итоге будет равно 50 x pi без калькулятора.

Дополнительные шаги Хотя основное внимание здесь уделяется площади поперечного сечения формы, вы можете легко найти объем формы с помощью этой информации. Для большинства форм вы просто умножаете площадь поперечного сечения на длину объекта.Определенные формы, такие как сферы и конусы, имеют разные формулы, а это означает, что это не универсальное правило.

Это только простое руководство по расчету основных площадей поперечного сечения. Большинство форм можно разбить на эти четыре более простые формы. Самая сложная часть поперечных сечений — это возможность визуализировать, как выглядит форма, когда она разрезана. Зная форму поперечного сечения, вы можете легко применить одну из этих формул и провести математические вычисления.

объемов твердых тел с известным поперечным сечением

Объемы твердых тел с известным поперечным сечением

Вы можете использовать определенный интеграл, чтобы найти объем твердого тела с определенными поперечными сечениями на интервале, если вы знаете формулу для области, определяемой каждым поперечным сечением.Если сгенерированные поперечные сечения перпендикулярны оси x , то их площади будут функциями x , обозначенными как A (x ). Объем ( V ) твердого тела на интервале [ a, b ] равен

Если поперечные сечения перпендикулярны оси y , то их площади будут функциями y , обозначенными как A (y ). В этом случае объем ( В ) твердого тела на [ a, b ] составляет

Пример 1: Найдите объем твердого тела, основанием которого является область внутри круга x ² + y ² = 9, если сечения, взятые перпендикулярно оси y , являются квадратами.

Поскольку поперечные сечения представляют собой квадраты, перпендикулярные оси y , площадь каждого поперечного сечения должна быть выражена как функция от y . Длина стороны квадрата определяется двумя точками на окружности x ² + y ² = 9 (рисунок 1).

Рисунок 1 Диаграмма для примера 1.

Площадь ( A ) произвольного квадратного сечения равна A = с ² , где

Объем ( V ) твердого тела

Пример 2: Найдите объем твердого тела, основанием которого является область, ограниченная линиями x + 4 y = 4, x = 0 и y = 0, если взяты сечения перпендикулярно оси x расположены полукруги.

Поскольку поперечные сечения представляют собой полукруги, перпендикулярные оси x , площадь каждого поперечного сечения должна быть выражена как функция от x . Диаметр полукруга определяется точкой на линии x + 4 y = 4 и точкой на оси x (рисунок 2).

Рисунок 2 Диаграмма для примера 2.

Площадь ( A ) произвольного поперечного сечения полукруга равна

Объем ( V ) твердого тела

Свойства поперечного сечения | MechaniCalc

ПРИМЕЧАНИЕ. Эта страница использует JavaScript для форматирования уравнений для правильного отображения.Пожалуйста, включите JavaScript.

---

Поведение элемента конструкции определяется его материалом и геометрией. Эта ссылка сосредоточена на влиянии геометрии на поведение элемента конструкции. Поперечное сечение и длина конструктивного элемента влияют на то, насколько этот элемент прогибается под нагрузкой, а поперечное сечение определяет напряжения, которые существуют в элементе при данной нагрузке.

Недвижимость участков

Центроид

Центроид формы представляет собой точку, вокруг которой равномерно распределена площадь сечения.Если область дважды симметрична относительно двух ортогональных осей, центр тяжести лежит на пересечении этих осей. Если область симметрична только относительно одной оси, то центр тяжести лежит где-то вдоль этой оси (необходимо вычислить другую координату). Если точное местоположение центроида не может быть определено путем осмотра, его можно рассчитать следующим образом:

где dA представляет собой площадь бесконечно малого элемента, A — общая площадь поперечного сечения, а x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Центроидальные положения общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать местоположение с помощью приведенных выше уравнений.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидальное положение которых известно относительно некоторой контрольной точки, то центральное положение составного поперечного сечения можно рассчитать как:

где x _{c, i} и y _{c, i} — прямоугольные координаты центроидного положения секции i ^th относительно опорной точки, а A _i — площадь i ^th . раздел.

Центроидное расстояние

Центроидное расстояние , c — это расстояние от центра тяжести поперечного сечения до крайнего волокна. Центроидное расстояние в направлении y для прямоугольного поперечного сечения показано на рисунке ниже:

Обычно центроидное расстояние используется:

---

---

Первый момент области

Первый момент области указывает распределение области относительно некоторой оси.Первый момент области относительно интересующей оси рассчитывается как:

Q x = ∫ y dA

Q y = ∫ x dA

где Q _x — это первый момент вокруг оси x, а Q _y — это первый момент вокруг оси y. Значения x и y указывают положения относительно интересующей оси бесконечно малых областей dA каждого элемента при выполнении интегрирования.

Если область состоит из набора основных форм, чьи центроидные положения известны относительно интересующей оси, то первый момент составной области можно рассчитать как:

Если вы сравните приведенные выше уравнения для Q с уравнениями для вычисления центроида (обсуждавшимися в предыдущем разделе), вы увидите, что мы фактически используем первый момент площади при вычислении положения центроида относительно интересующего начала.

Первый момент также используется при расчете значения напряжения сдвига в определенной точке поперечного сечения. Напомним, что напряжение сдвига в любой точке, расположенной на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения, рассчитывается как:

где Q — первый момент области между точкой y ₁ и крайним волокном (верхним или нижним) поперечного сечения. Рассмотрим рисунок ниже. Нас интересует расчет напряжения сдвига в точке, находящейся на расстоянии y ₁ от центра тяжести поперечного сечения.Мы можем вычислить первый момент области либо выше, либо ниже этого местоположения. В этом случае интересующая точка находится выше нейтральной оси, поэтому проще рассмотреть верхнюю область, которая на рисунке ниже заштрихована синим цветом. Эта область простирается от точки y ₁ до крайнего волокна в верхней части поперечного сечения.

Первый момент относительно оси x области, заштрихованной синим цветом на рисунке выше, вычисляется относительно центроида поперечного сечения (точка O на рисунке) как:

Если центральное положение интересующей области известно, то первый момент области относительно центроида упрощается до (см. Рисунок выше):

Q _cx = y _c1 A ₁

Следует отметить, что первый момент области является положительным или отрицательным в зависимости от положения области относительно оси интереса.Следовательно, первый момент всей площади поперечного сечения относительно его собственного центроида равен нулю.

Момент инерции площади

Второй момент площади, более известный как момент инерции , I, поперечного сечения, является показателем способности конструктивного элемента противостоять изгибу. ^{(Примечание 1)} I _x и I _y — моменты инерции относительно осей x и y, соответственно, и рассчитываются по формуле:

I x = ∫ y 2 dA

I y = ∫ x 2 dA

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси.

Чаще всего моменты инерции рассчитываются относительно центра тяжести сечения. В этом случае они обозначаются как центроидных моментов инерции и обозначаются как I _cx для инерции относительно оси x и I _cy для инерции относительно оси y.

Моменты инерции общих поперечных сечений хорошо задокументированы, поэтому обычно нет необходимости рассчитывать их с помощью приведенных выше уравнений. Свойства нескольких общих сечений приведены в конце этой страницы.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, все центроиды которых совпадают, то момент инерции составного сечения является просто суммой отдельных моментов инерции. Примером этого является балка коробчатого сечения, состоящая из двух прямоугольных секций, как показано ниже. В этом случае внешняя часть имеет «положительную площадь», а внутренняя часть имеет «отрицательную площадь», поэтому составной момент инерции представляет собой вычитание момента инерции внутренней части из внешней части.

В случае более сложного составного поперечного сечения, в котором центральные положения не совпадают, момент инерции может быть вычислен с помощью теоремы о параллельных осях .

Важно не путать момент инерции площади с моментом инерции массы твердого тела. Момент инерции площади указывает на сопротивление поперечного сечения изгибу, тогда как момент инерции массы указывает на сопротивление тела вращению.

---

---

Теорема о параллельной оси

Если известен момент инерции поперечного сечения относительно центральной оси, то для вычисления момента инерции относительно любой параллельной оси можно использовать теорему о параллельных осях :

I _{параллельная ось} = I _c & plus; А д ²

где I _c — момент инерции относительно центральной оси, d — расстояние между центральной осью и параллельной осью, а A — площадь поперечного сечения.

Если поперечное сечение состоит из набора основных форм, центроидные моменты инерции которых известны вместе с расстояниями центроидов до некоторой контрольной точки, то теорема о параллельных осях может использоваться для вычисления момента инерции составного поперечного сечения.

Например, двутавровая балка может быть аппроксимирована 3 прямоугольниками, как показано ниже. Поскольку это составное сечение симметрично относительно осей x и y, центр тяжести сечения можно определить путем осмотра на пересечении этих осей.Центроид расположен в начале координат O на рисунке.

Момент инерции составной секции можно рассчитать с помощью теоремы о параллельности осей. Центроидный момент инерции секции относительно оси x, I _cx , рассчитывается как:

I _cx.IBeam = I _cx.W & plus; (I _cx.F1 & plus; A _F1 d ₁ ² ) & plus; (I _cx.F2 & plus; A _F2 d ₂ ² )

где члены I _cx представляют собой моменты инерции отдельных секций относительно их собственных центроидов в ориентации оси x, члены d представляют собой расстояния от центроидов отдельных секций до центроида составной секции, а Термины — это площади отдельных разделов.Поскольку центроид сечения W и центроид составного сечения совпадают, d для этого сечения равно нулю, поэтому член Ad ² отсутствует.

Важно отметить, что из теоремы о параллельных осях следует, что по мере того, как отдельная секция перемещается дальше от центра тяжести составной секции, вклад этой секции в момент инерции составной секции увеличивается в d ² . Следовательно, если намерение состоит в том, чтобы увеличить момент инерции секции относительно определенной оси, наиболее эффективно расположить область как можно дальше от этой оси.Это объясняет форму двутавровой балки. Фланцы вносят основной вклад в момент инерции, а перегородка служит для отделения фланцев от оси изгиба. Однако полотно должно сохранять некоторую толщину, чтобы избежать коробления, а также потому, что полотно принимает на себя значительную часть напряжения сдвига в сечении.

Полярный момент инерции

Полярный момент инерции , J поперечного сечения является показателем способности конструктивного элемента противостоять скручиванию вокруг оси, перпендикулярной сечению.Полярный момент инерции для сечения относительно оси можно рассчитать следующим образом:

J = ∫ r ² dA = ∫ (x ² & plus; y ² ) dA

где x и y — координаты элемента dA относительно интересующей оси, а r — расстояние между элементом dA и интересующей осью.

Хотя полярный момент инерции может быть вычислен с использованием приведенного выше уравнения, обычно удобнее рассчитывать его, используя теорему о перпендикулярной оси , которая гласит, что полярный момент инерции области является суммой моментов инерции относительно любые две ортогональные оси, проходящие через интересующую ось:

J = I _x и плюс; Я _y

Чаще всего интересующая ось проходит через центр тяжести поперечного сечения.

Модуль упругости сечения

Максимальное изгибающее напряжение в балке рассчитывается как σ _b = Mc / I _c , где c — расстояние от нейтральной оси до крайнего волокна, I _c — центроидный момент инерции, а M — изгибающий момент. Модуль упругости сечения объединяет члены c и I _c в уравнении напряжения изгиба:

S = I _с / с

Используя модуль упругости сечения, напряжение изгиба рассчитывается как σ _b = M / S.Полезность модуля сечения заключается в том, что он характеризует сопротивление сечения изгибу одним термином. Это позволяет оптимизировать поперечное сечение балки, чтобы противостоять изгибу, за счет максимального увеличения одного параметра.

Радиус вращения

Радиус вращения представляет собой расстояние от центра тяжести секции, на котором вся площадь может быть сосредоточена без какого-либо влияния на момент инерции. Радиус вращения формы относительно каждой оси определяется как:

Полярный радиус вращения также может быть вычислен для задач, связанных с кручением вокруг центральной оси:

Прямоугольные радиусы вращения также можно использовать для вычисления полярного радиуса вращения:

r _p ² = r _x ² & plus; г _г ²

---

PDH Classroom предлагает курс повышения квалификации, основанный на этой справочной странице сечений.Этот курс можно использовать для выполнения требований к кредитам PDH для поддержания вашей лицензии PE.

Теперь, когда вы прочитали эту справочную страницу, получите за нее кредит!

Свойства общих сечений

В таблице ниже приведены свойства обычных поперечных сечений. Более подробные таблицы можно найти в перечисленных ссылках.

Свойства, вычисленные в таблице, включают площадь, центроидный момент инерции, модуль упругости сечения и радиус вращения.

---

---

Банкноты

Примечание 1: Прогиб балки

Прогиб балки при изгибе определяется моментом инерции поперечного сечения, длиной балки и модулем упругости материала. Более подробная информация представлена ​​в этом обсуждении отклонения балки.

---

Список литературы

1. Гир, Джеймс М., «Механика материалов», 6-е изд.
2. Линдебург, Майкл Р., «Справочное руководство по машиностроению для экзамена на физическую форму», 13-е изд.

6.1.1: Сечение столкновений — Химия LibreTexts

Сечение столкновений — это «эффективная площадь», которая количественно определяет вероятность события рассеяния, когда случайный вид поражает целевой вид. В приближении твердого объекта поперечное сечение — это площадь обычного геометрического поперечного сечения.Сечения столкновения обычно обозначаются σ и измеряются в единицах площади.

Введение

Атомы и молекулы могут перемещаться в пространстве и сталкиваться друг с другом. При соблюдении определенных условий столкновения происходит химическая реакция и образуется продукт. Однако иногда частицы могут подбираться очень близко друг к другу, но не ударяются. Мы можем использовать сечение столкновения, чтобы определить, насколько большим должно быть расстояние между двумя частицами, чтобы произошло столкновение.

Необходимо сделать несколько предположений:

• Все частицы движутся в пространстве линейно
• Все частицы представляют собой твердые сферы
• В столкновении участвуют только две частицы

Сечение столкновения определяется как область вокруг частицы, в которой должен находиться центр другой частицы, чтобы произошло столкновение. На изображении ниже область внутри черного круга представляет собой столкновительное сечение молекулы A. Эта область может меняться в зависимости от размера двух задействованных частиц.2} \]

Столкновение происходит, когда расстояние между центрами двух молекул реагентов меньше суммы радиусов этих молекул, как показано на рисунке \ (\ PageIndex {2} \). Сечение столкновения описывает область вокруг единственного реагента. Для возникновения реакции столкновения центр одного реагента должен находиться в пределах поперечного сечения столкновения соответствующего реагента.

Рисунок \ (\ PageIndex {2} \): Расстояние меньше радиусов \ (A \) и \ (B \), поэтому столкновения не происходит.2 \ nonumber \]

Хотя сечение столкновения частицы можно вычислить, оно обычно не используется само по себе (Таблица \ (\ PageIndex {1} \)). Вместо этого это компонент более сложных теорий, таких как частота столкновений и теория столкновений.

Рисунок \ (\ PageIndex {1} \): Таблица сечений для общих газов

Молекула	Поперечное сечение (нм 2 )
Ar	0.36
C 2 H 4	0,64
C 6 H 6	0,88
Канал 4	0,46
Класс 2	0,93
CO 2	0,52
В 2	0.27
He	0,21
№ 2	0,43
Ne	0,24
О 2	0,40
СО 2	0,58

А что, если бы частицы были разного размера и радиуса? Член \ (2r \) в уравнении \ (\ ref {SameEq} \) на самом деле является суммой радиуса каждой молекулы (т.е.2 \]

Упражнение \ (\ PageIndex {1A} \)

\ (H_2 + O_2 \ стрелка вправо H_2O \). Радиус кислорода 4,8 х 10 ^-11 м. Каково столкновительное сечение этой реакции? (Подсказка: предположите, что радиус молекулы — это просто сумма ее атомов.)

Ответ

Радиус H _{2 равен 2 (r H ) = 1,06 x 10 ^-10 м. Радиус O 2 равен 2 (r O ) = 9.{-19} \]}

Упражнение \ (\ PageIndex {1B} \)

\ (N_2 + O_2 \ стрелка вправо N_2O \). Радиус азота 5,6 х 10 ^-11 м. Если расстояние между двумя центрами составляет 2,00 x 10 ^-19 м, существует ли столкновение между двумя молекулами?

Ответ

Да, коллизия есть. Радиус N _{2 равен 2 (r N ) = 1,12 x 10 ^-10 м. Радиус O 2 равен 2 (r O ) = 9.{-19} \] 1,36 x 10 ^-11 м — это наибольшее расстояние, на котором две молекулы могут быть, но все же сталкиваются. Поскольку 2,00 x 10 ^-11 м больше, чем это расстояние, центр одной молекулы не находится в поперечном сечении столкновения другой молекулы. Следовательно, столкновения не происходит. Молекулы слишком далеко друг от друга.}

Упражнение \ (\ PageIndex {1C} \)

\ (F + F \ rightarrow F_2 \) Центры двух атомов находятся на расстоянии 3,50 x 10 ^-20 м друг от друга.{-20} \] Молекулы должны быть ближе 1,28 x 10 ^-20 м.

5.1 Поток потока | Мониторинг и оценка

Что такое сток и почему он важен?

Поток или расход воды — это объем воды, который движется над определенной точкой за фиксированный период времени. Часто выражается в кубических футах в секунду (фут ³ / сек).

Расход ручья напрямую зависит от количества воды, уходящей с водораздела в русло ручья.На нее влияет погода, она увеличивается во время ливней и уменьшается в засушливые периоды. Он также меняется в разные сезоны года, снижаясь в летние месяцы, когда интенсивность испарения высока, а прибрежная растительность активно растет и удаляет воду с земли. Август и сентябрь — обычно месяцы самого низкого стока для большинства ручьев и рек на большей части страны.

Забор воды для целей орошения может серьезно истощить сток воды, как и промышленный забор воды.Плотины, используемые для выработки электроэнергии, особенно сооружения, предназначенные для выработки электроэнергии в периоды пиковой потребности, часто блокируют течение ручья, а затем выпускают его в виде скачка.

Расход — это функция объема и скорости воды. Это важно из-за своего воздействия на качество воды, а также на живые организмы и среду обитания в ручье. Крупные реки с быстрым течением могут получать сбросы загрязняющих веществ и подвергаться незначительному воздействию, в то время как небольшие реки обладают меньшей способностью разбавлять и разлагать отходы.

Скорость потока, которая увеличивается по мере увеличения объема воды в ручье, определяет виды организмов, которые могут жить в ручье (некоторым нужны участки с быстрым течением, другим нужны тихие бассейны). Это также влияет на количество ила и наносов, переносимых ручьем. Осадок, внесенный в тихие, медленно текущие потоки, быстро оседает на дно ручья. Быстро движущиеся потоки дольше удерживают осадок во взвешенном состоянии в толще воды. Наконец, быстро движущиеся потоки обычно имеют более высокий уровень растворенного кислорода, чем медленные потоки, потому что они лучше аэрируются.

В этом разделе описан один метод оценки потока в определенной области или на участке реки. Он адаптирован на основе методов, используемых несколькими программами добровольного мониторинга, и использует поплавок (такой объект, как апельсин, мяч для пинг-понга, сосновая шишка и т. Д.) Для измерения скорости потока. Расчет расхода включает решение уравнения, которое исследует взаимосвязь между несколькими переменными, включая площадь поперечного сечения потока, длину потока и скорость воды. Один из способов измерения расхода — решить следующее уравнение:

Расход = ALC / T
Где:
А	=	Средняя площадь поперечного сечения ручья (ширина ручья, умноженная на среднюю глубину воды).
л	=	Измеренная длина участка ручья (обычно 20 футов)
С	=	Коэффициент или поправочный коэффициент (0,8 для ручьев с каменистым дном или 0,9 для потоков с илистым дном). Это позволяет вам скорректировать тот факт, что вода на поверхности движется быстрее, чем у дна ручья из-за сопротивления гравия, булыжника и т. Д. Умножение скорости на поверхности на поправочный коэффициент уменьшает значение и дает более точную оценку общей протяженности потока. скорость.
Т	=	Время в секундах, за которое поплавок проходит длину L

Как измерить и рассчитать поток воды

Задача 1 Подготовиться перед выездом на место отбора проб

См. Раздел 2.3 — Меры безопасности для получения подробной информации о подтверждении даты и времени отбора проб, соображениях безопасности, проверке расходных материалов, а также проверке погоды и направления. В дополнение к стандартному оборудованию для отбора проб и одежде, при измерении и расчете расхода, необходимо включать следующее оборудование:

• Шар из прочной струны, четыре колья и молоток для забивания кольев в землю.Трос будет натянут по ширине ручья перпендикулярно берегу в двух местах. Ставки заключаются в том, чтобы закрепить веревку на каждом берегу, чтобы сформировать линию разреза.
• Рулетка (минимум 20 футов)
• Водонепроницаемая линейка или другой прибор для измерения глубины воды
• Хомуты (для обозначения интервалов на нити линии разреза)
• Апельсин и рыболовная сеть (чтобы вычерпать апельсин из ручья)
• Секундомер (или часы с секундной стрелкой)
• Калькулятор (необязательно)

Задача 2 Выберите участок потока

Рисунок 5.4 Схема трансекты 20 футов

Участок ручья, выбранный для измерения расхода, должен быть прямым (без изгибов), глубиной не менее 6 дюймов и не должен содержать участков с медленной водой, таких как бассейн. Идеально подходят беспрепятственные перекаты или беговые дорожки. Выбранная длина будет равна L при решении уравнения потока. Двадцать футов — стандартная длина, используемая во многих программах. Измерьте свою длину и отметьте верхний и нижний конец, проведя линию трансекты поперек ручья перпендикулярно берегу, используя веревку и колья (рис.5.4). Трос должен быть натянут и находиться у поверхности воды. Трансект выше по течению — это разрез №1, а нижний по течению — разрез №2.

Задача 3 Рассчитать среднюю площадь поперечного сечения

Площадь поперечного сечения (A в формуле) — произведение ширины ручья на среднюю глубину воды. Чтобы рассчитать среднюю площадь поперечного сечения для охвата исследуемого ручья, добровольцы должны определить площадь поперечного сечения для каждой трансекты, сложить результаты вместе, а затем разделить на 2, чтобы определить среднюю площадь поперечного сечения для участка протока.

Для измерения площади поперечного сечения:

1. Рисунок 5.5 Поперечный разрез для измерения ширины и глубины потока

2. Определите среднюю глубину вдоль трансекты, отметив равные интервалы вдоль струны с помощью скрученных стяжек. Интервалы могут составлять одну четвертую, половину или три четверти расстояния через ручей.Измерьте глубину воды в каждой точке интервала (рис. 5.5). Чтобы вычислить среднюю глубину для каждого разреза, разделите сумму трех измерений глубины на 4. (Вы делите на 4 вместо 3, потому что вам нужно учитывать нулевые глубины, которые встречаются на берегах). В примере, показанном на Рисунке 5.6. , средняя глубина трансекты № 1 составляет 0,575 футов, а средняя глубина трансекты № 2 составляет 0,625 футов.
3. Определите ширину каждого разреза, измерив расстояние от береговой линии до береговой линии.Просто сложите все интервалы ширины для каждого разреза, чтобы определить его ширину. В примере на Рисунке 5.6 ширина трансекты № 1 составляет 8 футов, а ширина трансекты № 2 — 10 футов.
4. Рассчитайте площадь поперечного сечения каждого разреза, умножив ширину на среднюю глубину. Пример, приведенный на Рисунке 5.6, показывает, что средняя площадь поперечного сечения трансекты № 1 составляет 4,60 квадратных футов, а средняя площадь поперечного сечения трансекты № 2 составляет 6,25 квадратных футов.
5. Чтобы определить среднюю площадь поперечного сечения всего участка ручья (A в формуле), сложите среднюю площадь поперечного сечения каждой трансекты и затем разделите на 2.Средняя площадь поперечного сечения ручья на Рисунке 5.6 составляет 5,42 квадратных футов.

Задача 4 Измерение времени в пути

Добровольцы должны отсчитывать с помощью секундомера, сколько времени требуется апельсину (или другому объекту), чтобы проплыть от верхнего к нижнему разрезу. Апельсин — хороший объект для использования, потому что он обладает достаточной плавучестью, чтобы плавать чуть ниже поверхности воды. Именно в этом положении обычно возникает максимальная скорость.

Доброволец, который пропускает апельсин на разрезе выше по течению, должен расположить его так, чтобы он тек в самое быстрое течение.Часы останавливаются, когда оранжевый полностью проходит под линией разреза вниз по течению. Оказавшись под линией трансекты, апельсин можно вычерпать из воды с помощью рыболовной сети. Это измерение «времени в пути» должно быть проведено не менее трех раз, а результаты усреднены — чем больше испытаний вы проведете, тем точнее будут ваши результаты. Усредненные результаты равны T в формуле. Рекомендуется размещать апельсин на разных расстояниях от берега, чтобы получить различные оценки скорости.Вы должны отказаться от любых попыток поплавка, если объект зависает в потоке (булыжниками, корнями, обломками и т. Д.).

Задача 5 Рассчитать расход

Напомним, что расход можно рассчитать по формуле:

Продолжая пример на рис. 5.6. скажем, среднее время прохождения апельсина между трансектом №1 и №2 составляет 15 секунд, а дно ручья было каменистым. Расчет расхода:

Где:
А	=	5.42 фут2
л	=	20 футов
С	=	0,8 (коэффициент для каменистого течения)
Т	=	15 секунд

Расход = 15 секунд (5,42 футов 2 ) (20 футов) (0,8) / 15 секунд.

Расход = 86,72 фута 3 /15 сек.

Расход = 5,78 фут3 / сек.

Задача 6 Записать поток в форме данных

На следующей странице волонтеры могут использовать форму для расчета расхода ручья.

Список литературы

Фонд Adopt-A-Stream. Полевое руководство: Инвентаризация водосборов и методы мониторинга водотоков, Том Мердок и Марта Чео. 1996. Эверетт, Вашингтон.

Mitchell, M.K., and W. Stapp. Полевое руководство по мониторингу качества воды. 5 ^{-е издание} . Принтеры Thompson Shore.

Команды потока Миссури. Добровольный мониторинг качества воды. Департамент природных ресурсов штата Миссури, P.O. Box 176, Джефферсон-Сити, Миссури 65102.

Форма данных для расчета расхода (PDF, 82,8 КБ)

Вам понадобится Adobe Acrobat Reader для просмотра файлов Adobe PDF на этой странице. См. Страницу EPA в формате PDF для получения дополнительной информации о получении и использовании бесплатного Acrobat Reader.

Калькулятор трубки

Форма трубы

r ₁ = внешний радиус
C ₁ = внешняя окружность
L ₁ = площадь внешней поверхности
V ₁ = объем в пределах C ₁
r ₂ = внутренний радиус
C ₂ = внутренняя окружность
L ₂ = площадь внутренней поверхности
V ₂ = объем в пределах C ₂
h = высота
t = толщина стенки
В = объем твердого тела
A = площадь торцевой поверхности
π = пи = 3.1415926535898
√ = квадратный корень

Использование калькулятора

Этот калькулятор рассчитает различные свойства трубы, также называемой трубой или полым цилиндром, с учетом 3 известных значений из переменных радиуса, окружности, толщины стенки и высоты. Сплошная геометрическая труба обычно представляет собой цилиндр с торцевым профилем, представленным кольцевое пространство.

Единицы: Обратите внимание, что единицы показаны для удобства, но не влияют на вычисления. Единицы измерения указывают порядок результатов, например футы, футы ² или футы ³ . Например, если вы начинаете с мм и знаете r и h в мм, ваши вычисления приведут к C в мм, V в мм ³ , L в мм ² и A в мм ² .

Ниже приведены стандартные формулы для трубки.Вычисления основаны на алгебраической манипуляции с этими стандартными формулами.

Формулы трубки по радиусу и высоте, r и h:

• Окружность, C:
  • обычно C = 2πr, следовательно,
  • С ₁ = 2πr ₁
  • С ₂ = 2πr ₂
• Площадь боковой поверхности, L, для цилиндр:
  • обычно L = C * h = 2πrh, следовательно,
  • L ₁ = 2πr ₁ h, площадь внешней поверхности
  • L ₂ = 2πr ₂ h, площадь внутренней поверхности
• Площадь A для концевого поперечного сечения трубы:
  • обычно A = πr ² , для круг, следовательно,
  • А ₁ = πr ₁ ² для участка, ограниченного C ₁
  • А ₂ = πr ₂ ² для участка, ограниченного C ₂
  • A = A ₁ — A ₂ для площади сплошного поперечного сечения трубки, на конце.
  • А = π (r ₁ ² — r ₂ ² )
• Объем, В, для цилиндр:
  • обычно V = A * h = πr ² h, следовательно,
  • В ₁ = πr ₁ ² ч для объема, заключенного в C ₁
  • В ₂ = πr ₂ ² ч для объема, заключенного в C ₂
  • V = V ₁ — V ₂ для объема твердого тела, трубки.
  • В = π (r ₁ ² — r ₂ ² ) ч
• Толщина стенки трубы, т:

Список литературы

Калькулятор Суп: Калькулятор цилиндров и Калькулятор кольцевого пространства

Механика материалов: изгиб — нормальное напряжение »Механика тонких конструкций

---

Моменты области

Чтобы рассчитать напряжение (и, следовательно, деформацию), вызванное изгибом, нам нужно понять, где находится нейтральная ось балки и как рассчитать второй момент площади для данного поперечного сечения.

Начнем с представления произвольного поперечного сечения — чего-то не круглого, не прямоугольного и т. Д.

На изображении выше произвольная форма имеет область, обозначенную A . Мы можем посмотреть на небольшую дифференциальную область dA , которая существует на некотором расстоянии x и y от начала координат. Мы можем посмотреть на первый момент площади в каждом направлении по следующей формуле:

Первый момент площади — это интеграл длины по площади — это означает, что единицы длины будут кубическими [L ³ ].Это важно, потому что помогает нам определить центр тяжести объекта. Центроид определяется как «среднее положение области x (или y )». Математически это утверждение выглядит так:

Крайняя правая часть приведенных выше уравнений будет очень полезна в этом курсе — она ​​позволяет нам разбить сложную форму на простые формы с известными площадями и известными положениями центроидов. В большинстве инженерных сооружений есть как минимум одна ось симметрии — и это позволяет нам значительно упростить поиск центроида. Центроид должен располагаться на оси симметрии . Например:

Для поперечного сечения слева мы знаем, что центроид должен лежать на оси симметрии, поэтому нам нужно только найти центроид по оси y . Поперечное сечение справа еще проще — поскольку центр тяжести должен совпадать с осями симметрии, он должен находиться в центре объекта.

Теперь, когда мы знаем, как найти центроид, мы можем обратить внимание на второй момент площади.Как вы могли вспомнить из предыдущего раздела, посвященного кручению, это определяется как:

И, наконец, иногда нам нужно определить второй момент площади относительно произвольной оси x или y — такой, который не соответствует центроиду. В этом случае мы можем использовать теорему о параллельных осях для его вычисления. В этом случае мы используем второй момент площади относительно центроида плюс член, который включает расстояния между двумя осями.

Это уравнение называется теоремой о параллельной оси .Это будет очень полезно на протяжении всего курса. Как описано во вводном видео к этому разделу, вычислить второй момент площади для простой формы может быть несложно. Для более сложных форм нам нужно вычислить I , вычислив отдельные I для каждой простой формы и комбинируя их вместе, используя теорему о параллельных осях.

Диаграммы сдвига и момента

Поперечная нагрузка относится к силам, перпендикулярным длинной оси конструкции.Эти поперечных нагрузок вызовут изгибающий момент M , который вызывает нормальное напряжение , и поперечную силу V , которая вызывает напряжение сдвига . Эти силы могут изменяться и будут меняться по длине балки, и мы будем использовать диаграммы сдвига и момента (V-M-диаграмма) , чтобы извлечь наиболее подходящие значения. Построение этих диаграмм должно быть вам знакомо по статике , но мы рассмотрим их здесь. При исследовании поперечно нагруженной балки необходимо учитывать два важных момента:

1. Как нагружается балка?

• точечная нагрузка, распределенная нагрузка (равномерная или переменная), сочетание нагрузок…

1. Как поддерживается балка?

• просто поддерживаемые, консольные, нависающие, статически неопределимые…

Знание нагрузок и опор позволит вам нарисовать качественную диаграмму V-M , а затем статический анализ свободного тела поможет вам определить количественное описание кривых .Начнем с того, что вспомним наши условные обозначения .

Эти правила знаков должны быть вам знакомы. Если сдвиг вызывает вращение против часовой стрелки, он положительный. Если момент изгибает балку таким образом, что он изгибается в «улыбку» или U-образную форму, это положительно. Лучший способ вспомнить эти диаграммы — это проработать пример. Начните с этой консольной балки — отсюда вы можете переходить к более сложным нагрузкам.

Нормальное напряжение при изгибе

Во многих отношениях изгиб и кручение очень похожи.Результат изгиба пары, или приложенный изгибающий момент M . Как и при кручении, при чистом изгибе в материале существует ось, на которой напряжение и деформация равны нулю. Это называется нейтральной осью . И, как и при кручении, напряжение перестает быть равномерным по поперечному сечению конструкции — оно меняется. Давайте начнем с рассмотрения того, как ось z изгибает конструкцию. В этом случае мы не будем ограничиваться круговыми сечениями — на рисунке ниже мы будем рассматривать призматическое сечение.

Прежде чем мы углубимся в математику, лежащую в основе изгиба, давайте попробуем разобраться в этом концептуально. Возможно, лучший способ увидеть, что происходит, — это наложить изогнутую балку поверх исходной прямой балки.

Теперь вы можете заметить, что нижняя поверхность балки стала длиннее, а нижняя поверхность балки стала короче. Также по центру балки длина не изменилась — соответствует нейтральной оси. Чтобы повторить это на языке этого класса, мы можем сказать, что нижняя поверхность находится под напряжением, а верхняя поверхность находится под давлением.Что-то более тонкое, но все же можно наблюдать из наложенного выше изображения, это то, что смещение луча изменяется линейно сверху вниз, проходя через ноль на нейтральной оси. Помните, это именно то, что мы видели и с кручением — напряжение линейно изменялось от центра к центру. Мы можем посмотреть на это распределение напряжений в поперечном сечении балки более подробно:

Теперь мы можем найти математическую связь между приложенным моментом и напряжением в балке.Мы уже упоминали, что балка линейно деформируется от одного края к другому — это означает, что деформация в направлении x увеличивается линейно с расстоянием по оси y- (или по толщине балки). Таким образом, деформация будет максимальной при растяжении при y = -c (поскольку y = 0 находится на нейтральной оси, в данном случае в центре балки), и будет максимальной при сжатии при y = c. . Мы можем записать это математически так:

Теперь это говорит нам кое-что о деформации, что мы можем сказать о максимальных значениях напряжения? Что ж, давайте начнем с умножения обеих частей уравнения на E , модуль упругости Юнга.Теперь наше уравнение выглядит так:

Используя закон Гука, мы можем связать эти величины со скобками под ними с напряжением в направлении x и максимальным напряжением. Это дает нам это уравнение для напряжения в направлении x- :

Наш последний шаг в этом процессе — понять, как изгибающий момент соотносится с напряжением. Для этого напомним, что момент — это сила, умноженная на расстояние. Если мы можем представить себе, что смотрим только на очень маленький элемент в балке, дифференциальный элемент, то мы можем записать это математически как:

Поскольку в нашем уравнении есть дифференциалы, мы можем определить момент M , действующий по площади поперечного сечения балки, интегрировав обе части уравнения.И, если мы вспомним наше определение напряжения как силы, приходящейся на площадь, мы можем написать:

Последний член в последнем уравнении — интеграл по квадрату y — представляет второй момент площади относительно оси z (из-за того, как мы определили наши координаты). В декартовых координатах этот второй момент площади обозначается как I (помните, в цилиндрических координатах он обозначался как J ). Теперь мы можем, наконец, записать наше уравнение для максимального напряжения и, следовательно, напряжения в любой точке вдоль оси y , как:

Важно отметить, что индексы в этом уравнении и направление вдоль поперечного сечения (здесь оно измеряется вдоль y ) все будут меняться в зависимости от характера проблемы, т.е.е. направление момента — вокруг какой оси изгибается балка? Мы основали наши обозначения на показе изогнутой балки на первом изображении этого урока.

Помните, в начале раздела я упоминал, что изгиб и кручение на самом деле очень похожи? На самом деле мы очень явно видим это в последнем уравнении. В обоих случаях напряжение (нормальное для изгиба и сдвиг для кручения) равно пара / момент ( M для изгиба и T для кручения), умноженному на местоположения вдоль поперечного сечения. , , потому что напряжение неравномерно по поперечному сечению (с декартовыми координатами для изгиба и цилиндрическими координатами для кручения), все деленное на секундный момент площади поперечного сечения.

Сводка

В этом уроке мы узнали о моментов области и диаграммах момента сдвига . Из первого момента площади поперечного сечения мы можем вычислить центроид . Мы узнали, как вычислить секундный момент площади в декартовых и полярных координатах, и мы узнали, как теорема о параллельной оси позволяет нам вычислить второй момент площади относительно центроида объекта — это полезно для разделения сложного поперечного сечения на несколько простых форм и объединение их вместе.Мы пересмотрели концепцию диаграмм сдвига и момента из статики. Эти диаграммы будут важны для определения максимальной силы сдвига и изгибающего момента вдоль сложно нагруженной балки, что, в свою очередь, потребуется для расчета напряжений и прогнозирования разрушения. Наконец, мы узнали о нормальном напряжении при изгибе балки. И напряжение, и деформация меняются вдоль поперечного сечения балки, при этом одна поверхность находится в состоянии растяжения, а другая — в состоянии сжатия. Плоскость, проходящая через центроид, образует нейтральную ось — вдоль нейтральной оси нет напряжения или деформации.Напряжение является функцией приложенного момента и второго момента площади относительно оси, вокруг которой находится момент.

Этот материал основан на работе, поддержанной Национальным научным фондом в рамках гранта № 1454153. Любые мнения, выводы, выводы или рекомендации, выраженные в этом материале, принадлежат авторам и не обязательно отражают точку зрения Национального научного фонда. Научный фонд.

.

No related posts.