Угловая скорость формула через число оборотов – Формула расчета частоты вращений

Содержание

Движение по окружности, угловая скорость, частота, период, центростремительное ускорение. Формулы, определения, пояснения

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна vA и vB соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

fizmat.by

Вращательное движение (движение тела по окружности) | Формулы и расчеты онлайн

Законы, определяющие движение тела по окружности, аналогичны законам поступательного движения. Уравнения, описывающие вращательное движение, можно вывести из уравнений поступательного движения, произведя в последних следующие замены:

Если:
перемещение s — угловое перемещение (угол поворота) φ,
скорость u — угловая скорость ω,
ускорение a — угловое ускорение α

Вращательное движение, характеристики

Вращательное движение Угловая скорость Угловое ускорение
Равномерное Постоянная Равно нулю
Равномерно ускоренное Изменяется равномерно Постоянно
Неравномерно ускоренное Изменяется неравномерно Переменное

Угол поворота

Во всех уравнения вращательного движения углы задаются в радианах, сокращенно (рад).

Если
φ — угловое перемещение в радианах,
s — длина дуги, заключенной
между сторонами угла поворота,
r — радиус,
то по определению радиана

\[
φ = \frac{s}{r}
\]

Соотношение между единицами угла

\[ \frac[-1.35]{φ_{рад}}{φ_{°}} = \frac[-1.2]{π}{180°} \]

$ 1 рад = 57.3° $

$ 1° = 17.45 мрад $

$ 1´ = 291 мкрад $

Обратите внимание: Наименование единицы радиан (рад) обычно указывается в формулах только в тех случаях, когда ее можно спутать с градусом. Поскольку радиан равен отношению длин двух отрезков
(1рад = 1м/ 1м = 1), он не имеет размерности.

Соотношение между угловой скоростью, угловым перемещением и временем для всех видов движения по окружности наглядно видны на графике угловой скорости (зависимость ω от t).

Поэтому графику можно определить, какой угловой скоростью обладает тело в тот или иной момент времени и на какой угол с момента начала движения оно повернулось (он характеризуется площадью под кривой).

Кроме того, для представления соотношений между названными величинами используют график углового перемещения (зависимость φ от t) и график углового ускорения (зависимость α от t).

Число оборотов

Характеристикой всех видов вращения является число оборотов n или равноценная ей характеристика — частота f. Обе величины характеризуют число оборотов в единицу времени.

Единица СИ частоты (или числа оборотов)

\[ [n] = [f] = \frac{Обороты}{Секунда} = \frac{(об)}{с} = \frac{1}{c} = Герц \]

В технике число оборотов обычно измеряется в оборотах в минуту (об/мин) = 1/мин.

Таким образом, величина, обратная числу оборотов, есть продолжительность одного оборота.

Если
n — число оборотов,
f — частота,
T — продолжительность одного оборота, период,
φ — угловое перемещение,
N — полное число оборотов,
t — время, продолжительность вращения,
ω — угловая частота,
то

Период

\[
T = \frac{1}{f} = \frac{1}{n}
\]

Угловое перемещение

Угловое перемещение равно произведению полного числа оборотов на 2π:

\[
φ = 2 π N
\]

Угловая скорость

Из формулы для одного оборота следует:

\[
ω = 2 π f = \frac{2π}{T}
\]

Обратите внимание:
формулы (1)—(6) справедливы для всех видов вращательного движения — как для равномерного движения, так и для ускоренного. В них могут входить постоянные величины, средние значения, начальные и конечные значения, а также любые мгновенные значения.
вопреки своему названию число оборотов n — это не число, а физическая величина.
следует различать число оборотов n и полное число оборотов N.

В помощь студенту


Вращательное движение (движение тела по окружности)
стр. 421

www.fxyz.ru

Движение по окружности. Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости







Движение по окружности.

Положение точки А, движущейся по окружности с постоянной по модулю скоростью v в любой момент времени t определяется углом φ между осью OX и радиус-ветором  :

Уравнение движения по окружности. Угловая скорость. Нормальное = центростремительное ускорение. Период, частота обращения (вращения). Связь линейной и угловой скорости:

Угловая скорость [ω] = 1 рад/с = 1 с-1это: Отношение углового перемещения Δφ за промежуток времени Δt к этому промежутку:

Кинематическое уравнение движения тела по окружности с постоянной по модулю скоростью : 

    • где: φ — угол, ω — угловая скорость

Нормальное (центростремительное) ускорение:   характеризует быстроту изменения вектора линейной скорости. Вектор  всегда направлен к центру окружности, выражается так:

Период обращения (вращения) [Т] = 1 с это: Время одного оборота. Если точка совершает N обращений за время t, то:

dpva.ru

§ 4. Угловая скорость и угловое ускорение

Рассмотрим
твердое тело, которое враща­ется
вокруг неподвижной оси. Тогда от­дельные
точки этого тела будут описывать
окружности разных радиусов, центры
ко­торых лежат на оси вращения. Пусть
не­которая точка движется по окружности
радиуса R
(рис.6).
Ее положение через промежуток времени
t
зададим
углом .
Элементарные (бесконечно малые) углы
поворота рассматривают как векторы.
Мо­дуль вектора d
равен
углу поворота, а его направление совпадает
с направле­нием поступательного
движения острия винта, головка которого
вращается в на­правлении движения
точки по окружности, т. е. подчиняется
правилу
правого, винта
(рис.6).
Векторы, направления которых связываются
с направлением вращения, называются
псевдовекторами
или
акси­альными
векторами.
Эти
векторы не имеют определенных точек
приложения: они мо­гут откладываться
из любой точки оси вращения.

Угловой
скоростью
называется
вектор­ная величина, равная первой
производной угла поворота тела по
времени:

Вектор
«в направлен вдоль оси вращения по
правилу правого винта, т. е. так же, как
и вектор d
(рис. 7). Размерность угловой скорости
dim=T-1,
a .
ее единица — радиан в секунду (рад/с).

Линейная скорость
точки (см. рис. 6)

В векторном виде
формулу для линейной скорости можно
написать как вектор­ное произведение:

При
этом модуль векторного произведе­ния,
по определению, равен

,
а
направление совпадает с
направлением
поступательного движения правого винта
при его вращении от 
к R.

Если
=const,
то
вращение равномер­ное и его можно
характеризовать перио­дом
вращения
Т

временем, за которое точка совершает
один полный оборот, т. е. поворачивается
на угол 2.
Так как промежутку времени t=T
соответствует =2,
то =
2/Т,
откуда

Число
полных оборотов, совершаемых телом при
равномерном его движении по окружности,
в единицу времени называет­ся частотой
вращения:

Угловым
ускорением
называется
век­торная величина, равная первой
производ­ной угловой скорости по
времени:

При вращении тела
вокруг неподвижной оси вектор углового
ускорения направлен вдоль оси вращения
в сторону вектора элементарного
приращения угловой ско­рости. При
ускоренном движении вектор

13

 сонаправлен
вектору 
(рис.8),
при замедленном.— противонаправлен
ему (рис. 9).

Тангенциальная
составляющая ускорения

Нормальная
составляющая ускорения

Таким
образом, связь между линейны­ми (длина
пути s,
пройденного
точкой по дуге окружности радиуса R,
линейная
ско­рость v,
тангенциальное
ускорение а,
нор­мальное ускорение аn)
и угловыми величи­нами (угол поворота
,
угловая скорость (о, угловое ускорение
)
выражается сле­дующими формулами:

В
случае равнопеременного движения точки
по окружности (=const)

где
0
— начальная угловая скорость.

Контрольные
вопросы

• Что
называется материальной точкой? Почему
в механике вводят такую модель?

• Что
такое система отсчета?

• Что
такое вектор перемещения? Всегда ли
модуль вектора перемещения равен отрезку
пути,

пройденному точкой?

• Какое
движение называется поступательным?
вращательным?

• Дать
определения векторов средней скорости
и среднего ускорения, мгновенной
скорости

и мгновенного
ускорения. Каковы их направления?

• Что
характеризует тангенциальная
составляющая ускорения? нормальная
составляющая

ускорения? Каковы
их модули?

• Возможны
ли движения, при которых отсутствует
нормальное ускорение? тангенциальное

ускорение? Приведите
примеры.

• Что
называется угловой скоростью? угловым
ускорением? Как определяются их
направления?

• Какова
связь между линейными и угловыми
величинами?

Задачи

1.1.
Зависимость
пройденного телом пути от времени
задается уравнением s
= Att2+Dt3
(С
= 0,1 м/с2,
D
= 0,03 м/с3).
Определить: 1) через какое время после
начала движения ускорение а тела будет
равно 2 м/с2;
2) среднее ускорение <а>
тела за этот промежуток времени. [ 1) 10
с; 2) 1,1 м/с2]

1.2.
Пренебрегая сопротивлением воздуха,
определить угол, под которым тело брошено
к гори­зонту, если максимальная высота
подъема тела равна 1/4 дальности его
полета. [45°]

1.3.
Колесо
радиуса R
=
0,1 м вращается так, что зависимость
угловой скорости от времени задается
уравнением 
= 2At+5Вt4
(A=2
рад/с2
и B=1
рад/с5).
Определить полное ускорение точек обода
колеса через t=1
с после начала вращения и число оборотов,
сделан­ных колесом за это время. [а =
8,5 м/с2;
N
= 0,48]

14

1.4.
Нормальное ускорение точки, движущейся
по окружности радиуса r=4
м,
задается уравнением аn+-Bt+Ct2
(A=1
м/с2,
В=6
м/с3,
С=3
м/с4).
Определить: 1) тангенциальное ускорение
точки; 2) путь, пройденный точкой за время
t1=5
с после начала движения; 3) полное
ускорение для момента времени t2=1
с. [ 1) 6 м/с2;
2) 85 м; 3) 6,32 м/с2]

1.5.
Частота
вращения колеса при равнозамедленном
движении за t=1
мин
уменьшилась от 300 до 180 мин-1.
Определить: 1) угловое ускорение колеса;
2) число полных оборотов, сделанных
колесом за это время. [1)
0,21 рад/с2;
2) 360]

1.6.
Диск
радиусом R=10
см вращается вокруг неподвижной оси
так, что зависимость угла поворота
радиуса диска от времени задается
уравнением =A+Bt+Ct2+Dt3
(B
= l рад/с,
С=1
рад/с2,
D=l
рад/с3).
Определить для точек на ободе колеса к
концу второй секунды после начала
движения: 1) тангенциальное ускорение
а;
2) нормальное ускорение аn;
3) полное ускорение а. [ 1) 0,14 м/с2;
2) 28,9 м/с2;
3) 28,9 м/с2]

studfiles.net

Угловая скорость и угловое ускорение

Угловая скорость

Скорость вращения тела, определяющаяся приращением угла поворота тела за промежуток времени называется угловой скоростью.

Обозначение: ω (омега).

Размерности:

  • Количество оборотов за единицу времени [об/мин], [c-1].
  • Угол поворота за единицу времени [рад/с].

Быстрота изменения угла φ (перемещения из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:

ω=dφ/dt=φ’, рад/с; с-1    (2.3)

Например, тело совершающее 1,5 оборота за одну секунду имеет угловую скорость

ω=1,5 с-1=9,42 рад/с.

Приняв k как единичный орт положительного направления оси, получим:

Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.

Угловое ускорение

Изменение угловой скорости характеризуется угловым ускорением:

Единицы измерения углового ускорения: [рад/с2], [с-2]

Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.

Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает, а при отрицательном вращение замедляется.

Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:

В технике угловая скорость часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот – это  радиан:

ω=n2π/60=nπ/30 рад/с; с-1.

isopromat.ru

7.2. Вращательное движение. Угловая скорость, угловое ускорение

Движение
твердого тела, при котором все его точки
перемещаются по окружности, центры
которой расположены на перпендикулярной
этим окружностям неподвижной прямой,
называется вращательным.
Неподвижная прямая, на которой лежат
центры круговых траекторий то­чек
тела, называется его осью
вращения.

Для образования оси вра­щения достаточно
закрепить какие-либо две точки тела. В
качестве примеров вращательного движения
тел можно привести движение две­рей
или створок окон при их открывании или
закрывании.

Представим
себе тело в виде цилиндра, ось AB
которого лежит в подшипниках (рис. 7.3).

Рис. 7.3. К
анализу вращательного движения твердого
тела

Движением одной
какой-либо точки однозначно определить
вращательное движение тела нельзя.

Для
установления закона вращательного
движения тела, по кото­рому можно
определять его положение в данный
момент, проведем через ось вращения
тела связанную только с нею неподвижную
полуплоскость НП, а внутри тела отметим
подвижную полуплоскость, ко­торая
вращается около оси вместе с телом,
теперь угол
φ,
образуемый в каждый данный момент
времени полуплоскостями НП и ПП, точно
определяет положение тела в пространстве
(см. рис. 7.3). Угол φ
называется углом
поворота

и выражается в радианах. Чтобы определять
положение тела в пространстве в любой
момент времени, необходимо знать
зависимость между углом поворота φ
и временем t,
т. е. знать закон вращательного движения
тела:

Быстрота
изменения угла поворота во времени
характеризуется величиной, которая
называется угловой
скоростью.

Представим,
что в некоторый момент времени t
положение
вращающегося тела определяется углом
поворота φ,
а в момент t
+ Δt –
углом поворота φ
+ Δ φ.
Следовательно, за время Δt
тело повернулось на угол Δ
φ,
и величина

называется
средней
угловой скоростью.

Единицей
угловой скорости является 1 рад/с.
Характеристикой быстроты изменения
угловой скорости служит угловое
ускорение,

обозначаемое
.
Среднее ускорение
;

.

Единица
углового ускорения 1 рад/с2.

Условимся
угол поворота, отсчитываемый против
хода часовой
стрелки,
считать положительным, а отсчитываемый
по ходу часовой стрелки – отрицательным.

б

а

Рис. 7.4. К
определению вида вращательного движения

Векторы


и

– это скользящие векторы, которые
направлены по оси вращения, чтобы, глядя
из конца вектора

(или

),
видеть вращение, происходящее против
часовой стрелки.

Если
векторы

и

направлены в одну сторону (рис. 7.4,
а),
то вращательное движение тела ускоренное
– угловая скорость возрастает. Если
векторы

и

направлены в противоположные стороны,
то вращение тела замедленное

угловая скорость уменьшается (рис. 7.4,
б).

7.3. Частные случаи вращательного движения

1. Равномерное
вращательное движение
.
Если угловое ускорение
и, следовательно, угловая скорость

,
(7.1)

то
вращательное движение называется
равномерным. Из выражения (7.1) после
разделения переменных получим

Если
при изменении времени от 0 до t
угол поворота изменялся от φ0
(начальный угол поворота) до φ,
то, интегрируя уравнение в этих пределах:

получаем уравнение
равномерного вращательного движения

,

которое в
окончательном виде записывается так:

.

Если

,
то

.

Таким
образом, при равномерном вращательном
движении угловая скорость

или при
.

2. Равнопеременное
вращательное движение
.
Если угловое ускорение

(7.2)

то
вращательное движение называется
равнопеременным. Производя разделение
переменных в выражении (7.2):

и
приняв, что при изменении времени от 0
до t
угловая скорость изменилась от
(начальная угловая скорость) до
,
проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

,

т. е.
получим уравнение

(7.3)

выражающее значение
угловой скорости в любой момент времени.

Закон
равнопеременного вращательного движения


или, с учетом уравнения (7.3):

Полагая,
что в течение времени от 0 до t
угол поворота изменялся от
до,
проинтегрируем уравнение в этих пределах:

или

Уравнение
равнопеременного вращательного движения
в оконча­тельном виде


(7.4)

Первую
вспомогательную формулу получим,
исключив из формул (7.3)
и
(7.4) время:


(7.5)

Исключив
из тех же формул угловое ускорение
,
получим вторую вспомогательную формулу:

(7.6)

где

средняя угловая скорость при
равнопере­менном вращательном
движении.

Когда


и
,
формулы (7.3)–(7.6) приобретают более
простой вид:

В
процессе конструирования угловое
перемещение выражают не в радианах, а
просто в оборотах.

Угловая
скорость, выражаемая количеством
оборотов в минуту, называется частотой
вращения

и обозначается n.
Установим зависимость между

–1)
и n
(мин–1).
Так как
,
то при n
(мин–1)
за t
=
1 мин = 60 с угол поворота
.
Следовательно:

.

При
переходе от угловой скорости

–1)
к частоте вращения n
(мин–1)
имеем

studfiles.net

Угловая скорость. Формула угловой скорости :: SYL.ru

Расстояние и время, которое уходит на преодоление этого расстояния, связывает физическое понятие – скорость. И у человека, как правило, не вызывает вопросов определение этой величины. Все понимают, что двигаться на автомобиле со скоростью 100 км/ч — значит за один час проехать 100 километров.

А как быть, если тело вращается? Например, обычный бытовой вентилятор делает с десяток оборотов в секунду. И в то же время скорость вращения лопастей такова, что их запросто можно остановить рукой без вреда для себя. Земля вокруг своей звезды – Солнца — делает один оборот за целый год, а это более 30 миллионов секунд, но скорость её движения по околозвёздной орбите составляет около 30 километров за одну секунду!

Как же связать привычную скорость с быстротой вращения, как выглядит формула угловой скорости?

Понятие угловой скорости

Понятие угловой скорости используется в изучении законов вращения. Оно применяется ко всем вращающимся телам. Будь то вращение некоторой массы вокруг другой, как в случае с Землёй и Солнцем, или же вращение самого тела вокруг полярной оси (суточное вращение нашей планеты).

Отличие угловой скорости от линейной в том, что она фиксирует изменение угла, а не расстояния в единицу времени. В физике угловую скорость принято обозначать буквой греческого алфавита «омега» — ω.

Классическая формула угловой скорости вращения рассматривается так.

Представим, что вокруг некоторого центра А вращается физическое тело с постоянной скоростью. Его положение в пространстве относительно центра определяется углом φ. В некоторый момент времени t1 рассматриваемое тело находится в точке В. Угол отклонения тела от начального φ1.

Затем тело перемещается в точку С. Оно находится там в момент времени t2. Время, понадобившееся для данного перемещения:

∆t = t2 – t1.

Меняется и положение тела в пространстве. Теперь угол отклонения равен φ2. Изменение угла за период времени ∆t составило:

∆φ = φ2 – φ1.

Теперь формула угловой скорости формулируется следующим образом: угловая скорость определяется как отношение изменения угла ∆φ за время ∆t.

Единицы измерения угловой скорости

Скорость движения тела линейная измеряется в разных величинах. Движение автотранспорта по дорогам привычно указывают в километрах в час, морские суда делают узлы – морские мили в час. Если же рассматривать движение космических тел, то тут чаще всего фигурируют километры в секунду.

Угловая скорость в зависимости от величины и от предмета, который вращается, также измеряется в разных единицах.

Радианы в секунду (рад/с) – классическое мерило скорости в международной системе единиц (СИ). Показывают – на сколько радиан (в одном полном обороте 2 ∙ 3,14 радиан) успевает повернуться тело за одну секунду.

Обороты в минуту (об/мин) – самая распространённая единица для обозначения скоростей вращения в технике. Валы двигателей как электрических, так и автомобильных выдают именно (достаточно посмотреть на тахометр в своём автомобиле) обороты в минуту.

Обороты в секунду (об/с) – используется реже, прежде всего в образовательных целях.

Период обращения

Иногда для определения скорости вращения удобнее пользоваться другим понятием. Периодом обращения принято называть время, за которое некое тело делает оборот 360° (полный круг) вокруг центра вращения. Формула угловой скорости, выраженная через период обращения, принимает вид:

ω = 2П / Т.

Выражать периодом обращения быстроту вращения тел оправдано в случаях, когда тело вращается относительно медленно. Вернёмся к рассмотрению движения нашей планеты вокруг светила.

Формула угловой скорости позволяет вычислить её, зная период обращения:

ω = 2П/31536000 = 0,000000199238499086111 рад/с.

Глядя на полученный результат, можно понять, почему, рассматривая вращение небесных тел, удобнее пользоваться именно периодом обращения. Человек видит перед собой понятные цифры и наглядно представляет себе их масштаб.

Связь угловой и линейной скоростей

В некоторых задачах должны быть определены линейная и угловая скорость. Формула трансформации проста: линейная скорость тела равняется произведению угловой скорости на радиус вращения. Как это показано на рисунке.

«Работает» выражение и в обратном порядке, с его помощью определяется и угловая скорость. Формула через скорость линейную получается путём несложных арифметических манипуляций.

www.syl.ru

Отправить ответ

avatar
  Подписаться  
Уведомление о