Законы булевой алгебры: Булевы = логические функции. Основные законы математической логики = законы Булевой алгебры. Формы представления булевых = логических функций.

Законы булевой алгебры | Учебник по организации и архитектуре компьютера

Законы и правила булевой алгебры

В упрощении булевого выражения важную роль играют законы и правила булевой алгебры. Прежде чем понимать эти законы и правила булевой алгебры, разберитесь с концепцией сложения и умножения булевых операций.

Логическое сложение

Операция сложения булевой алгебры аналогична операции ИЛИ. В цифровых схемах операция ИЛИ используется для вычисления члена суммы без использования операции И.A + B, A + B ‘, A + B + C’ и A ‘+ B + + D’ являются одними из примеров «суммарного члена». Значение суммы — истина, когда один или несколько литералов истинны, и ложь, когда все литералы ложны.

Логическое умножение

Операция умножения в булевой алгебре аналогична операции AND. В цифровых схемах операция И вычисляет произведение без использования операции ИЛИ. AB, AB, ABC и ABCD — некоторые из примеров термина продукта. Значение термина продукта истинно, когда все литералы истинны, и ложь, когда любой из литералов ложен.

Законы булевой алгебры

Существуют следующие законы булевой алгебры:

Коммутативный закон

Этот закон гласит, что независимо от того, в каком порядке мы используем переменные. Это означает, что порядок переменных не имеет значения. В булевой алгебре операции ИЛИ и сложения аналогичны. На диаграмме ниже логический элемент ИЛИ показывает, что порядок входных переменных вообще не имеет значения.

Для двух переменных коммутативный закон сложения записывается как:

А + В = В + А

Для двух переменных коммутативный закон умножения записывается как:

А.B = B.A

Ассоциативный закон

Этот закон гласит, что операция может выполняться в любом порядке при одинаковом приоритете переменных. Поскольку ‘*’ и ‘/’ имеют одинаковый приоритет. На диаграмме ниже ассоциативный закон применяется к логическому элементу ИЛИ с 2 входами.

Для трех переменных ассоциативный закон сложения записывается как:

А + (В + С) = (А + В) + С

Для трех переменных ассоциативный закон умножения записывается как:

А (ВС) = (АВ) С

Согласно этому закону, независимо от того, в каком порядке переменные группируются при выполнении операции И более двух переменных.На диаграмме ниже ассоциативный закон применяется к логическому элементу И с двумя входами.

Распределительный закон:

Согласно этому закону, если мы выполняем операцию ИЛИ для двух или более переменных, а затем выполняем операцию И для результата с одной переменной, то результат будет аналогичен выполнению операции И этой единственной переменной с каждыми двумя или дополнительная переменная, а затем выполнить операцию ИЛИ для этого продукта. Этот закон объясняет процесс факторинга.

Для трех переменных закон распределения записывается как:

А (В + С) = АВ + АС

Правила булевой алгебры

Существуют следующие правила булевой алгебры, которые в основном используются для управления и упрощения логических выражений.Эти правила играют важную роль в упрощении логических выражений.

Правило 1: A + 0 = A

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию ИЛИ с 0, результат будет таким же, как и входная переменная. Итак, если значение переменной равно 1, то результатом будет 1, а если значение переменной равно 0, то результатом будет 0.Схематично это правило можно определить как:

Правило 2: (A + 1) = 1

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию ИЛИ с 1, результат всегда будет 1. Таким образом, если значение переменной равно 1 или 0, то результат всегда будет 1. Диаграмма. , это правило можно определить как:

Правило 3: (A.0) = 0

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию И с 0, результатом всегда будет 0.Это правило гласит, что входная переменная с оператором AND с 0 всегда равна 0. Схематично это правило можно определить как:

Правило 4: (A.1) = A

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию И с 1, результат всегда будет равен входной переменной. Это правило гласит, что входная переменная, объединенная операцией AND с 1, всегда равна входной переменной. Схематично это правило можно определить как:

Правило 5: (A + A) = A

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1.Когда мы выполняем операцию ИЛИ с той же переменной, результат всегда будет равен входной переменной. Это правило гласит, что входная переменная, объединенная с самим собой, всегда равна входной переменной. Схематично это правило можно определить как:

Правило 6: (A + A ‘) = 1

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию OR с дополнением этой переменной, результат всегда будет равен 1. Это правило гласит, что переменная, объединенная OR с ее дополнением, равна 1 всегда.Схематично это правило можно определить как:

Правило 7: (A.A) = A

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1. Когда мы выполняем операцию И с той же переменной, результат всегда будет равен только этой переменной. Это правило гласит, что переменная, соединенная с самой собой, всегда равна входной переменной. Схематично это правило можно определить как:

Правило 8: (A.A ‘) = 0

Предположим; у нас есть входная переменная A, значение которой равно 0 или 1.Когда мы выполняем операцию И с дополнением этой переменной, результат всегда будет равен 0. Это правило гласит, что переменная, соединенная операцией И с ее дополнением, всегда равна 0. Схематично это правило можно определить как:

Правило 9: A = (A ‘)’

Это правило гласит, что если мы выполним двойное дополнение переменной, результат будет таким же, как и исходная переменная. Итак, когда мы выполняем дополнение переменной A, результатом будет A ‘. Далее, если мы снова выполним дополнение к A ‘, мы получим A, то есть исходную переменную.

Правило 10: (A + AB) = A

Мы можем доказать это правило, используя правило 2, правило 4 и закон распределения как:

A + AB = A (1 + B) Факторинг (закон распределения)
A + AB = A.1 Правило 2: (1 + B) = 1
A + AB = A Правило 4: A .1 = A

Правило 11: A + AB = A + B

Мы можем доказать это правило, используя приведенные выше правила как:

A + AB = (A + AB) + AB Правило 10: A = A + AB
A + AB = (AA + AB) + AB Правило 7: A = AA
A + AB = AA + AB + AA + AB Правило 8: сложение AA = 0
A + AB = (A + A) (A + B) Факторинг
A + AB = 1.(A + B) Правило 6: A + A = 1
A + AB = A + B Правило 4: бросьте 1

Правило 12: (A + B) (A + C) = A + BC

Мы можем доказать это правило, используя приведенные выше правила как:

(A + B) (A + C) = AA + AC + AB + BC Закон распределения
(A + B) (A + C) = A + AC + AB + BC Правило 7: AA = A
(A + B ) (A + C) = A (1 + C) + AB + BC Правило 2: 1 + C = 1
(A + B) (A + C) = A.1 + AB + BC Факторинг (закон распределения)
(A + B) (A + C) = A (1 + B) + BC Правило 2: 1 + B = 1
(A + B) (A + C) = A.1 + BC Правило 4: A .1 = A
(A + B) (A + C) = A + BC

Булева алгебра

Введение

• P1: X = 0 или X = 1
• P2: 0 0 = 0
• P3: 1 + 1 = 1
• P4: 0 + 0 = 0
• P5: 1 1 = 1
• P6: 1 0 = 0 1 = 0
• P7: 1 + 0 = 0 + 1 = 1

Основные булевы теоремы

T1: Коммутативный закон

(а) A + B = B + A
(б) A B = B A

T2: Ассоциативный закон

(а) (A + B) + C = A + (B + C)
(б) (А Б) С = А (В С)

T3: Закон о распределении

(а) A (B + C) = A B + A C
(б) А + (В С) = (А + В) (А + С)

T4: Закон о личности

(а) А + А = А
(б) A A = A

T5: Закон об отрицании

(a)
(b)

T6: Закон о резервировании

(а) A + A B = A
(б) А (А + В) = А

T7:

(а) 0 + A = A
(б) 1 А = А
(в) 1 + A = 1
(г) 0 А = 0

T8:

(а)
(б)

T9:

(a)
(b)

T10: Теорема Де Моргана

(а)
(б)

Теоремы в таблице 2.2 можно доказать алгебраически, используя таблицы истинности или с помощью диаграммы Венна .

Пример 2.1 Доказательство T9: (a)

(1) Алгебраически,

(2) Используя таблицу истинности,

(3) Используя диаграммы Венна,

На выходе логического элемента И-НЕ высокий уровень, если на каком-либо из его входов низкий уровень. То есть выход низкий, только если все его входы высокая. Логическое выражение для логического элемента И-НЕ с 4 входами:

(a) Докажите T9 (b).

(b) Докажите T10: (a) и (b), заполнив таблицы истинности ниже:

Проблема 2.2

(a) Запишите логическое выражение на выходе Y 3-входного Ворота NAND,

с точки зрения входов A, B и C.

Законы и теоремы булевой алгебры

Булева алгебра — курс цифровой электроники

Булева алгебра, логическая алгебра, позволяет применять правила, используемые в алгебре чисел, к логике. Он формализует правила логики. Булева алгебра используется для упрощения логических выражений которые представляют собой комбинационные логические схемы.Он сокращает исходное выражение до эквивалентного выражения с меньшим количеством терминов, что означает, что для реализации требуется меньше логических вентилей. комбинационная логическая схема.

Калькулятор логических выражений

Воспользуйтесь калькулятором, чтобы найти сокращенное логическое выражение или проверить свои (промежуточные) ответы.

Примечания:
• Используйте ~ * + для обозначения НЕ И ИЛИ соответственно. Не пропускайте оператор * для операции И.
  • (~ AB) + (B ~ C) + (AB) вернет ошибку
  • (~ A * B) + (B * ~ C) + (A * B) в порядке
• Логические операции следуют порядку приоритета НЕ И ИЛИ.Выражения внутри скобок () всегда оцениваются первыми, имея приоритет над порядком приоритета.
• Пожалуйста, вводите только переменные, константы вроде 0,1 не допускаются.
• Переменные E, I, N, O, Q, S не допускаются

Упрощение логических выражений

В следующем примере показано, как использовать алгебраические методы для упрощения логического выражения

Каждая строка (или шаг) дает новое выражение и правило или правила, использованные для его получения из предыдущего.Достичь конечного результата можно несколькими способами. Вы можете использовать наш калькулятор, чтобы проверить промежуточные этапы вашего ответа. Эквивалентность означает, что ваш ответ и исходное логическое выражение имеют одну и ту же таблицу истинности.

Законы булевой алгебры

закона логической алгебры используются для упрощения логических выражений.

Основные логические законы

1. Идемпотентный закон
2. Ассоциативный закон
   • (A * B) * C = A * (B * C)
   • (А + В) + С = А + (В + С)
3. Коммутативный закон
   • А * В = В * А
   • А + В = В + А
4. Распределительное право
   • А * (В + С) = А * В + А * С
   • А + (В * С) = (А + В) * (А + С)
5. Закон о личности
   • А * 0 = 0 А * 1 = А
   • А + 1 = 1 А + 0 = А
6. Закон о дополнении
7. Закон об инволюции
8. Закон ДеМоргана
   • ~ (А * В) = ~ А + ~ В
   • ~ (А + В) = ~ А * ~ В

   Законы о резервировании

9. Поглощение
   • А + (А * В) = А
   • А * (А + В) = А
10. • (А * В) + (А * ~ В) = А
    • (А + В) * (А + ~ В) = А
11. • А + (~ А * В) = А + В
    • А * (~ А + В) = А * В

Каждый закон описывается двумя частями, которые дублируют друг друга.Принцип двойственности

• Замена операций + (ИЛИ) и * (И) в выражении.
• Замена элементов 0 и 1 в выражении местами.
• Не меняет форму переменных.

Применение булевой алгебры

состоит из следующих этапов.

1. Из проектной спецификации найдите таблицу истинности
2. Из таблицы истинности выведите логическое выражение «Сумма произведений».
3. Используйте логическую алгебру, чтобы упростить логическое выражение. Чем проще логическое выражение, тем меньше логических элементов будет использоваться.
4. Используйте логические элементы для реализации упрощенного логического выражения.

Присоединяйтесь к обсуждению

Поскольку доходы от рекламы падают, несмотря на увеличение числа посетителей, нам нужна ваша помощь в поддержании и улучшении этого сайта, что требует времени, денег и упорного труда. Благодаря щедрости наших посетителей, которые давали ранее, вы можете использовать этот сайт бесплатно.

Если вы получили пользу от этого сайта и можете, пожалуйста, дайте 10 долларов через Paypal . Это позволит нам продолжаем в будущее. Это займет всего минуту. Спасибо!

Я хочу дать!

Булева алгебра — обзор

5.3.3 Булева алгебра

Булева алгебра (разработанная Джорджем Булем и Августом Де Морганом) формирует базовый набор правил, которые регулируют отношения между утверждениями истина и ложь в логике.Применительно к цифровым логическим схемам и системам утверждения «истина-ложь» регулируют взаимосвязь между логическими уровнями (логический 0 и 1) в цифровых логических схемах и системах. Связи основаны на переменных и константах:

•

Идентификатор логического оператора AND -. (точка).

•

Идентификатор логического оператора ИЛИ — + (символ математического сложения).

•

Идентификатор логического оператора НЕ: ^– (полоса в выражении).

•

Идентификатор логического оператора EX-OR — Å (заключенный в кружок символ сложения).

На рисунке 5.5 показано логическое выражение для каждого из этих операторов.

Рисунок 5.5. Логические выражения для основных логических операторов

Каждый из операторов можно комбинировать для создания более сложных логических выражений. Например, если схема имеет четыре входа (A, B, C и D) и один выход (Z), то если Z — это логическая 1, когда (A и B) — это логическая 1, или , когда ( C и D) представляет собой логическую единицу, логическое выражение имеет вид:

Z = (A.B) + (C.D)

Здесь круглые скобки используются для группировки переменных, объединенных операцией AND, и для обозначения приоритета среди различных операций — аналогично их использованию в других математических выражениях. Логический оператор И имеет более высокий приоритет, чем логический оператор ИЛИ, и поэтому естественно будет сгруппирован таким образом.

Логическим выражением, написанным с использованием логической алгебры, можно манипулировать в соответствии с рядом теорем, чтобы преобразовать его в форму, в которой используются правильные логические операторы (и, следовательно, правильный тип логических элементов), и минимизировать количество логических элементов.Теоремы булевой алгебры делятся на три основные категории:

1.

Логические операции над константами

2.

Логические операции над одной переменной

3.

Логические операции над двумя или более переменные.

В таблице 5.10 приведены логические операции с константами. Каждое постоянное значение может быть либо логическим 0, либо 1. Результатом является либо логический 0, либо 1 в соответствии с логическим оператором.Полоса над константой указывает на логическую инверсию константы .

Таблица 5.10. Логические операции над константами

В таблице 5.11 приведены логические операции над одной переменной (A). Операция выполняется только с переменной или с переменной и постоянным значением. Каждая переменная и постоянное значение могут быть либо логическим 0, либо 1. Результатом является либо логический 0, либо 1 в соответствии с логическим оператором.

Таблица 5.11. Логические операции над одной переменной

Полоса над переменной указывает на логическую инверсию переменной.Двойная полоса указывает на логическую инверсию, за которой следует другая логическая инверсия. Этот эффект показан на рисунке 5.6 при использовании символа схемы для логического элемента НЕ (символ представляет собой треугольник с кружком на конце — см. Рис. 5.8). По логике, двойная инверсия сигнала не имеет логического эффекта.

Рисунок 5.8. Условные обозначения схем логического оператора

Рисунок 5.6. Инверсия переменной

На практике логические вентили, используемые для создания каждой из инверсий, будут создавать задержку распространения значения переменной, когда оно проходит через каждый логический вентиль.Однако двойная инверсия создает логический буфер, как показано на рисунке 5.7.

Рисунок 5.7. Обозначение схемы логического буфера

Буфер можно использовать для подачи сигнала на большую электрическую нагрузку.

В таблице 5.12 приведены логические операции с двумя или более переменными. Здесь рассматриваются две ( A и B ) или три переменные ( A, B и C ). Каждое значение переменной может быть либо логическим 0, либо 1. Результатом является либо логический 0, либо 1 в соответствии с логическим оператором.

Таблица 5.12. Логические операции над двумя или тремя переменными

Правило коммутации утверждает, что порядок размещения переменных в выражении не имеет значения. Правило поглощения полезно для упрощения логических выражений, а правило ассоциации позволяет группировать переменные в любом порядке. Теоремы Де Моргана широко используются в дизайне цифровой логики, поскольку они позволяют связать логические операторы И с логическими операторами ИЛИ, а логические операторы ИЛИ — с логическими операторами И НЕ, что позволяет логическим выражениям принимать разные формы и, таким образом, реализовывать их с использованием различных логические ворота.Законы распределения допускают процесс, аналогичный факторизации в арифметике, а теоремы минимизации позволяют приводить булевы выражения к более простой форме.

Математика булевой алгебры (Стэнфордская энциклопедия философии)

Булева алгебра (BA) — это множество \ (A \) вместе с двоичными операции + и \ (\ cdot \) и унарная операция \ (- \), а также элементы 0, 1 из \ (A \) такие, что выполняются следующие законы: коммутативность и ассоциативные законы сложения и умножения, законы распределения как для умножения над сложением, так и для сложения над умножение и следующие специальные законы:

Эти законы лучше понять на базовом примере BA, состоящий из набора \ (A \) подмножеств множества \ (X \) замкнутых при операциях объединения, пересечения, дополнения с относительно \ (X \), с членами \ (\ varnothing \) и \ (X \).Можно легко вывести многие элементарные законы из этих аксиом, имея в виду этот пример для мотивации. Любая БА имеет естественный частичный порядок \ (\ le \) определил на нем, сказав, что \ (x \ le y \) тогда и только тогда, когда \ (x + у = у \). В нашем основном примере это соответствует \ (\ substeq \). Из Особое значение имеет двухэлементная БА, образованная набором \ (X \), чтобы иметь только один элемент. Двухэлементный БА показывает прямое связь с элементарной логикой. Два члена, 0 и 1, соответствуют к лжи и правде соответственно.Затем логические операции выражают обычные таблицы истинности для дизъюнкции (с \ (+) \), конъюнкции (с \ (\ cdot) \) и отрицанием (с \ (-) \). Важный элементарный В результате уравнение выполняется во всех БА тогда и только тогда, когда оно выполняется в двухэлементный БА. Затем мы определяем \ (x \ oplus y = (x \ cdot -y) + (y \ cdot -x) \). Тогда \ (A \) вместе с \ (\ oplus \) и \ (\ cdot \), вдоль с 0 и 1, образует кольцо с единицей, в котором каждый элемент идемпотентный. Наоборот, для такого кольца с добавлением \ (\ oplus \) и умножение, определите \ (x + y = x \ oplus y \ oplus (x \ cdot y) \) и \ (- x = 1 \ oplus x \).Это превращает кольцо в BA. Эти двое процессы противоположны друг другу и показывают, что теория Булевых алгебр и колец с единицей, в которых каждый элемент идемпотенты по определению эквивалентны. Это ставит теорию БА в стандартный объект исследования в алгебре. Атом в БА — это ненулевой элемент \ (a \) такой, что не существует элемента \ (b \) с \ (0 \ lt б \ л а \). БА является атомарной, если каждый ненулевой элемент БА выше атом. Конечные БА атомарны, как и многие бесконечные БА.Под частичный порядок \ (\ le \) выше, \ (x + y \) — наименьшая верхняя граница \ (x \) и \ (y \), а \ (x \ cdot y \) — точная нижняя граница \ (х \) и \ (у \). Мы можем обобщить это: \ (\ Sigma X \) — наименьшее верхняя граница множества элементов \ (X \), а \ (\ Pi X \) — наибольшее нижняя граница множества \ (X \) элементов. Это не для всех множества во всех булевых алгебрах; если они существуют всегда, логическое алгебра называется полной.

Некоторые алгебраические конструкции имеют очевидные определения и простые свойства БА: подалгебры, гомоморфизмы, изоморфизмы и прямые произведения (даже бесконечного числа алгебр).Несколько других Стандартные алгебраические конструкции более характерны для БА. Идеал в BA — это подмножество \ (I \), замкнутое относительно +, с 0 в качестве члена, и такое что если \ (a \ le b \ in I \), то также \ (a \ in I \). Хотя нет сразу очевидно, это то же самое, что и теоретико-кольцевое концепция. Существует двойственное понятие фильтра (не имеющее аналога в кольца в целом). Фильтр — это подмножество \ (F \), замкнутое относительно \ (\ cdot \), имеющий 1 в качестве члена и такой, что если \ (a \ ge b \ in F \), то также \ (а \ в F \). Ультрафильтр на \ (A \) — это фильтр \ (F \) с следующие свойства: \ (0 \ not \ in F \), и для любого \ (a \ in A \) либо \ (а \ в F \) или \ (- а \ в F \).Для любого \ (a \ in A \) пусть

Тогда \ (S \) — изоморфизм на БА подмножеств множества \ (X \) множества все ультрафильтры на \ (A \). Это устанавливает основной камень теорема о представлении и проясняет происхождение БА как конкретных алгебры множеств. Более того, множества \ (S (a) \) можно объявить базой топологии на \ (X \), что превращает \ (X \) в полностью несвязное компактное хаусдорфово пространство. Это устанавливает один-один соответствие между классом БА и классом таких пробелы.Как следствие, очень часто используемые в теории БА, многие топологические теоремы и концепции имеют последствия для БА. Если \ (x \) является элементом БА, пусть \ (0x = -x \) и \ (1x = x \). Если \ ((x \) (0), \ (\ ldots x (m — 1)) \) — конечная последовательность элементов BA \ (A \), то каждый элемент подалгебры в \ (A \), порожденный \ (\ {x (0), \ ldots, x (m — 1) \} \) можно записать как сумму мономов \ (e (0) x (0) \ cdot \ ldots \ cdot e (m — 1) x (m — 1) \) для \ (e \) в некотором наборе функций, отображающих \ (m = \ {0, \ ldots, m — 1 \} \) в \ (2 = \ {0, 1 \} \).Это алгебраическое выражение дизъюнктивной нормальной формы Теорема сентенциальной логики. Функция \ (f \) из множества \ (X \) образующие БА \ (А \) в БА \ (B \) продолжаются до гомоморфизм тогда и только тогда, когда

всегда означает, что

Это критерий расширения Сикорского. Каждый BA \ (A \) может быть вложено в полный BA \ (B \) таким образом, что каждый элемент \ (B \) — точная верхняя граница набора элементов \ (A \).\ (B \) есть единственна с точностью до \ (A \) — изоморфизма и называется пополнением \ (А \). Если \ (f \) — гомоморфизм БА \ (А \) в полную БА \ (B \), и если \ (A \) — подалгебра в \ (C \), то \ (f \) может быть продолжается до гомоморфизма \ (C \) в \ (B \). Это Теорема Сикорского о продолжении. Еще одно общее алгебраическое понятие применимым к булевым алгебрам является понятие свободного алгебра. Это может быть конкретно сконструировано для БА. А именно бесплатные BA на \ (\ kappa \) — это БА замкнуто-открытых подмножеств двух элементов дискретное пространство возведено в степень \ (\ kappa \).

Есть много важных специальных классов булевой алгебры. как для внутренней теории БА, так и для заявок:

• Атомные БА, уже упомянутые выше.
• безатомных БА, которые определены как БА без атомов. Например, любое бесконечное свободный БА безатомен.
• Полные BA, определенные выше. Это специально важен в основах теории множеств.
• Интервальные алгебры. Они получены из линейно упорядоченных множеств \ ((L, \ lt) \) с первым элементом следующим образом.Один берет самое маленькое алгебра подмножеств \ (L \), содержащая все полуоткрытые интервалы [\ (a, b) \) с \ (a \) в \ (L \) и \ (b \) в \ (L \) или равно \ (\ infty \). Эти БА полезны в изучение алгебр Линденбаума-Тарского. Каждый счетный БА изоморфна интервальной алгебре, а значит, счетная БА может быть описывается указанием упорядоченного множества, такого, что оно изоморфно соответствующая интервальная алгебра.
• Древовидные алгебры. Дерево — это частично упорядоченное множество \ ((T, \ lt) \) в в котором множество предшественников любого элемента упорядочено.Данный такое дерево рассматривается алгебра подмножеств \ (T \), порожденная всеми множествами вида \ (\ {b: a \ le b \} \) для некоторого \ (a \) в \ (Т \).
• Суператомные БА. Это БА которые не только атомарны, но таковы, что каждая подалгебра и гомоморфный образ атомарен.

Многое из более глубокой теории булевых алгебр, рассказывая об их структуру и классификацию, можно сформулировать в терминах определенных функции, определенные для всех булевых алгебр, с бесконечными кардиналами как ценности.Мы определяем некоторые из наиболее важных из этих кардинальных функций, и указать некоторые из известных структурных фактов, в основном сформулировано на их основе

1. Клеточность \ (c (A) \) БА является супремумом мощности множеств попарно непересекающихся элементов \ (A \).
2. Подмножество \ (X \) БА \ (A \) является независимым, если \ (X \) — это набор свободных образующих подалгебры, генерирует. Независимость \ (A \) есть верхняя грань мощности независимых подмножеств \ (A \).
3. Подмножество \ (X \) БА \ (A \) плотно в \ (A \), если каждый ненулевой элемент \ (A \) является \ (\ ge \) ненулевым элементом \(ИКС\). \ (\ Pi \) — вес \ (A \) — это наименьшая мощность плотного подмножества \ (A \).
4. Два элемента \ (x, y \) из \ (A \) несравнимы если ни один из них не является \ (\ le \) другим. Супремум мощностей подмножество \ (X \) в \ (A \), состоящее из попарно несравнимых элементов — это несравнимость \ (A \).
5. Подмножество \ (X \) из \ (A \) неизбыточно, если ни один элемент \ (X \) находится в подалгебре, порожденной другими.

Важным фактом, касающимся клеточности, является метод Эрдеша-Тарского. Теорема: если клеточность БА — особый кардинал, то существует фактически представляет собой набор непересекающихся элементов такого размера; на клеточность штатный лимит (недоступен), есть контрпримеры. Каждый бесконечная полная БА имеет независимое подмножество того же размера, что и алгебра. Каждый бесконечный BA \ (A \) имеет неизбыточную несравнимую подмножество, размер которого равен \ (\ pi \) — весу \ (A \). Каждый интервал алгебра имеет счетную независимость.Суператомная алгебра не даже иметь бесконечное независимое подмножество. Любая древовидная алгебра может быть вложено в интервальную алгебру. БА только с удостоверением личности автоморфизм называется жестким. Существуют жесткие полные БА, а также жесткие интервальные алгебры и жесткие древовидные алгебры.

Совсем недавно многие кардинальные функции типа min-max были учился. Например, малая независимость — это наименьший размер бесконечное максимальное независимое множество; и малая клеточность — это наименьший размер бесконечного разбиения единицы.

Основной результат Тарского состоит в том, что элементарная теория булевых алгебры разрешимы. Даже теория булевых алгебр с выделенный идеал разрешим. С другой стороны, теория Булева алгебра с выделенной подалгеброй неразрешима. Оба результаты разрешимости и неразрешимости распространяются на различные пути к булевым алгебрам в расширениях логики первого порядка.

Очень важная конструкция, которая переносится на многие логики и многих алгебр, кроме булевых, является построением Булева алгебра связана с предложениями в некоторой логике.В Самый простой случай — это логика предложений. Здесь есть символы предложений, и общие связки, составляющие из них более длинные предложения: дизъюнкция, союз и отрицание. Для набора \ (A \) предложений в этом языке два предложения \ (s \) и \ (t \) эквивалентны по модулю \ (A \) тогда и только тогда, когда двусмысленность между ними является логическим следствие \ (A \). Классы эквивалентности могут быть преобразованы в БА. такой, что + соответствует дизъюнкции, \ (\ cdot \) — конъюнкции и \ (- \) к отрицанию. Любая БА изоморфна одной из этих форм.Можно сделайте нечто подобное для теории первого порядка. Пусть \ (T \) — теория первого порядка в языке первого порядка \ (L \). Мы называем формулы \ (\ phi \) и \ (\ psi \) эквивалент при условии, что \ (T \ vdash \ phi \ leftrightarrow \ psi \). Класс эквивалентности предложения \ (\ phi \) обозначается [\ (\ phi \)]. Пусть \ (A \) — совокупность всех классы эквивалентности по этому отношению эквивалентности. Мы можем сделать \ (A \) в БА следующими определениями, которые легко оправдано:

Каждая БА изоморфна БА Линденбаума-Тарского. алгебра.Однако одно из наиболее важных применений этих классических Алгебры Линденбаума-Тарского должны описать их для важных теорий. (обычно разрешимые теории). Для счетных языков это может быть сделано путем описания их изоморфных интервальных алгебр. Обычно это дает доскональное знание теории. Вот несколько примеров:

В теории моделей можно принимать значения в любом полном БА, а не в двухэлементный БА.Эта теория булевозначных моделей была развита примерно в 1950–1970 годах, но с тех пор почти не работал. Но частный случай, булевозначные модели для теории множеств, очень авангард современных исследований в области теории множеств. Фактически это формирует эквивалентный способ взглянуть на форсирующую конструкцию Коэна, и имеет ряд технических преимуществ и недостатков. Философски это кажется более удовлетворительным, чем концепция принуждения. Мы описываем это случай теории множеств здесь; тогда станет очевидно, почему только завершать Рассматриваются БА.Пусть B — полная БА. Сначала мы определяем Булевозначный универсум \ (V (B) \). Обычный теоретико-множественный универсум можно отождествить с \ (V \) (2), где 2 — двухэлементная БА. Определение дается трансфинитной рекурсией, где \ (\ alpha, \ beta \) — порядковые числа, а \ (\ lambda \) — предельный порядковый номер:

где \ (\ dom (f) \) — область определения функции \ (f \), а \ (\ range (f) \) — диапазон функции \ (f \). \ (B \) -значная вселенная является собственно класс \ (V (B) \), который является объединением всех этих \ (V \) s. Следующий определяется довольно сложной трансфинитной рекурсией над обоснованно устанавливает значение теоретико-множественной формулы с элементами булевозначной вселенной, присвоенной его свободным переменным: