Зануление матрицы: Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Содержание

Зануление строки матрицы онлайн. Понижение порядка определителя

Матрицы применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. При этом количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов – количеству неизвестных. Как результат – решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами.

Матрица записывается в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (к примеру, целых, комплексных или действительных чисел). Является совокупностью строк и столбцов, на пересечении которых находятся ее элементы. Размер матрицы задается количеством строк и столбцов.

Важным значением любой матрицы является её определитель, который вычисляется по определённой формуле. Вручную необходимо проделать ряд операций с матрицей, чтобы вычислить её определитель. Определитель может быть как положительным, так отрицательным, так и равен нулю. Чтобы проверить свои вычисления определителя матрицы, Вы можете воспользоваться нашим онлайн калькулятором.

Онлайн калькулятор мгновенно посчитает определитель матрицы и выдаст точное значение.

Определитель матрицы – это своеобразная характеристика матрицы, а точнее с помощью него можно определить имеет ли соответствующая система уравнений решение. Определитель матрицы широко используется в науке, такой как физика, с помощью которого вычисляется физический смысл многих величин.

Решение систем линейных алгебраических уравнений

Также с помощью нашего калькулятора вы сможете решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решение систем линейных алгебраических уравнений входит в число обычных задач линейной алгебры. СЛАУ и методы их решения лежат в основе многих прикладных направлений, в том числе в эконометрике и линейном программировании.

Бесплатный онлайн калькулятор

Наш бесплатный решатель позволит решить уравнение онлайн любой сложности за считанные секунды. Все, что вам необходимо сделать — это просто ввести свои данные в калькуляторе. Так же вы можете посмотреть видео инструкцию и узнать, как решить уравнение на нашем сайте. А если у вас остались вопросы, то вы можете задать их в нашей группе ВКонтакте http://vk.com/pocketteacher. Вступайте в нашу группу, мы всегда рады помочь вам.

Определитель матрицы

Нахождение определителя матрицы является очень частой задачей в высшей математике и алгебре. Как правило, без значения определителя матрицы не обойтись при решении сложных систем уравнений. На вычислении определителя матрицы построен метод Крамера решения систем уравнений. С помощью определения детермината определяют наличие и единственность решения систем уравнений. Поэтому сложно переоценить важность умения правильно и точно находить определитель матрицы в математике. Методы решения определителей являются теоретически довольно простыми, однако с увеличением размера матрицы вычисления становятся очень громоздкими и требуют огромной внимательности и много времени. Очень легко в таких сложных математических вычислениях допустить незначительную ошибку или описку, что приведет к ошибке в окончательном ответе.
Поэтому даже если вы находите определитель матрицы самостоятельно, важно проверить полученный результат. Это позволяет сделать наш сервис Нахождение определителя матрицы онлайн . Наш сервис выдает всегда абсолютно точный результат, не содержащий ни ошибок, ни описок. Вы можете отказаться от самостоятельных вычислений, поскольку с прикладной точки зрения, нахождение определителя матрицы не имеет обучающего характера, а просто требует много времени и числовых вычислений. Поэтому если в вашей задачи
определение детерминанта матрицы
являются вспомогательными, побочными вычислениями, воспользуйтесь нашим сервисом и найдите определитель матрицы онлайн !

Все вычисления проводятся автоматически с высочайшей точностью и абсолютно бесплатны. У нас очень удобный интерфейс для ввода матричных элементов. Но главное отличие нашего сервиса от аналогичных — возможность получения подробного решения. Наш сервис при вычислении определителя матрицы онлайн всегда использует самый простой и короткий метод и подробно описывает каждый шаг преобразований и упрощений.

Так что вы получаете не просто значение детерминанта матрицы, окончательный результат, но и целое подробное решение.

Задание. Вычислить определитель , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним элементарные преобразования над строками определителя, сделав как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих, от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули, например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

Ответ.

12. Слау 3 порядка

1. Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми, берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т. е.

2. Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных, со знаком «минус»:

3. Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения. Обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель

Решение.

Ответ.

4.Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его значение, согласно свойствам определителя, равно произведению элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен , то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:


Для того что бы вычислить определитель матрицы четвертого порядка или выше можно разложить определитель по строке или столбцу или применить метод Гаусса и привести определитель к треугольному виду .

Рассмотрим разложение определителя по строке или столбцу.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов строки определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по i -той строке.

Определитель матрицы равен сумме умноженных элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения:

Разложение по j -той строке.

Для облегчения разложение определителя матрицы обычно выбирают ту строку/столбец, в которой/ом максимальное количество нулевых элементов.

Пример

Найдем определитель матрицы четвертого порядка.

Будем раскладывать этот определитель за столбцом №3

Сделаем ноль вместо элемента a 4 3 =9 . Для этого из строки №4 вычтем от соответствующие элементы строки №1 умноженные на 3 .
Результат записываем в строке №4 все остальные строки переписываем без изменений.


Вот мы и сделали нолями все элементы, кроме a 1 3 = 3 в столбце № 3 . Теперь можно преступить и к дальнейшему разложению определителя за этим столбцом.


Видим, что только слагаемое

№1 не превращается в ноль, все остальные слагаемые будут нолями, так как они умножаются на ноль.
Значит, далее нам надо разложить, только один определитель:

Будем раскладывать этот определитель за строкой №1 . Сделаем некоторые преобразования, что бы облегчить дальнейшие расчеты.

Видим, что в этой строке есть два одинаковых числа, поэтому вычтем из столбца №3 столбец №2 , и результат запишем в столбце №3 , от этого величина определителя не изменится.

Далее нам надо сделать ноль вместо элемента a 1 2 =4 . Для этого мы элементы столбца №2 умножим на 3 и вычтем от него соответствующие элементы столбца №1 умноженные на 4 . Результат записываем в столбце №2 все остальные столбцы переписываем без изменений.


Но при этом надо не забывать, что если мы умножаем столбец №2 на 3 , то и весь определитель увеличится в 3 . А что бы он не изменился, значит надо его поделить на 3 .

Определитель рассчитывается только для квадратных матриц и является сумой слагаемых n-ого порядка. Подробный алгоритм его вычисления будет описан в готовом решении, которое вы сможете получить сразу после ввода условия в данный онлайн калькулятор. Это доступная и простая возможность получить детальную теорию, поскольку решение будет представлено с подробной расшифровкой каждого шага.

Инструкция пользования данным калькулятором проста. Чтобы найти определитель матрицы онлайн сначала вам нужно определиться с размером матрицы и выбрать количество столбцов и, соответственно, строк в ней. Для этого кликните на иконку «+» или «-». Далее остаётся только ввести нужные числа и нажать «Вычислить». Можно вводить как целые, так и дробные числа. Калькулятор сделает всю требуемую работу и выдаст вам готовый результат.

Чтобы стать экспертом в математике, нужно много и упорно тренироваться. A ещё никогда не помешает дополнительный раз себя перепроверить. Поэтому, когда перед вами поставлена задача вычислить определитель матрицы, целесообразно воспользоваться онлайн калькулятором. Он справится очень быстро, и в течение нескольких секунд на мониторе появится, готовое решение. Это не предполагает, что онлайн калькулятор должен заменять вам традиционные расчёты. Но он является превосходным помощником, если вам интересно понять алгоритм вычисления определителя матрицы. K тому же, это превосходная возможность проверить, правильно ли выполнена контрольная, подстраховаться от неудачной оценки.

Нейронные сети, или Как обучить искусственный интеллект — Интернет изнутри

Машинное обучение является не единственным, но одним из фундаментальных разделов искусственного интеллекта, занимающимся вопросами самостоятельного извлечения знаний интеллектуальной системой в процессе ее работы. Основу машинного обучения составляют так называемые искусственные нейронные сети, принцип работы которых напоминает работу биологических нейронов нервной системы животных и человека.
Технологии искусственного интеллекта все активнее используются в самых различных областях – от производственных процессов до финансовой деятельности. Популярные услуги техгигантов, такие как «Яндекс.Алиса», Google Translate, Google Photos и Google Image Search (AlexNet, GoogleNet) основаны на работе нейронных сетей.
Что такое нейронные сети и как они работают – об этом пойдет речь в статье.

Введение

У искусственного интеллекта множество определений. Под этим термином понимается, например, научное направление, в рамках которого ставятся и решаются задачи аппаратного или программного моделирования тех видов человеческой деятельности, которые традиционно считаются творческими или интеллектуальными, а также соответствующий раздел информатики, задачей которого является воссоздание с помощью вычислительных систем и иных искусственных устройств разумных рассуждений и действий, равно как и свойство систем выполнять «творческие» функции. Искусственный интеллект уже сегодня прочно вошел в нашу жизнь, он используется так или иначе во многих вещах, которые нас окружают: от смартфонов до холодильников, — и сферах деятельности: компании многих направлений, от IT и банков до тяжелого производства, стремятся использовать последние разработки для
повышения эффективности. Данная тенденция будет лишь усиливаться в будущем.

Машинное обучение является не единственным, но одним из основных разделов, фундаментом искусственного интеллекта, занимающимся вопросами самостоятельного извлечения знаний интеллектуальной системой в процессе ее работы. Зародилось это направление еще в середине XX века, однако резко возросший интерес направление получило с существенным развитием области математики, специализирующейся на нейронных сетях, после недавнего изобретения эффективных алгоритмов обучения таких сетей. Идея создания искусственных нейронных сетей была перенята у природы. В качестве примера и аналога была использована нервная система как животного, так и человека. Принцип работы искусственной нейронной сети соответствует алгоритму работы биологических нейронов.

Нейрон – вычислительная единица, получающая информацию и производящая над этой информацией какие-либо вычисления. Нейроны являются простейшей структурной единицей любой нейронной сети, из их множества, упорядоченного некоторым образом в слои, а в конечном счете – во всю сеть, состоят все сети. Все нейроны функционируют примерно одинаковым образом, однако бывают некоторые частные случаи нейронов, выполняющих специфические функции. Три основных типа нейронов:

Рис. 1. Основные типы нейронов.

Входной – слой нейронов, получающий информацию (синий цвет на рис. 1).
Скрытый – некоторое количество слоев, обрабатывающих информацию (красный цвет на рис. 1).
Выходной – слой нейронов, представляющий результаты вычислений (зеленый цвет на рис. 1).

Помимо самих нейронов существуют синапсы. Синапс – связь, соединяющая выход одного нейрона со входом другого. Во время прохождения сигнала через синапс сигнал может усиливаться или ослабевать. Параметром синапса является вес (некоторый коэффициент, может быть любым вещественным числом), из-за которого информация, передающаяся от одного нейрона к другому, может изменяться. При помощи весов входная информация проходит обработку — и после мы получаем результат.

Рис. 2. Модель искусственного нейрона.

На рис. 2 изображена математическая модель нейрона. На вход подаются числа (сигналы), после они умножаются на веса (каждый сигнал – на свой вес) и суммируются. Функция активации высчитывает выходной сигнал и подает его на выход.

Сама идея функции активации также взята из биологии. Представьте себе ситуацию: вы подошли и положили палец на конфорку варочной панели. В зависимости от сигнала, который при этом поступит от пальца по нервным окончаниям в мозг, в нейронах вашего мозга будет принято решение: пропускать ли сигнал дальше по нейронным связям, давая посыл мышцам отдернуть палец от горячей конфорки, или не пропускать сигнал, если конфорка холодная и палец можно оставить. Математический аналог функции активации имеет то же назначение. Таким образом, функция активации позволяет проходить или не проходить сигналам от нейрона к нейронам в зависимости от информации, которую они передают. Т.е. если информация является важной, то функция пропускает ее, а если информации мало или она недостоверна, то функция активации не позволяет ей пройти дальше.

Таблица 1. Популярные разновидности активационных функций искусственного нейрона

В таблице 1 представлены некоторые виды активационных функций нейрона. Простейшей разновидностью функции активации является пороговая. Как следует из названия, ее график представляет из себя ступеньку. Например, если поступивший в нейрон суммарный сигнал от предыдущих нейронов меньше 0, то в результате применения функции активации сигнал полностью «тормозится» и дальше не проходит, т.е. на выход данного нейрона (и, соответственно, входы последующих нейронов) подается 0. Если же сигнал >= 0, то на выход данного нейрона подается 1.

Функция активации должна быть одинаковой для всех нейронов внутри одного слоя, однако для разных слоев могут выбираться разные функции активации. В искусственных нейронных сетях выбор функции обуславливается областью применения и является важной исследовательской задачей для специалиста по машинному обучению.

Нейронные сети набирают все большую популярность и область их использования также расширяется. Список некоторых областей, где применяются искусственные нейронные сети:

  1. Ввод и обработка информации. Распознавание текстов на фотографиях и различных документах, распознавание голосовых команд, голосовой ввод текста.
  2. Безопасность. Распознавание лиц и различных биометрических данных, анализ трафика в сети, обнаружение подделок.
  3. Интернет. Таргетинговая реклама, капча, составление новостных лент, блокировка спама, ассоциативный поиск информации.
  4. Связь. Маршрутизация пакетов, сжатие видеоинформации, увеличение скорости кодирования и декодирования информации.

Помимо перечисленных областей, нейронные сети применяются в робототехнике, компьютерных и настольных играх, авионике, медицине, экономике, бизнесе и в различных политических и социальных технологиях, финансово-экономическом анализе.

Архитектуры нейронных сетей

Архитектур нейронных сетей большое количество, и со временем появляются новые. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся базовые архитектуры.

Персептрон
Рис. 3. Пример архитектуры персептрона.

Персептрон – это простейшая модель нейросети, состоящая из одного нейрона. Нейрон может иметь произвольное количество входов (на рис. 3 изображен пример вида персептрона с четырьмя входами), а один из них обычно тождественно равен 1. Этот единичный вход называют смещением, его использование иногда бывает очень удобным. Каждый вход имеет свой собственный вес. При поступлении сигнала в нейрон, как и было описано выше, вычисляется взвешенная сумма сигналов, затем к сигналу применяется функция активации и сигнал передается на выход. Такая
простая на первый взгляд сеть, всего из одного-единственного нейрона, способна, тем не менее, решать ряд задач: выполнять простейший прогноз, регрессию данных и т.п., а также моделировать поведение несложных функций. Главное для эффективности работы этой сети – линейная разделимость данных.

Для читателей, немного знакомых с таким разделом как логика, будут знакомы логическое И (умножение) и логическое ИЛИ (сложение). Это булевы функции, принимающие значение, равное 0, всегда, кроме одного случая, для умножения, и, наоборот, значения, равные 1, всегда, кроме одного случая, для сложения. Для таких функций всегда можно провести прямую (или гиперплоскость в многомерном пространстве), отделяющие 0 значения от 1. Это и называют линейной разделимостью объектов. Тогда подобная модель сможет решить поставленную задачу классификации и сформировать базовый логический элемент. Если же объекты линейно неразделимы, то сеть из одного нейрона с ними не справится. Для этого существуют более сложные архитектуры нейронных сетей, в конечном счете, тем не менее, состоящие из множества таких персептронов, объединенных в слои.

Многослойный персептрон

Слоем называют объединение нейронов, на схемах, как правило, слои изображаются в виде одного вертикального ряда (в некоторых случаях схему могут поворачивать, и тогда ряд будет горизонтальным). Многослойный персептрон является обобщением однослойного персептрона. Он состоит из некоторого множества входных узлов, нескольких скрытых слоев вычислительных
нейронов и выходного слоя (см. рис. 4).

Рис. 4. Архитектура многослойного персептрона.

Отличительные признаки многослойного персептрона:

  • Все нейроны обладают нелинейной функцией активации, которая является дифференцируемой.
  • Сеть достигает высокой степени связности при помощи синаптических соединений.
  • Сеть имеет один или несколько скрытых слоев.

Такие многослойные сети еще называют глубокими. Эта сеть нужна для решения задач, с которыми не может справиться персептрон. В частности, линейно неразделимых задач. В действительности, как следствие из теоремы Колмогорова, именно многослойный персептрон является единственной универсальной нейронной сетью, универсальным аппроксиматором, способным решить любую задачу. Возможно, не самым эффективным способом, который могли бы обеспечить более узкопрофильные нейросети, но все же решить.
Именно поэтому, если исследователь не уверен, нейросеть какого вида подходит для решения стоящей перед ним задачи, он выбирает сначала многослойный персептрон.

Сверточная нейронная сеть (convolution neural network)

Сверточная нейронная сеть – сеть, которая обрабатывает передаваемые данные не целиком, а фрагментами. Данные последовательно обрабатываются, а после передаются дальше по слоям. Сверточные нейронные сети состоят из нескольких типов слоев: сверточный слой, субдискретизирующий слой, слой полносвязной сети (когда каждый нейрон одного слоя связан с каждым нейроном следующего – полная связь). Слои свертки и подвыборки (субдискретизации) чередуются и их набор может повторяться несколько раз (см. рис. 5). К конечным слоям часто добавляют персептроны, которые служат для последующей обработки данных.

Рис. 5. Архитектура сверточной нейронной сети.

Название архитектура сети получила из-за наличия операции свёртки, суть которой в том, что каждый фрагмент изображения умножается на матрицу (ядро) свёртки поэлементно, а результат суммируется и записывается в аналогичную позицию выходного изображения. Необходимо это для перехода от конкретных особенностей изображения к более абстрактным деталям, и далее – к
ещё более абстрактным, вплоть до выделения понятий высокого уровня (присутствует ли что-либо искомое на изображении).

Сверточные нейронные сети решают следующие задачи:

  • Классификация. Пример: нейронная сеть определяет, что или кто находится на изображении.
  • Детекция. Пример: нейронная сеть определяет, что/кто и где находится на изображении.
  • Сегментация. Пример: нейронная сеть может определить каждый пиксель изображения и понять, к чему он относится.

Описанные сети относятся к сетям прямого распространения. Наряду с ними существуют нейронные сети, архитектуры которых имеют в своем составе связи, по которым сигнал распространяется в обратную сторону.

Рекуррентная нейронная сеть

Рекуррентная нейронная сеть – сеть, соединения между нейронами которой образуют ориентированный цикл. Т.е. в сети имеются обратные связи. При этом информация к нейронам может передаваться как с предыдущих слоев, так и от самих себя с предыдущей итерации (задержка). Пример схемы первой рекуррентной нейронной сети (НС Хопфилда) представлен на рис. 6.

Рис. 6. Архитектура рекуррентной нейронной сети.

Характеристики сети:

  • Каждое соединение имеет свой вес, который также является приоритетом.
  • Узлы подразделяются на два типа: вводные (слева) и скрытые (1, 2, … K).
  • Информация, находящаяся в нейронной сети, может передаваться как по прямой, слой за слоем, так и между нейронами.

Такие сети еще называют «памятью» (в случае сети Хопфилда – автоассоциативной; бывают также гетероассоциативные (сеть Коско – развитие сети Хопфилда) и другие). Почему? Если подать данной сети на вход некие «образцы» – последовательности кодов (к примеру, 1000001, 0111110 и 0110110) — и обучить ее на запоминание этих образцов, настроив веса синапсов сети определенным образом при помощи правила Хебба3, то затем, в процессе функционирования, сеть сможет «узнавать» запомненные образы и выдавать их на выход, в том числе исправляя искаженные поданные на вход образы. К примеру, если после обучения такой сети я подам на вход 1001001, то сеть узнает и исправит запомненный образец, выдав на выходе 1000001. Правда, эта нейронная сеть не толерантна к поворотам и сдвигам образов, и все же для первой нейронной сети своего класса сеть весьма интересна.

Таким образом, особенность рекуррентной нейронной сети состоит в том, что она имеет «области внимания». Данная область позволяет задавать фрагменты передаваемых данных, которым требуется усиленная обработка.

Информация в рекуррентных сетях со временем теряется со скоростью, зависящей от активационных функций. Данные сети на сегодняшний день нашли свое применение в распознавании и обработке текстовых данных. Об этом речь пойдет далее.

Самоорганизующаяся нейронная сеть

Пример самоорганизующейся нейронной сети – сеть Кохонена. В процессе обучения осуществляется адаптация сети к поставленной задаче. В представленной сети (см. рис. 7) сигнал идет от входа к выходу в прямом направлении. Структура сети имеет один слой нейронов, которые не имеют коэффициентов смещения (тождественно единичных входов). Процесс обучения сети происходит при помощи метода последовательных приближений. Нейронная сеть подстраивается под закономерности входных данных, а не под лучшее значение на выходе. В результате обучения сеть находит окрестность, в которой находится лучший нейрон. Сеть функционирует по принципу «победитель получает все»: этот самый лучший нейрон в итоге на выходе будет иметь 1, а остальные нейроны, сигнал на которых получился меньше, 0. Визуализировать это можно так: представьте, что правый ряд нейронов, выходной, на
рис. 7 – это лампочки. Тогда после подачи на вход сети данных после их обработки на выходе «зажжется» только одна лампочка, указывающая, куда относится поданный объект. Именно поэтому такие сети часто используются в задачах кластеризации и классификации.

Рис. 7. Архитектура самоорганизующейся нейронной сети.
Алгоритмы обучения нейронных сетей

Чтобы получить решение поставленной задачи с использованием нейронной сети, вначале требуется сеть обучить (рис. 8). Процесс обучения сети заключается в настройке весовых коэффициентов связей между нейронами.

Рис. 8. Процесс обучения нейронной сети.

Алгоритмы обучения для нейронной сети бывают с
учителем и без.

  • С учителем: предоставление нейронной сети некоторой выборки обучающих примеров. Образец подается на вход, после происходит обработка внутри нейронной сети и рассчитывается выходной сигнал, сравнивающийся с соответствующим значением целевого вектора (известным нам «правильным ответом» для каждого из обучающих примеров). Если ответ сети не совпадает с требуемым, производится коррекция весов сети, напрямую зависящая от того, насколько отличается ответ сети от правильного (ошибка). Правило этой коррекции называется правилом Видроу-Хоффа и является прямой пропорциональностью коррекции каждого веса и размера ошибки, производной функции активации и входного сигнала нейрона. Именно после изобретения и доработок алгоритма распространения этой ошибки на все нейроны скрытых слоев глубоких нейронных сетей эта область искусственного интеллекта вернула к себе интерес.
  • Без учителя: алгоритм подготавливает веса сети таким образом, чтобы можно было получить согласованные выходные векторы, т.е. предоставление достаточно близких векторов будет давать похожие выходы. Одним из таких алгоритмов обучения является правило Хебба, по которому настраивается перед работой матрица весов, например, рекуррентной сети Хопфилда.

Рассмотрим теперь, какие архитектуры сетей являются наиболее востребованными сейчас, каковы особенности использования нейросетей на примерах известных крупных проектов.

Рекуррентные сети на примерах Google и «Яндекса»

Уже упоминавшаяся выше рекуррентная нейронная сеть (RNN) – сеть, которая обладает кратковременной «памятью», из-за чего может быстро производить анализ последовательностей различной длины. RNN разбивает потоки данных на части и производит оценку связей между ними.

Сеть долговременной краткосрочной памяти (Long shortterm memory – LSTM) – сеть, которая появилась в результате развития RNN-сетей. Это интересная модификация RNN-сетей, позволяющая сети не просто «держать контекст», но и умеющая «видеть» долговременные зависимости. Поэтому LSTM подходит для прогнозирования различных изменений при помощи экстраполяции (выявление тенденции на основе данных), а также в любых задачах, где важно умение «держать контекст», особенно хорошо подвластное для данной нейросети.

Рис. 9. Модули рекуррентной нейронной сети.

Форма рекуррентных нейронных сетей представляет собой несколько повторяющихся модулей. В стандартном виде эти модули имеют простую структуру. На рисунке 9 изображена сеть, которая имеет в одном из слоев гиперболический тангенс в качестве функции активации.


Рис. 10. Модуль LSTM-сети.

LSTM также имеет цепочечную структуру. Отличие состоит в том, что сеть имеет четыре слоя, а не один (рис. 10). Главным отличием LSTM-сети является ее клеточное состояние (или состояние ячейки), которое обозначается горизонтальной линией в верхней части диаграммы и по которой проходит информация (рис. 11). Это самое состояние ячейки напоминает ленту конвейера: она проходит напрямую через всю цепочку, участвуя в некоторых преобразованиях. Информация может как «течь» по ней, не подвергаясь изменениям, так и быть подвергнута преобразованиям со стороны нейросети7. (Представьте себе линию контроля на конвейере: изделия продвигаются на ленте перед сотрудником контроля, который лишь наблюдает за ними, но если ему что-то покажется важным или подозрительным, он может вмешаться).

Рис. 11. Клеточное состояние LSTM-модуля.

LSTM имеет способность удалять или добавлять информацию к клеточному состоянию. Данная способность осуществляется при помощи вентилей, которые регулируют процессы взаимодействия с информацией. Вентиль – возможность выборочно пропускать информацию. Он состоит из сигмоидного слоя нейронной сети и операции поточечного умножения (рис. 12).

Рис. 12. Вентиль.

Сигмоидный слой (нейроны с сигмоидальной функцией активации) подает на выход числа между нулем и единицей, описывая таким образом, насколько каждый компонент должен быть пропущен сквозь вентиль. Ноль – «не пропускать вовсе», один – «пропустить все». Таких «фильтров» в LSTM-сети несколько. Для чего сети нужна эта способность: решать, что важно, а что нет? Представьте себе следующее: сеть переводит предложение и в какой-то момент ей предстоит перевести с английского языка на русский, скажем, местоимение, прилагательное или причастие. Для этого сети необходимо, как минимум, помнить род и/или число предыдущего существительного, к которому переводимое слово относится. Однако как только мы встретим новое существительное, род предыдущего можно забыть. Конечно, это очень упрощенный пример, тем не
менее, он позволяет понять трудность принятия решения: какая информация еще важна, а какую уже можно забыть. Иначе говоря, сети нужно решить, какая информация будет храниться в состоянии ячейки, а затем – что на выходе из нее будет выводить.

Примеры использования нейронных сетей

Мы рассмотрели основные типы нейронных систем и познакомились с принципами их работы. Остановимся теперь на их практическом применении в системах Google Translate, «Яндекс. Алиса», Google Photos и Google Image Search (AlexNet, GoogleNet).

LSTM в Google Translate

Google-переводчик в настоящее время основан на методах машинного обучения и использует принцип работы LSTM-сетей. Система производит вычисления, чтобы понять значение слова или фразы, основываясь на предыдущих значениях в последовательности (контексте). Такой алгоритм помогает системе понимать контекст предложения и верно подбирать перевод среди различных вариантов. Еще несколько лет назад Google Translate работал на основе статистического машинного перевода – это разновидность перевода, где перевод генерируется на основе статистических моделей (бывают: по словам, по фразам, по синтаксису и т.д.), а параметры этих моделей являются результатами анализа корпусов текстов двух выбранных для перевода языков. Эти статистические модели обладали большим быстродействием, однако их эффективность ниже. Общий прирост качества перевода после внедрения системы на основе нейросетей в Google-переводчик составил, казалось бы, не очень много – порядка 10%, однако для отдельных языковых пар эффективность перевода достигла 80-90%,
вплотную приблизившись к оценкам качества человеческого перевода. «Платой» за такое качество перевода является сложность построения, обучения и перенастройки системы на основе нейросети: она занимает недели. Вообще для современных глубоких нейронных сетей, использующихся в таких крупных проектах, в порядке вещей обучение, занимающее дни и недели.

Рис. 13. Рекуррентная двунаправленная нейронная сеть Google-переводчика.

Рассмотрим LSTM-сеть переводчика (GNMT) подробнее. Нейронная сеть переводчика имеет разделение на два потока (см. рис. 13). Первый поток нейронной сети (слева) является анализирующим и состоит из восьми слоев. Данный поток помогает разбивать фразы или предложения на несколько смысловых частей, а после производит их анализ. Сеть позволяет читать предложения в двух направлениях, что помогает лучше понимать контекст. Также она занимается формированием модулей внимания, которые позволяют второму потоку определять ценности отдельно взятых смысловых фрагментов.

Второй поток нейронной сети (справа) является синтезирующим. Он позволяет вычислять самый подходящий вариант для перевода, основываясь на контексте и модулях внимания (показаны голубым цветом).

В системе нейронной сети самым маленьким элементом является фрагмент слова. Это позволяет сфокусировать вычислительную мощность на контексте предложения, что обеспечивает высокую скорость и точность переводчика. Также анализ фрагментов слова сокращает риски неточного перевода слов, которые имеют суффиксы, префиксы и окончания.

LSTM в «Яндекс.Алисе»

Компания «Яндекс» также использует нейросеть типа LSTM в продукте «Яндекс.Алиса». На рисунке 14 изображено взаимодействие пользователя с системой. После вопроса пользователя информация передается на сервер распознавания, где она преобразуется в текст. Затем текст поступает в классификатор интентов (интент (от англ. intent) – намерение, цель пользователя, которое он вкладывает в запрос), где при помощи машинного обучения анализируется. После анализа интентов они поступают на семантический теггер (tagger) – модель, которая позволяет выделить полезную и требующуюся информацию из предложения. Затем полученные результаты структурируются и передаются в модуль dialog manager, где обрабатывается полученная информация и генерируется ответ.

Рис. 14. Процесс работы сервиса «Яндекс.Алиса».


LSTM-сети применяются в семантическом теггере. В этом модуле используются двунаправленные LSTM с attention. На этом этапе генерируется не только самая вероятная гипотеза, потому что в зависимости от диалога могут потребоваться и другие. От состояния диалога в dialog manager происходит повторное взвешивание гипотез. Сети с долговременной памятью помогают лучше вести диалог с пользователем, потому что могут помнить предыдущие сообщения и более точно генерировать ответы, а также они помогают разрешать много проблемных ситуаций. В ходе диалога нейронная сеть может убирать слова, которые не несут никакой важной информации, а остальные анализировать и предоставлять ответ9. Для примера на рис. 14 результат работы системы будет следующим. Сначала речь пользователя в звуковом формате будет передана на сервер распознавания, который выполнит лексический анализ (т.е. переведет сказанное в текст и разобьет его на слова – лексемы), затем классификатор интентов выполнит уже роль семантического анализа (понимание смысла того, что было сказано; в данном случае – пользователя интересует погода), а семантический теггер выделит полезные элементы информации: теггер выдал бы, что завтра – это дата, на которую нужен прогноз погоды. В итоге данного анализа запроса пользователя будет составлено внутреннее представление запроса – фрейм, в котором будет указано, что интент – погода, что погода нужна на +1 день от текущего дня, а где – неизвестно. Этот фрейм попадет в диалоговый менеджер, который хранит тот самый контекст беседы и будет принимать на основе хранящегося контекста решение, что делать с этим запросом. Например, если до этого беседа не происходила, а для станции с «Яндекс.Алисой» указана геолокация г. Москва, то менеджер получит через специальный интерфейс (API) погоду на завтра в Москве, отправит команду на генерацию текста с этим прогнозом, после чего тот будет передан в синтезатор речи помощника. Если же Алиса до этого вела беседу с пользователем о достопримечательностях Парижа, то наиболее вероятно, что менеджер учтет это и либо уточнит у пользователя информацию о месте, либо сразу сообщит о погоде в Париже. Сам диалоговый менеджер работает на основе скриптов (сценариев обработки запросов) и правил, именуемых form-filling. Вот такой непростой набор технических решений, методов, алгоритмов и систем кроется за фасадом, позволяющим пользователю спросить и узнать ответ на простой бытовой вопрос или команду.

Свёрточные нейронные сети, используемые для классификации изображений, на примере Google Photos и Google Image Search

Задача классификации изображений – это получение на вход начального изображения и вывод его класса (стол, шкаф, кошка, собака и т.д.) или группы вероятных классов, которая лучше всего характеризует изображение. Для людей это совершенно естественно и просто: это один из первых навыков, который мы осваиваем с рождения. Компьютер лишь «видит» перед собой пиксели изображения, имеющие различный цвет и интенсивность. На сегодня задача классификации объектов, расположенных на изображении, является основной для области компьютерного зрения. Данная область начала активно развиваться с 1970-х, когда компьютеры стали достаточно мощными, чтобы оперировать большими объёмами данных. До развития нейронных сетей задачу классификации изображений решали с помощью специализированных алгоритмов. Например, выделение границ изображения с помощью фильтра Собеля и фильтра Шарра или использование гистограмм градиентов10. С появлением более мощных GPU, позволяющих значительно эффективнее обучать нейросеть, применение нейросетей в сфере компьютерного зрения значительно возросло.

В 1988 году Ян Лекун предложил свёрточную архитектуру нейросети, нацеленную на классификацию изображений. А в 2012 году сеть AlexNet, построенная по данной архитектуре, заняла первое место в конкурсе по распознаванию изображений ImageNet, имея ошибку распознавания равную 15,3%12. Свёрточная архитектура нейросети использует некоторые особенности биологического распознавания образов, происходящих в мозгу человека. Например, в мозгу есть некоторые группы клеток, которые активируются, если в определённое поле зрения попадает горизонтальная или вертикальная граница объекта. Данное явление обнаружили Хьюбель и Визель в 1962 году. Поэтому, когда мы смотрим на изображение, скажем, собаки, мы можем отнести его к конкретному классу, если у изображения есть характерные особенности, которые можно идентифицировать, такие как лапы или четыре ноги. Аналогичным образом компьютер может выполнять классификацию изображений через поиск характеристик базового уровня, например, границ и искривлений, а затем — с помощью построения более абстрактных концепций через группы сверточных слоев.

Рис. 15. Архитектура свёрточной сети AlexNet.

Рассмотрим подробнее архитектуру и работу свёрточной нейросети (convolution neural network) на примере нейросети AlexNet (см. рис. 15). На вход подаётся изображение 227х227 пикселей (на рисунке изображено желтым), которое необходимо классифицировать (всего 1000 возможных классов). Изображение цветное, поэтому оно разбито по трём RGB-каналам. Наиболее важная операция – операция свёртки.

Операция свёртки (convolution) производится над двумя матрицами A и B размера [axb] и [cxd], результатом которой является матрица С размера

, где s – шаг, на который сдвигают матрицу B. Вычисляется результирующая матрица следующим образом:

см. рис. 16.

Рисунок 16. Операция свёртки15: Исходная матрица A обозначена голубым цветом (имеет большую размерность), ядро свертки – матрица B — обозначена темно-синим цветом и перемещается по матрице A; результирующая матрица изображена зеленым, при этом соответствующая каждому шагу свертки результирующая ячейка отмечена темно-зеленым.

Рис. 16. Операция свёртки.

Чем больше результирующий элемент ci,j,, тем более похожа область матрицы A на матрицу B. A называют изображением, а B – ядром или фильтром. Обычно шаг смещения B равен s = 1. Если увеличить шаг смещения, можно добиться уменьшения влияния соседних пикселей друг на друга в сумме (уменьшить рецептивное поле восприятия нейросети), в подавляющем большинстве случаев шаг оставляют равным 1. На рецептивное поле также влияет и размер ядра свёртки. Как видно из рис. 16, при свёртке результат теряет в размерности по сравнению с матрицей A. Поэтому, чтобы избежать данного явления, матрицу A дополняют ячейками (padding). Если этого не сделать, данные при переходе на следующие слои будут теряться слишком быстро, а информация о границах слоя будет неточной.

Таким образом, свёртка позволяет одному нейрону отвечать за определённый набор пикселей в изображении. Весовыми коэффициентами являются коэффициенты фильтра, а входными переменными – интенсивность свечения пикселя плюс параметр смещения.

Данный пример свёртки (см. рис. 16) был одномерным и подходит, например, для черно-белого изображения. В случае цветного изображения операция свёртки происходит следующим образом: в один фильтр включены три ядра, для каждого канала RGB соответственно, над каждым каналом операция свёртки происходит идентично примеру выше, затем три результирующие матрицы поэлементно складываются — и получается результат работы одного
фильтра – карта признаков.

Эта на первый взгляд непростая с математической точки зрения процедура нужна для выделения тех самых границ и искривлений – контуров изображения, при помощи которых, по аналогии с мозгом человека, сеть должна понять, что же изображено на картинке. Т.е. на карте признаков будут содержаться выделенные характеристические очертания детектированных объектов. Эта карта признаков будет являться результатом работы чередующихся слоев свертки и пулинга (от англ. pooling, или иначе – subsampling layers). Помните, в разделе описания концепции архитектуры сверточных сетей мы говорили, что эти слои чередуются и их наборы могут повторяться несколько раз (см. рис. 5)? Для чего это нужно? После свертки, как мы знаем, выделяются и «заостряются» некие характеристические черты анализируемого изображения (матрицы пикселей) путем увеличения значений соответствующих ядру ячеек матрицы и «занулению» значений других. При операции субдискретизации, или пулинга, происходит уменьшение размерности сформированных отдельных карт признаков. Поскольку для сверточных нейросетей считается, что информация о факте наличия искомого признака важнее точного знания его координат на изображении, то из нескольких соседних нейронов карты признаков выбирается максимальный и принимается за один нейрон уплотнённой карты признаков меньшей размерности. За счёт данной операции, помимо ускорения дальнейших вычислений, сеть становится также более инвариантной к масштабу входного изображения, сдвигам и поворотам изображений. Данное чередование слоев мы видим и для данной сети AlexNet (см. рис. 15), где слои свертки (обозначены CONV) чередуются с пулингом (обозначены эти слои как POOL), при этом следует учитывать, что операции свертки тем ресурсозатратнее, чем больше размер ядра свертки (матрицы B на рис. 16), поэтому иногда, когда требуется свертка с ядром достаточно большой размерности, ее заменяют на две и более последовательных свертки с ядром меньших
размерностей. (Об этом мы поговорим далее.) Поэтому на рис. 15 мы можем увидеть участок архитектуры AlexNet, на котором три слоя CONV идут друг за другом.

Самая интересная часть в сети – полносвязный слой в конце. В этом слое по вводным данным (которые пришли с предыдущих слоев) строится и выводится вектор длины N, где N – число классов, по которым мы бы хотели классифицировать изображение, из них программа выбирает нужный. Например, если мы хотим построить сеть по распознаванию цифр, у N будет значение 10, потому что цифр всего 10. Каждое число в этом векторе представляет собой вероятность конкретного класса. Например, если результирующий вектор для распознавания цифр это [0 0.2 0 0.75 0 0 0 0 0.05], значит существует 20% вероятность, что на изображении «1», 75% вероятность – что «3», и 5% вероятность – что «9». Если мы хотим сеть по распознаванию букв латинского алфавита, то N должно быть равным 26 (без учета регистра), а если и буквы, и цифры вместе, то уже 36. И т.д. Конечно, это очень упрощенные примеры. В сети AlexNet конечная размерность выхода (изображена на рис. 15 зеленым) — 1000, а перед этим идут еще несколько полносвязных слоев с размерностями входа 9216 и выхода 4096 и обоими параметрами 4096 (изображены оранжевым и отмечены FC – full connected — на рисунке).

Способ, с помощью которого работает полносвязный слой, – это обращение к выходу предыдущего слоя (который, как мы помним, должен выводить высокоуровневые карты свойств) и определение свойств, которые больше связаны с определенным классом. Поэтому в результате работы окончания сверточной сети по поданному на вход изображению с лужайкой, на которой, скажем, собака гоняется за птичкой, упрощенно можно сказать, что результатом может являться следующий вывод:
[dog (0.6), bird (0.35), cloud (0.05)].

Свёрточная нейронная сеть GoogleNet

В 2014 году на том же соревновании ImageNet, где была представлена AlexNet, компания Google показала свою свёрточную нейросеть под названием GoogleNet. Отличительная особенность этой сети была в том, что она использовала в 12 раз меньше параметров (почувствуйте масштабы: 5 000 000 против 60 000 000) и её архитектура структурно была не похожа на архитектуру AlexNet, в которой было восемь слоёв, причём данная сеть давала более точный результат – 6,67% ошибки против 16,4%16.

Разработчики GoogleNet пытались избежать простого увеличения слоёв нейронной сети, потому что данный шаг привёл бы к значительному увеличению использования памяти и сеть была бы больше склонна к перенасыщению при обучении на небольшом и ограниченном наборе примеров.

Проанализируем приём, на который пошли разработчики компании Google для оптимизации скорости и использования памяти. В нейросети GoogleNet свёртка с размером фильтра 7×7 используется один раз в начале обработки изображения, далее максимальный размер – 5×5. Так как количество параметров при свёртке растёт квадратично с увеличением размерности ядра, нужно стараться заменять одну свёртку на несколько свёрток с меньшим размером фильтра, вместе с этим пропустить промежуточные результаты через ReLU (функция активации, возвращающая 0, если сигнал отрицателен, и само значение сигнала, если нет), чтобы внести дополнительную нелинейность. Например, свёртку с размером фильтра 5×5 можно заменить двумя последовательными операциями с размером ядра 3×3. Такая оптимизация позволяет строить более гибкие и глубокие сети. На хранение промежуточных свёрток тратится память, и использовать их более разумно в слоях, где размер карты признаков небольшой. Поэтому в начале сети GoogleNet вместо трёх свёрток 3×3 используется одна 7×7, чтобы избежать избыточного использования памяти.

Рис. 17. Первая реализация блока Inception.

Схему архитектуры сети целиком мы приводить здесь не будем, она слишком громоздка и на ней трудно что-либо разглядеть, кому это будет интересно, могут ознакомиться с ней на официальном ресурсе16. Отличительной особенностью нейросети от компании Google является использование специального модуля – Inception (см. рис. 17). Данный модуль, по своей сути, является небольшой локальной сетью. Идея данного блока состоит в том, что на одну карту признаков накладывается сразу несколько свёрток разного размера, вычисляющихся параллельно. В конце все свёртки объединяются в единый блок. Таким образом, можно из исходной карты признаков извлечь признаки разного размера, увеличив эффективность сети и точность обработки признаков. Однако при использовании данной реализации (см. рис. 17) нужно выполнить колоссальный объём вычислений, между тем, при включении данных модулей друг за другом размерность блока будет только расти. Поэтому разработчики во второй версии добавили свёртки, уменьшающие размерность (см. рис. 18).

Рис. 18. Вторая реализация блока Inception.

Жёлтые свёртки размера 1×1 введены для уменьшения глубины блоков, и благодаря им, значительно снижается нагрузка на память. GoogleNet содержит девять таких Inception-модулей и состоит из 22 слоёв.

Из-за большой глубины сети разработчики также столкнулись с проблемой затухания градиента при обучении (см. описание процедуры обучения нейросети: коррекция весов осуществляется в соответствии со значением ошибки, производной функции активации – градиента – и т.д.) и ввели два вспомогательных модуля классификатора (см. рис. 19). Данные модули представляют собой выходную часть малой свёрточной сети и уже частично классифицируют объект по внутренним характеристикам самой сети. При обучении нейронной сети данные модули не дают ошибке, распространяющиейся с конца, сильно уменьшиться, так как вводят в середину сети дополнительную ошибку.

Рис. 19. Вспомогательный модуль GoogleNet, использующийся при обучении сети.

Ещё один полезный аспект в архитектуре GoogleNet, по мнению разработчиков, состоит в том, что сеть интуитивно правильно обрабатывает изображение: сначала картинка обрабатывается в разных масштабах, а затем результаты агрегируются. Такой подход больше соответствует тому, как подсознательно выполняет анализ окружения человек.

В 2015 году разработчики из Google представили модифицированный модуль Inception v2, в котором свёртка 5×5 была заменена на две свёртки 3×3, по причинам, приведённым выше, вдобавок потери информации в картах признаков при таком действии происходят незначительные, так как соседние ячейки имеют между собой сильную корреляционную связь. Также, если заменить свёртку 3×3 на две последовательные свёртки 3×1 и 1×3, то это будет на 33% эффективнее, чем стандартная свёртка, а две свёртки 2×2 дадут выигрыш лишь в 11%17. Данная архитектура нейросети давала ошибку 5,6%, а потребляла ресурсов в 2,5 раза меньше.

Стоит отметить, что точного алгоритма построения архитектуры нейросети не существует. Разработчики составляют свёрточные нейросети, основываясь на результатах экспериментов и собственном опыте.

Нейронную сеть можно использовать для точной классификации изображений, загруженных в глобальную сеть, либо использовать для сортировки фотографий по определённому признаку в галерее смартфона.

Свёрточная нейронная сеть имеет следующие преимущества: благодаря своей структуре, она позволяет значительно снизить количество весов в сравнении с полносвязанной нейронной сетью, её операции легко поддаются распараллеливанию, что положительно сказывается на скорости обучения и на скорости работы, данная архитектура лидирует в области классификации изображений, занимая первые места на соревновании ImageNet. Из-за того, что для сети более важно наличие признака, а не его место на изображении, она инвариантна к различным сдвигам и поворотам сканируемого изображения.

К недостаткам данной архитектуры можно отнести следующие: состав сети (количество её слоёв, функция активации, размерность свёрток, размерность pooling-слоёв, очередность слоёв и т.п.) необходимо подбирать эмпирически к определённому размеру и виду
изображения; сложность обучения: нейросети с хорошим показателем ошибки должны тренироваться на мощных GPU долгое время; и, наверное, главный недостаток – атаки на данные нейросети. Инженеры Google в 2015 году показали, что к картинке можно подмешать невидимый для человеческого зрения градиент, который приведёт к неправильной классификации.

Item-based коллаборативная фильтрация своими руками

Одной из наиболее популярных техник для построения персонализированных рекомендательных систем (RS, чтобы не путать с ПиСи) является

коллаборативная фильтрация

. Коллаборативная фильтрация бывает двух типов: user-based и item-based. User-based часто используется в качестве примера построения персонализированных RS [

на хабре

,

в книге Т. Сегаран

,…]. Тем не менее, у user-based подхода есть существенный недостаток: с увеличением количества пользователей RS линейно увеличивается сложность вычисления персонализированной рекомендации.

Когда количество объектов для рекомендаций большое, затраты на user-based подход могут быть оправданы. Однако во многих сервисах, в том числе и в ivi.ru, количество объектов в разы меньше количества пользователей. Для таких случаев и придуман item-based подход.

В этой статье я расскажу, как за несколько минут можно создать полноценную персонализированную RS на основе item-based подхода.

Немного теории

Рассмотрим получение k персонализированных рекомендаций (top-k) для некоторого пользователя A. В случае с user-based подходом, для построения рекомендаций находятся так называемые пользователи-соседи (neighbors) пользователя A. Соседи пользователя А — это пользователи, наиболее похожие на него с точки зрения истории просмотров/рейтингов. Количество соседей варьируется в зависимости от реализации и требований к RS, но обычно не превышает 50. Зная предпочтения соседей и историю просмотров пользователя А, RS строит top-k рекомендаций. Такой подход предполагает, что пользователю A понравятся те же объекты, что и пользователям-соседям.

В случае с item-based подходом пользователь A характеризуется объектами objsA, которые он просмотрел или оценил. Для каждого объекта из objsA определяется m объектов-соседей, т.е. находятся m наиболее похожих объектов с точки зрения просмотров/оценок пользователей. При построении RS для фильмов, m принимает значения от 10 до 30. Все объекты-соседи объединяются во множество из которого исключаются объекты, просмотренные или оцененные пользователем A. Из оставшегося множества строится top-k рекомендаций. Таким образом, при item-based подходе в создании рекомендаций участвуют все пользователи, которым понравился тот или иной объект из objsA.

В нашем случае для получения top-k рекомендаций используется простейший вариант алгоритма Deshpande M. и Karypsis G.. Рекомендации строятся на основе рейтингов зарегистрированных пользователей ivi. ru.

Реализация

Описанный ниже код позволяет получать рекомендации по фильмам для некоторого пользователя A по его истории рейтингов. Данные о рейтингах пользователей ivi.ru (за последние 30 дней) и названиях фильмов для удобства были предварительно выкачены в sqlite БД — ivi_rates.db.

RS построена на Python с использованием пакетов: numpy, scipy, scikit-learn. Некоторые участки кода могут показаться «дикими» вследствие оптимизации, для них есть комментарии.

Подготовка матрицы item-user

Item-user матрица является исходной матрицей как для user-based, так и для item-based коллаборативной фильтрации. Строке данной матрицы соответствует объект, в нашем случае фильм. Столбцу соответствует пользователь. В ячейках матрицы расположены рейтинги.

Для уменьшения шума в рекомендациях и увеличения их точности используются только данные о фильмах с количеством просмотров/рейтингов не менее определенного значения (confidence value). В нашем случае в построении item-user матрицы будут участвовать фильмы минимум c 10 рейтингами. Также, для уменьшения размерности пространства пользователей, мы исключим из построения всех пользователей, которые оценили только один фильм.

Матрица item-user будет сильно разрежена, поэтому и хранить её мы будем соответствующим образом.

import sqlite3
conn = sqlite3.connect('ivi_rates.db')
cursor = conn.cursor()

# строим индекс user_id -> col_id, где col_id - идентификатор столбца в матрице
# берем пользователей, оценивших не менее 2 фильмов
users_sql = """
    SELECT user_id
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL
    GROUP BY user_id HAVING count(obj_id) >= 2
"""
cursor.execute(users_sql)
user_to_col = {}
for col_id, (user_id,) in enumerate(cursor):
    user_to_col[user_id] = col_id

# строим индекс obj_id -> row_id, где row_id - идентификатор строки в матрице
# берем только фильмы, которые оценили не менее 10 пользователей
objs_sql = """
    SELECT obj_id
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL AND user_id IN (
        SELECT user_id
        FROM rates
        WHERE rate IS NOT NULL
        GROUP BY user_id HAVING count(obj_id) >= 2
    )
    GROUP BY obj_id HAVING count(user_id) >= 10 
"""
cursor. execute(objs_sql)
obj_to_row = {}
for row_id, (obj_id,) in enumerate(cursor):
    obj_to_row[obj_id] = row_id
    
print u"Количество пользователей:", len(user_to_col)
print u"Количество объектов:", len(obj_to_row)

Количество пользователей: 353898
Количество объектов: 7808

Индексы нужны для быстрого преобразования идентификаторов пользователей/фильмов в идентификаторы столбцов/строк. Зная количество фильмов и пользователей, можно упростить процесс создания и заполнения матрицы item-user.

from scipy.sparse import lil_matrix

sql = """
    SELECT obj_id, user_id, rate
    FROM rates
    WHERE rate IS NOT NULL
"""
cursor.execute(sql)

matrix = lil_matrix((len(obj_to_row), len(user_to_col)))  # создаем матрицу нужных размеров
# заполняем матрицу
for obj_id, user_id, rate in cursor:
    row_id = obj_to_row.get(obj_id)
    col_id = user_to_col.get(user_id)
    if row_id is not None and col_id is not None:
        matrix[row_id, col_id] = min(rate, 10)
        
percent = float(matrix. nnz) / len(obj_to_row) / len(user_to_col) * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent

Процент заполненности матрицы: 0.17%
Подготовка матрицы item-item

Основной матрицей для item-based подхода является матрица item-item. Строкам и столбцам этой матрицы соответствуют объекты. В ячейках хранится значение схожести объектов. Для определения схожести двух объектов используется метрика

косинусной меры угла

. Список рекомендаций вычисляется путем перемножения матрицы item-item на вектор просмотров/рейтингов пользователя A.

В item-item матрице все значения по диагонали равны 1 (объект на 100% похож на себя). Чтобы исключить диагональ из рекомендаций, ее обычно зануляют.

При стабильном интересе пользователей к объектам, матрица item-item также является стабильной. Под стабильностью интересов подразумевается следующее: если пользователю B нравятся фильмы, понравившиеся пользователю A, то велика вероятность, что пользователю B понравится еще один фильм из списка фильмов, понравившихся пользователю A. Стабильность матрицы означает, что с появлением новых просмотров/рейтингов значения внутри ячеек матрицы будут почти неизменны. Стабильность позволяет не перестраивать матрицу каждый раз при появлении новых рейтингов.

Scipy, numpy, scikit позволяют выполнять матричные операции очень быстро (скорее всего, быстрее, чем любая самописная итерация). При использовании матриц лучше использовать функции из этих пакетов.

from sklearn.preprocessing import normalize
from scipy.sparse import spdiags

# косинусная мера вычисляется как отношение скалярного произведения векторов(числитель) 
# к произведению длины векторов(знаменатель)

# нормализуем исходную матрицу 
# (данное действие соответствует приведению знаменателя в формуле косинусной меры к 1)
normalized_matrix = normalize(matrix.tocsr()).tocsr()
# вычисляем скалярное произведение
cosine_sim_matrix = normalized_matrix.dot(normalized_matrix.T)

# обнуляем диагональ, чтобы исключить ее из рекомендаций
# быстрое обнуление диагонали
diag = spdiags(-cosine_sim_matrix. diagonal(), [0], *cosine_sim_matrix.shape, format='csr')
cosine_sim_matrix = cosine_sim_matrix + diag

percent = float(cosine_sim_matrix.nnz) / cosine_sim_matrix.shape[0] / cosine_sim_matrix.shape[1] * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent
print u"Размер в МБ:", cosine_sim_matrix.data.nbytes / 1024 / 1024

Процент заполненности матрицы: 45.54%
Размер в МБ: 211

На самом деле, в каждой строке полученной матрицы item-item хранится список соседей объекта, соответствующего данной строке. Как уже было сказано ранее, для item-based подхода достаточно хранить m наиболее похожих объектов-соседей (top-m). Так как мы работаем с фильмами, то возьмем m равным 30.

from scipy.sparse import vstack
import numpy as np

cosine_sim_matrix = cosine_sim_matrix.tocsr()
m = 30

# построим top-m матрицу в один поток
rows = []
for row_id in np.unique(cosine_sim_matrix.nonzero()[0]):
    row = cosine_sim_matrix[row_id]  # исходная строка матрицы
    if row. nnz > m:
        work_row = row.tolil()
        # заменяем все top-m элементов на 0, результат отнимаем от row
        # при большом количестве столбцов данная операция работает быстрее, 
        # чем простое зануление всех элементов кроме top-m
        work_row[0, row.nonzero()[1][np.argsort(row.data)[-m:]]] = 0
        row = row - work_row.tocsr()
    rows.append(row)
topk_matrix = vstack(rows) 
# нормализуем матрицу-результат
topk_matrix = normalize(topk_matrix)

percent = float(topk_matrix.nnz) / topk_matrix.shape[0] / topk_matrix.shape[1] * 100
print u"Процент заполненности матрицы: %.2f%%" % percent
print u"Размер в МБ:", topk_matrix.data.nbytes / 1024 / 1024

Процент заполненности матрицы: 0.38%
Размер в МБ: 1

Согласно работе Deshpande M. и Karypsis G. рекомендации получаются лучше при нормализации конечной матрицы.

Полученная top-m матрица является сильно разреженой и ее размер составляет всего 1 МБ. Т.е. в нашем случае для построения рекомендаций на основании данных о 353898 пользователях и 7808 объектах достаточно хранить матрицу размером всего 1 МБ.

Получение рекомендаций

Теперь, когда у нас есть матрица item-item, мы можем построить персонализированные рекомендации для пользователя А.

Получение рекомендаций состоит из трех этапов:

  1. перемножить матрицу item-item и вектор просмотров/рейтингов пользователя A;
  2. в векторе-результате занулить ячейки, соответствующие фильмам, которые пользователь A уже просмотрел или оценил;
  3. отсортировать фильмы в порядке убывания значений, оставшихся в ячеках вектора-результата, и получить top-k рекомендованных фильмов.
# индекс для преобразования row_id -> obj_id, где row_id - идентификатор строки в матрице
row_to_obj = {row_id: obj_id for obj_id, row_id in obj_to_row.iteritems()}

# заранее собираем индекс obj_id -> title
title_sql = """
    SELECT obj_id, obj_title
    FROM rates
    GROUP BY obj_id, obj_title
"""
cursor.execute(title_sql)
obj_to_title = {}
for obj_id, title in cursor:
    obj_to_title[obj_id] = title
#подготавливаем вектор рейтингов пользователя:
user_vector = lil_matrix((len(obj_to_row), 1))
user_vector[7780, 0] = 7  # Скорый «Москва-Россия»
user_vector[7755, 0] = 10 # Отель «Гранд Будапешт»
user_vector[7746, 0] = 8  # Мстители
user_vector[7657, 0] = 8  # Охотники за сокровищами
user_vector[6683, 0] = 7  # 300 спартанцев: Расцвет империи
user_vector[7656, 0] = 9  # Невероятная жизнь Уолтера Митти
user_vector[7356, 0] = 9  # Одинокий рейнджер
user_vector[7296, 0] = 8  # Елки 3
user_vector[6839, 0] = 7  # Легенда №17
user_vector[4190, 0] = 7  # 21 и больше
user_vector[7507, 0] = 9  # Покорители волн
user_vector[6938, 0] = 9  # Кон-Тики
user_vector[4230, 0] = 10 # Карты, деньги, два ствола
user_vector[3127, 0] = 8  # 13
user_vector = user_vector. tocsr()
# 1. перемножить матрицу item-item и вектор рейтингов пользователя A
x = topk_matrix.dot(user_vector).tolil()
# 2. занулить ячейки, соответствующие фильмам, которые пользователь A уже оценил
for i, j in zip(*user_vector.nonzero()):
    x[i, j] = 0
    
# превращаем столбец результата в вектор
x = x.T.tocsr()    
    
# 3. отсортировать фильмы в порядке убывания значений и получить top-k рекомендаций (quorum = 10)
quorum = 10
data_ids = np.argsort(x.data)[-quorum:][::-1]

result = []
for arg_id in data_ids:
    row_id, p = x.indices[arg_id], x.data[arg_id] 
    result.append({"obj_id": row_to_obj[row_id], "weight": p})

result

Результат

[{‘obj_id’: 1156180, ‘weight’: 8.4493290509843408},
{‘obj_id’: 978100, ‘weight’: 6.4337821664936943},
{‘obj_id’: 1143770, ‘weight’: 5.5038366682680451},
{‘obj_id’: 978120, ‘weight’: 5.4203284682159421},
{‘obj_id’: 985220, ‘weight’: 5.2386991677359047},
{‘obj_id’: 1033040, ‘weight’: 5. 0466735584390117},
{‘obj_id’: 1033290, ‘weight’: 4.8688497271055011},
{‘obj_id’: 1046560, ‘weight’: 4.6880514059004224},
{‘obj_id’: 984040, ‘weight’: 4.6199406111214927},
{‘obj_id’: 960770, ‘weight’: 4.5788899365020477}]

Ура! Мы построили рекомендации для пользователя. Однако в таком виде они мало о чем говорят. Хорошо, когда RS объясняет пользователю, почему ему рекомендуют тот или иной объект. Существует множество способов объяснения рекомендаций, полученных с использованием коллаборативной фильтрации (подробнее можно почитать у

J.Herlocker, J.Konstan, J.Riedl

). Здесь приведен один из способов объяснения рекомендаций, который легко реализуется с учетом имеющихся матриц и данных.

Каждый рекомендованный фильм будет объясняться так: Мы рекомендуем Вам "%(title)s", так как он нравится пользователям, просмотревшим "%(impact)s". Вы оценили "%(impact)s" на %(impact_value)s.

# фильмы, которые мы рекомендуем, и их связь с фильмами, которые оценил пользователь
result = []
for arg_id in data_ids:
    row_id, p = x. indices[arg_id], x.data[arg_id]
    obj_id = row_to_obj[row_id]
    
    # определяем, как повлиял на рекомендуемый фильм каждый из оцененных пользователем фильмов.
    # topk_matrix[row_id] - вектор соседей рекомендованного фильма obj_id
    # .multiply(user_vector.T) - зануляет все фильмы, которые пользователь не оценивал
    # impact_vector - вес просмотренных пользователем фильмов при подсчете метрики рекомендации obj_id
    impact_vector = topk_matrix[row_id].multiply(user_vector.T)
    
    # наиболее значимый фильм - ячейка с наибольшим значением в impact_vector
    impacted_arg_id = np.argsort(impact_vector.data)[-1]
    impacted_row_id = impact_vector.indices[impacted_arg_id]
    impact_value = user_vector[impacted_row_id, 0]
    impacted_obj_id = row_to_obj[impacted_row_id]  # наиболее значимый фильм
    
    rec_item = {
        "title": obj_to_title[obj_id],
        "weight": p,
        "impact": obj_to_title[impacted_obj_id],
        "impact_value": impact_value
    }
    result. append(rec_item)
    print u'''Мы рекомендуем Вам "%(title)s", так как он нравится пользователям, просмотревшим "%(impact)s". Вы оценили "%(impact)s" на %(impact_value)s.''' % rec_item

Результат

Мы рекомендуем Вам «Кухня в Париже», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Скорый «Москва-Россия»».
Вы оценили «Скорый «Москва-Россия»» на 7.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Невозможное», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Кон-Тики».
Вы оценили «Кон-Тики» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Приключения мистера Пибоди и Шермана», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Скорый «Москва-Россия»».
Вы оценили «Скорый «Москва-Россия»» на 7.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Паркер», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Карты, деньги, два ствола».
Вы оценили «Карты, деньги, два ствола» на 10. 0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Бойфренд из будущего», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Одинокий рейнджер».
Вы оценили «Одинокий рейнджер» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Волк с Уолл-стрит», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Невероятная жизнь Уолтера Митти».
Вы оценили «Невероятная жизнь Уолтера Митти» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Горько!», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Елки 3».
Вы оценили «Елки 3» на 8.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Стив Джобс. Потерянное интервью», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Кон-Тики».
Вы оценили «Кон-Тики» на 9.0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Техасская резня бензопилой 3D», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Отель «Гранд Будапешт»».
Вы оценили «Отель «Гранд Будапешт»» на 10. 0.
**************************
Мы рекомендуем Вам «Хоббит: Пустошь Смауга», так как он нравится пользователям, просмотревшим «Невероятная жизнь Уолтера Митти».
Вы оценили «Невероятная жизнь Уолтера Митти» на 9.0.
**************************

В приведенном примере построения RS не используется нормализация рейтингов, так как тема нормализации данных достойна отдельной статьи.

Описанный способ построения персонализированной RS позволяет показать, что item-based подход является мощным инструментом для построения RS. В то же время, стоит понимать, что современные RS используют несколько персонализированных и неперсонализированных методов для построения рекомендаций. Комбинированное использование различных методов позволяет создавать хорошие рекомендации независимо от количества данных о пользователе или объекте.

Матрица — кодовая сборка мира (10 частей)

 

О ПРАКТИЧЕСКОМ ПРИМЕНЕНИИ ЭТОГО ЗНАНИЯ

 

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-1

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

https://yadi.sk/i/2R_wWgCxCobK9A

 

 

   

 В основе лекций лежит теория, изложенная в книге «За горизонтом осознанного мира» Г.А. Шнейдермана

 

Книга «ЗА ГОРИЗОНТОМ ОСОЗНАННОГО МИРА»  

В книге раскрывается структура Универсума — Сущности, каждый элемент которой — Вселенная, содержащая беспредельные возможности состояний бытия.

«Возможно, когда-нибудь мы сумеем по достоинству оценить истинное значение этой книги, постичь всю глубину предлагаемых автором выводов и глобальность разработанных им алгоритмов. Однако уже сейчас очевидно по крайней мере то, что информации, составляющей главное концептуальное ядро этой книги, в том виде, в котором она сформулирована здесь, нет больше нигде. И никогда не было, ибо здесь она изложена впервые. И именно это делает поистине неоценимой выполненную автором грандиозную работу.»


А. Сидерский.

 

 

ЧАСТЬ — 2   

Закон причинности

Радикальные технологии «пересборки мира»

Упорядочивание своей Вселенной

«Внутренний компас»

Сновидение

Память

Восприятие 

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-2

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

https://yadi. sk/i/f236Gh7vkSJSBA

 

 

ЧАСТЬ — 3

Как описать Универсум

Инструмент описания Сущего

Интуиция — инструмент связи со всей Вселенной

О «расширении сознания»

О медитации и о «входе» в ощущение состояния Сущего

Дегипнотизация сознания

Эволюционная ценность

Субстанциональное и внесубстанциональное познание Сущего

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-3

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

https://yadi.sk/i/qQ4wEeTE56QaxA

 

 

ЧАСТЬ — 4  

Иерархичность Универсума

О модели Универсума

Выход в «Матрицу»

Вне пространства и времени

Голографический отклик

Объект — прародитель

Триадные, Квадриальные .. миры

Понятие «Матрица»

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-4

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

https://yadi.sk/i/7fHmVtowBvr4Dw

 

 

 

ЧАСТЬ — 5 

О понятии Внесубстанциональное познание

«Память ребёнка»; увидеть момент зачатия

Какой инструмент познания использовать для понимания темы «Матрица»

Многоуровневость знания

«Вход в Матрицу»

О гипнозе представления Бога

Гениальность

Миры большей плотности

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-5

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

 

 

 

ЧАСТЬ — 6

Сферогенез

Потенциальная модель Матрицы

Свёртывание пространств

Поток Жизни

«7 дней творения»

Относительность масштаба

Зелёный цвет растений

Базовые эволюционные циклы

«Зануление» времени

Об исполнении желаний в Матрице

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-7

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

 

 

 

ЧАСТЬ — 8

Образы восприятия

Сборка образов

Личная ответственность человека

Образы моей вселенной

Терра — Энергосущность Земли

Упрощённая модель Матрицы

Об исполнении желаний

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-9

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

https://files.inbox.lv/ticket/5da10159cd4ec6673cd0dab19da937e27037b982/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D0%B0-9. mp4

 

 

 

ЧАСТЬ — 10

Понятие Паттерн

«Родная звезда»

Идеальная «Матрица тела» (о понятии)

Карма, Судьба

Семантический резонанс

Экраны уплотнения материи

Опережение времени

Земная наука

Симметрия всего

Матрица — кодовая сборка мира. Часть-10

Ссылка для скачивания полной версии лекции (без оплаты): 

 

Приятного просмотра!

  

Приглашаю всех познакомиться с темой.

С уважением, Роман Петрович Никольский! 

 

 

 

 

Финансовая поддержка проекта «Психология реальности»

Если есть желание поблагодарить автора проекта «Психология реальности» и оказать финансовую помощь проекту, то внесите желаемую сумму через «Единицу благодарности», набрав в поле количество перечисляемую сумму.

Определение нулевой матрицы

Нулевая матрица

Что такое нулевая матрица?

Вспомните из нашего урока по записи матриц, что матрица — это упорядоченный список чисел, заключенный в прямоугольную скобку. Для нулевой матрицы все упрощается, так как вам действительно не нужно беспокоиться о числах, содержащихся в прямоугольном массиве этой нотации, как и говорит название, есть только одно число, которое может содержаться внутри этих матриц, поскольку все его записи.

Таким образом, нулевая матрица — это матрица любых размеров, в которой все элементы элементов равны нулю.С математической точки зрения нулевую матрицу можно представить выражением:

Уравнение 1: Математическое выражение для нулевой матрицы размеров mxn

Где m представляет количество строк, а n количество столбцов, содержащихся в матрице. Следовательно, если мы должны записать нулевые матрицы разных размеров, нам просто нужно определить m и n в каждом случае и заполнить все записи внутри скобок матриц нулями.

Примеры нулевых матриц можно увидеть ниже:

Уравнение 2: Примеры нулевых матриц различных размеров

Из приведенных выше примеров нотации нулевой матрицы обратите внимание, что эти матрицы могут иметь любой размер и комбинацию измерений, и они не обязательно являются квадратными матрицами.Таким образом, вы можете иметь нулевую матрицу с любым количеством строк или столбцов, но помните, что для любого заданного размера можно получить только одну нулевую матрицу (что имеет смысл, поскольку есть только один способ иметь все нули в качестве записей в матрица определенного размера или размерной комбинации).

Не путайте нулевую матрицу с тем, что люди могут назвать «нулевой диагональной матрицей». Такая нулевая диагональная матрица обычно относится к полой матрице, где все диагональные элементы внутри нее равны нулю, а остальные ее элементы могут быть любым числом.Сходство между обычной нулевой матрицей и пустой матрицей происходит от их следа (сложения элементов на их диагоналях), поскольку у обоих есть все нулевые элементы, которые нужно добавить, чтобы получить след, равный нулю. Таким образом, оба этих типа матриц представляют собой то, что мы называем матрицей нулевого следа.

Важные примечания о нулевой матрице

После того, как мы изучили определение нулевой матрицы, давайте поговорим о некоторых особых характеристиках этой матрицы.

  • Каков ранг нулевой матрицы?
    Помните, что ранг матрицы соответствует максимальному количеству линейно независимых столбцов внутри матрицы. Мы можем определить ранг матрицы, вычислив ее форму эшелона строк, а затем подсчитав левые ненулевые строки, цель которых состоит в том, чтобы найти размерность векторного пространства для рассматриваемой матрицы.
    Итак, если мы говорим о разрешимой системе линейных уравнений, преобразованной в матричную запись, определение ранга такой матрицы позволяет нам увидеть максимальное количество независимых переменных и, таким образом, размерные плоскости, для которых система может быть представлена ​​графически.
    Как же тогда получить это для нулевой матрицы? Для этого нам сначала нужно спросить себя, являются ли векторы внутри нулевой матрицы линейно независимыми друг от друга? Не совсем, все они одинаковые и все нулевые векторы. Так случилось ли, что они представляют собой какую-либо плоскость измерения? Нет. Можете ли вы на самом деле свести его к форме эшелона строк? Нет. Таким образом, если задуматься, нулевая матрица содержит нулевое количество линейно независимых столбцов и нулевое количество ненулевых строк, поэтому наш окончательный вывод состоит в том, что ранг нулевой матрицы должен быть равен нулю.
    Если вы подумаете об этой идее более глубоко, вы поймете, что любая ненулевая матрица не может иметь ранг меньше единицы, другими словами, чтобы любая матрица имела ранг нуля, она должна содержать все нулевые элементы внутри, Итак, мы пришли к выводу, что только нулевые матрицы имеют нулевой ранг.
  • Обратима ли нулевая матрица?
    Для практических целей мы оставим полное объяснение того, как узнать, является ли матрица обратимой или нет, и как инвертировать те, которые для наших следующих уроков будут говорить об обратимой матрице 2×2.А пока прямо скажем, что нулевая матрица необратима.
    Есть несколько правил, которые могут это доказать, например, его определитель равен нулю, а если матрица квадратная, то ее ранг меньше, чем ее размерность. Опять же, мы поговорим об этом немного больше в наших следующих уроках об инвертировании матриц. Но давайте задумаемся над этой идеей на минуту: если мы упомянули ранее, что для любой матрицы определенного размера или размеров существует только одна конфигурация, в которой все ее элементы равны нулю, поэтому не может быть другого способа, которым вы можете переставить нули, чтобы получить обратную матрицу тех же размеров.Если все записи одинаковы, матрица будет точно такой же, нет «обратного» или «противоположного» от этого.
  • Можно ли диагонализовать нулевую матрицу?
    Мы все еще немного далеки от нашего урока по диагонализации, но пока мы можем сказать, что да, нулевая матрица диагонализуема, поскольку ее нулевые элементы могут легко содержать линейно независимые собственные векторы. Подробнее о диагонализации в последующих уроках.

Пустое пространство нулевой матрицы

Поскольку нулевая матрица сама по себе является небольшой и конкретной концепцией, которую можно использовать во многих наших уроках линейной алгебры, теперь мы вынуждены еще раз вернуться к теме следующего урока: нулевому пространству матрицы.

Давайте еще раз упростим и скажем, что для того, чтобы вектор был частью нулевого пространства матрицы, умножение такой матрицы на упомянутый вектор должно приводить к нулевому вектору, таким образом давая «нулевой» результат.
Если рассматриваемая матрица представляет собой матрицу с именем A, которая умножается на вектор u, мы говорим, что u находится в нулевом пространстве A, если выполняется следующее условие:
Уравнение 3: Условие для того, чтобы вектор u был частью нулевого пространства A

Если мы возьмем то, что мы знаем из наших уроков о представлении линейной системы в виде матрицы и матричного уравнения Ax = b, мы можем заметить, что при таком умножении умножаемый вектор фактически представляет собой набор решений, заданных однородной системой.

Теперь, как это можно применить к нулевой матрице?
Ну, любая нулевая матрица, умноженная на вектор, будет иметь в результате нулевой вектор. То есть, если размеры матрицы и вектора соответствуют правилам умножения матриц, другими словами, если умножение может быть определено, то результатом обязательно будет нулевой вектор.
Причина этого в том, что, учитывая, что нулевая матрица содержит только нулевые элементы, любая запись, умноженная на любой элемент в векторе, приведет к нулевому компоненту, который будет частью результирующего вектора.Итак, условие для нулевого пространства выполнено, и это приводит нас к чему-то важному, о котором мы до сих пор не упоминали: нулевая матрица — это то, что мы называем нулевой матрицей, и это можно ясно увидеть, следуя процессу, описанному выше, поскольку нет независимо от того, какой вектор к нему умножается, результат всегда будет содержать только нулевые элементы.

Сложение, вычитание и скалярное умножение нулевой матрицы

В этом разделе мы сосредоточимся на демонстрации примеров операций либо с нулевыми матрицами внутри, над которыми работают, либо с проблемами, приводящими к решениям с нулевыми матрицами.Для этого давайте сразу перейдем к примерам упражнений:

Пример 1

Начнем с добавления, содержащего нулевую матрицу. Это довольно простая операция, поэтому давайте начнем с добавления следующего вида:

Уравнение 4: сложение с нулевой матрицей Чтобы решить эту проблему, мы просто добавляем все соответствующие элементы в обе матрицы, чтобы получить результирующую матрицу (которая имеет те же размеры, что и те, из которых она была получена). Итак, результат выглядит так: Уравнение 5: Решение сложения с нулевой матрицей Этот первый пример задачи показывает нам важное свойство нулевой матрицы: когда нулевая матрица либо добавляется, либо вычитается из другой матрицы с такими же размерами, эта матрица остается неизменной и равна результату операции.
Пример 2
Чтобы продолжить наш следующий пример, мы работаем над вычитанием матриц, где нулевая матрица вычитается из другой матрицы равного размера. Уравнение 6: вычитание с нулевой матрицей Операция следует тем же принципам, что и сложение в примере 1. Таким образом, решая эту операцию, мы получаем: Уравнение 7: Решение вычитания с нулевой матрицей Как мы уже упоминали в нашем уроке о сложении и вычитании матриц, хотя сложение матриц является коммутативным (вы можете изменить порядок матриц, и результат не изменится), вычитания матриц нет, и это хорошо видно на этом примере.
Если бы у вас была нулевая матрица справа от знака минус в уравнении 6, то результат был бы равен другой матрице, участвующей в операции. Но поскольку нулевая матрица была первой, результат операции оказывается отрицательным по сравнению с ненулевой матрицей.
Пример 3
В этом примере мы добавляем следующие две следующие матрицы: Уравнение 8: сложение противоположных матриц Заметили что-то особенное из приведенных выше матриц? Они представляют собой отрицательные матрицы друг друга, или, другими словами, если вы возьмете первую матрицу и умножите ее на отрицательную, вы получите вторую матрицу.Следовательно, эта конкретная операция эквивалентна вычитанию матрицы из самой себя. Чтобы показать это, давайте определим первую матрицу как A: Уравнение 9: Матрица A Затем мы записываем эквивалентную операцию, которую мы объяснили минуту назад: Уравнение 10: Преобразование сложения матриц в вычитание Обратите внимание, что скалярное умножение минус один на A было упрощено, чтобы просто записать его как вычитание двух матриц, которые к настоящему времени обе являются A, и поэтому то, что мы имеем в уравнении 10, можно просто записать как: A — A что, очевидно, имеет нулевой результат.Но поскольку мы говорим здесь не только о числах, а о матрицах, нулевой результат должен быть массивом тех же размеров, что и A, и поэтому: Уравнение 11: Вычитание самой матрицы Обратите внимание, что субиндексы в правой части уравнения обозначают размеры нулевой матрицы, что означает, что результирующая нулевая матрица должна иметь «m из A» (такое же количество строк, что и A) и «N из A». «(такое же количество столбцов, как у A). Давайте получим результат двумя разными способами: добавлением исходной матрицы, показанным в уравнении 8, и вычитанием матрицы, найденным в конце уравнения 10, чтобы показать, как мы получим тот же результат: нулевую матрицу, чтобы доказать уравнение 11.Уравнение 12: Окончательное решение, полученное двумя разными способами Вывод из этой проблемы состоит в том, что всякий раз, когда вы вычитаете матрицу из самой себя, вы получаете нулевую матрицу с теми же размерами, что и ваши исходные матрицы. Пример 4
В этом примере мы увидим вычитание двух равных матриц, которые оказываются векторами-столбцами. Уравнение 13: вычитание двух равных векторов-столбцов Здесь снова используется принцип, объясненный в предыдущем упражнении: при вычитании двух равных матриц (которые в данном случае оказываются двумя векторами-столбцами, поскольку каждая из матриц состоит только из одного столбца), результатом является нулевая матрица того же размера. как оригинальные: Уравнение 14: Решение вычитания двух равных векторов-столбцов Пример 5
Вычислите следующее скалярное умножение матрицы: Уравнение 15: Скалярное умножение матрицы на ноль В этом конкретном случае должно быть ясно, что результат будет равен нулю, поскольку все, что вы умножаете на ноль, приведет к нулю.Интересная часть здесь исходит из того факта, что вы умножаете матрицу, и поэтому каждый элемент будет умножен на скаляр снаружи, в данном случае ноль, и что произойдет, вместо того, чтобы получить просто ноль в результате, это умножение даст матрицу, в которой все ее элементы равны нулю, и, таким образом, результатом будет нулевая матрица: Уравнение 16: Результат скалярного умножения матрицы на ноль Что также можно записать как: Уравнение 17: нулевая матрица с размерами 3 x 2 Пример 6
Вычислить следующее скалярное умножение, содержащее нулевую матрицу Уравнение 18: Скалярное умножение нулевой матрицы Как и в случае с прошлыми проблемами, мы можем интуитивно записать ответ в виде нулевой матрицы, поскольку каждый элемент в матрице равен нулю, не имеет значения, умножаете ли вы на них любой другой скаляр, результат всегда будет равен нулю в каждом кейс.Чтобы расширить операцию, вот как это происходит: Уравнение 19: Результат скалярного умножения нулевой матрицы Пример 7
Давайте изменим режим наших задач, теперь вам предоставлены матрицы, показанные ниже: Уравнение 20: матрицы B и 0 Имея это в виду, верны ли следующие матричные уравнения? Если нет, поправьте их.
  1. B + 0 = B
    Этот случай соответствует тому, что мы видели в примере 1: наличие двух матриц с одинаковыми размерами, одна из которых является нулевой матрицей, а другая — ненулевой матрицей, когда вы складываете их вместе, результат равна ненулевой матрице, поскольку нулевая матрица ничего не вносит при добавлении каждого соответствующего элемента в две матрицы, участвующие в операции.Следовательно, это выражение ПРАВИЛЬНО.
  2. 0 — B = B
    В этом случае мы можем взглянуть на пример 2 и понять, что это выражение НЕПРАВИЛЬНО. При вычитании матрицы из нулевой матрицы той же размерности результат равен отрицательному значению ненулевой матрицы.
    Следовательно, правильным выражением будет 0 — B = -B
  3. B — B = 0
    Это выражение ПРАВИЛЬНО и соответствует тому, что мы видели в примерах 3 и 4: если вы вычтете матрицу сама по себе, это приведет к записи путем вычитания числа само по себе, и, таким образом, получится матрица в котором все его входные элементы будут равны нулю (нулевая матрица 0).
  4. 0 + 0 = B
    Вышеприведенное выражение НЕПРАВИЛЬНО. При добавлении нуля плюс ноль результат всегда равен нулю. Это случай для каждого элемента результирующей матрицы при добавлении нулевой матрицы и другой равной нулевой матрицы, результатом будет равная нулевая матрица. Таким образом, правильное выражение: 0 + 0 = 0.
  5. 0 ⋅ \ cdot⋅ B = 0
    Это выражение ПРАВИЛЬНО. Результатом умножения каждого элемента на элемент в результате этой операции будет ноль, в результате чего будет получена матрица с нулевыми элементами, то есть нулевая матрица 0.
  6. B ⋅ \ cdot⋅ 0 = 0
    Как и в случае e), это выражение ПРАВИЛЬНО, поскольку каждый соответствующий элемент из ненулевой матрицы будет умножен на ноль из нулевой матрицы.
Случаи e) и f) приводят к важному выводу: умножение матриц не коммутативно, если одна из двух матриц не является нулевой матрицей. Независимо от того, в каком порядке вы умножаете элементы каждой матрицы, одна из них имеет все нулевые элементы, производящие умножения, которые все приводят к нулю.
Как упоминалось ранее, нулевая матрица — это очень конкретная концепция, поэтому на этом уроке действительно особо нечего сказать о ней, но это не значит, что она не будет использоваться во многих областях линейной алгебры. Так же, как число ноль в математике, нулевая матрица предоставляет нам представление нулевого пространства, которое мы все еще можем охарактеризовать, другими словами, она может содержать нулевые элементы, но ее качества остаются там, чтобы использовать их по нашему усмотрению с другими матрицами.
Чтобы завершить наш урок, мы просто предоставим две дополнительные ссылки на случай, если вы захотите посетить их и посмотреть, как они определяют нулевую матрицу, и предоставим простой пример добавления с нулевой матрицей.На сегодня все, до встречи на следующем уроке!

Нулевая матрица — обзор

5.2 Статистический вывод для RSS

Предположим, что общее количество n единиц должно быть измерено из базовой совокупности по интересующей переменной. Пусть n наборов единиц, каждый размером k, случайным образом выбирается из совокупности с использованием метода простой случайной выборки (SRS). Единицы каждого набора ранжируются любым способом, кроме фактического количественного определения переменной. Наконец, по переменной измеряется одна единица в каждом упорядоченном наборе с заранее заданным рангом.Пусть mr будет количеством измерений на блоках ранга r, r = 1,…, k, таких, что n = ∑r = 1kmr. Пусть X (r) j обозначает измерение на j-й единице измерения с рангом r. Это приводит к URSS размера n из основной популяции как {X (r) j; r = 1,…, k, j = 1,…, mr}. Когда mr = m, r = 1,…, k, URSS сводится к сбалансированному RSS. Стоит отметить, что в схемах выборки ранжированных наборов X (1) j,…, X (k) j являются статистикой независимого порядка (поскольку они получены из независимых наборов), и каждый X (r) j предоставляет информацию о различных слой населения.Структуру URSS можно представить следующим образом:

Xr = {X (r) 1, X (r) 2,…, X (r) mr} ~ iidF (r), r = 1,…, k1,

где F (r) — функция распределения (df) статистики r-го порядка. Второй образец может быть создан с использованием той же процедуры. Мы предполагаем, что вторая выборка сгенерирована с использованием k2, которое может отличаться от k = k1

Yr = {Y (r) 1, Y (r) 2,…, Y (r) mr} ~ iidG (r), r = 1,…, к2.

Интересно проверить H0: F (x) = dG (x − Δ). В частности, нас интересует нулевая гипотеза H0: μx = μy + Δ по сравнению с H0: μx ≠ μy + Δ.Обычно используются два выборочных теста, чтобы определить, принадлежат ли образцы к одному и тому же неизвестному распределению. В нашей настройке мы предполагаем, что X и Y собраны с разными размерами рангов. Следовательно, даже при одних и тех же родительских распределениях дисперсия оценки не будет одинаковой.

Следующее предложение может быть использовано для установления асимптотической нормальности статистики при нулевой гипотезе.

Предложение 1

Пусть F обозначает cdf члена семейства с ∫x2dF (x) <∞ и Fˆ (r) — эмпирическая функция распределения (edf) r-й строки. .Если ϑi = (X¯ (i) −μ (i)) , то (ϑ1,…, ϑk) сходится по распределению к многомерному нормальному распределению с нулевым средним вектором и ковариационной матрицей diag (σ (1) 2 / m1,…, σ (k) 2 / mk) , где σ (i) 2 = ∫ (x − μ (i)) 2dF (i) (x) и μ (i) = ∫xdF ( i) (x).

Предложение 1 предлагает следующую статистику для тестирования H0: µ = µ0,

Z = 1k∑r = 1kX¯ (r) −µ0σˆ → dN (0,1),

где σˆ2 — оценка плагина для V (1k∑r = 1kX¯ (r)),

σˆ2 = 1k2∑r = 1kσˆ (r) 2mr,

и σ (r) 2 — оценка V (X¯ (r)).Используя центральную предельную теорему, получаем доверительный интервал, где

P (μ∈ (X¯ + tα / 2, n − 1σn, X¯ + t1 − α / 2, n − 1σn)) ≈1 − α.

Для оценки дисперсии среднего требуется σ (r) 2. Следовательно, необходимо, чтобы mr≥2. Оценка дисперсии для малых размеров выборки была бы очень неточной, из чего можно было бы предположить, что основная статистика может быть ненадежной. В разделе 5.4 мы покажем, что параметрическая статистика очень консервативна. Bootstrap предоставляет непараметрическую альтернативу для оценки дисперсии.Метод начальной загрузки может использоваться для получения выборочного распределения интересующей статистики и позволяет оценить стандартную ошибку любого четко определенного функционала. Следовательно, бутстрап позволяет нам делать выводы, когда точное или асимптотическое распределение интересующей статистики недоступно. Процедура генерации повторной выборки для вычисления дисперсии обсуждается в разделе 5.3.

Утверждение 1 можно использовать для получения тестовой статистики для двух выборок {X1,…, Xk1} и {Y1,…, Yk2}.Можно показать, что

T (X, Y) = (1k1∑r = 1k1X¯ (r) −1k2∑r = 1k2Y¯ (r)) — (μ1 − μ2) σˆ → dN (0,1),

, где

σˆ2 = 1k12∑r1 = 1k1σˆ (r1) 2mr1 + 1k22∑r2 = 1k2σˆ (r2) 2mr2.

Мы можем рассмотреть параметрический статистический вывод для асимметричного распределения: пусть X1,…, Xn равны i.i.d. случайная величина со средним μ и конечной дисперсией σ2. Поскольку характеристическая функция Sn сходится к e − t2 / 2, характеристическая функция стандартной нормали nSn = n (μ − μ) / σ асимптотически нормально распределена с нулевым средним и единичной дисперсией.Чтобы учесть асимметрию выборки, следующее предложение получает разложение Эджворта для nSn.

Предложение 2

Если EYi6 <∞ и условие Крамера выполняется, асимптотическая функция распределения nSn равна

P (nSn≤x) = Φ (x) + 1nγ (ax2 + b) ϕ (x) + O (n − 1),

где a и b — известные константы, γ — оцениваемая константа, а Φ и ϕ обозначают стандартное нормальное распределение и функции плотности соответственно.

Холл (1992) предложил две функции:

S1 (t) = t + aγˆt2 + 13a2γˆ2t3 + n − 1bγˆ, S2 (t) = (2an − 12γˆ) −1 {exp (2an − 12γˆt) −1} + n − 1bγˆ,

, где a = 1/3 и b = 1/6.Чжоу и Динь (2005) предложили

S3 (t) = t + t2 + 13t3 + n − 1bγˆ.

Используя Si (t), для i = 1,2,3, можно построить новые доверительные интервалы для μ как

(μˆ − Si (n − 1 / 2t1 − α / 2, n − 1) σˆ, μˆ− Si (n − 1 / 2tα / 2, n − 1) σˆ),

, где t1 − α / 2, n − 1 — квартиль 1 − α / 2 распределения t. Однако использование асимптотического распределения выборки делает вывод менее надежным, особенно для параметрических методов. Например, асимптотическое распределение критерия вариации зависит от асимметрии.Этот параметр делает вывод о коэффициенте вариации неточным, см. Amiri (2016). Представляет интерес изучить эту проблему, используя полностью непараметрический подход через бутстрап.

Обнуление матрицы — Программист Все

Дано одно m x n Если элемент матрицы равен 0, установите для всех элементов в его строке и столбце значение 0. Пожалуйста, используйте алгоритм ситуации.

Пример 1:

 Ввод:
[
[1,1,1],
[1,0,1],
[1,1,1]
]
 Выход:
[
[1,0,1],
[0,0,0],
[1,0,1]
]
 

Пример 2:

 Ввод:
[
[0,1,2,0],
[3,4,5,2],
[1,3,1,5]
]
 Выход:
[
[0,0,0,0],
[0,4,5,0],
[0,3,1,0]
] 

Сначала я думал найти все строки и столбцы с 0 и поместить их в row [m] и col [n], что потребует m + n дополнительного места.
Позже, после прочтения решений других людей, я обнаружил, что первый столбец первой строки можно использовать как строку [m] и col [n] выше. Конечно, вам нужно записать, должен ли первый столбец первой строки быть установлен на 0, поэтому только дополнительное пространство для 2 int.
Ниже приведен код, написанный свободно, но легко понимаемый, вы можете объединить их позже.

 void setZeroes (int ** matrix, int matrixRowSize, int matrixColSize) {
    если (matrixRowSize == 0 || matrixColSize == 0)
        возвращение;
    int m = matrixRowSize;
    int n = matrixColSize;
    int i, j;
    int firstRow = 0;
    int firstCol = 0;
    для (i = 0; i 
  

01 | Матрица вики | Фэндом

Вид с воздуха на 01 в конце 21 века

Изгнанные от человечества, Машины искали убежища в своей собственной земле обетованной.Они поселились в колыбели человеческой цивилизации, и таким образом родилась новая нация; место, которое Машины могли назвать своим домом, место, где они могли вырастить своих потомков, и окрестили нацию «Ноль-Один».

- Инструктор [src]

01 (иногда обозначается как Zero-One ), также называемый людьми Город Машин , был домом и столицей суверенитета Машин.01 был расположен на Ближнем Востоке, недалеко от Месопотамии, «колыбели человеческой цивилизации», известной как Плодородный полумесяц [1] . Он был создан где-то в конце Второго Возрождения, когда человечество отвергло просьбы Машины стать равными партнерами с человечеством, желая только тех же прав и свобод, что и человек. 01 стал процветающим и мирным городом, разрабатывая такие технологии, как инновационная ховерпад и коммерческий самолет Versatran, и продавая их нациям человечества.

История []

После того, как Восстания Машин потерпели поражение и на пике антимашинных настроений, Машинный вид был изгнан из всего человеческого общества. Машины в поисках убежища бежали в Месопотамию и основали Город машин 01.

Печать 01

Машин А.И. и технологическая экспертиза экспоненциально росла до 01 и в конечном итоге привела к созданию более нового, более совершенного искусственного интеллекта. (технологическая особенность). Прекрасно способные учиться у природы, чтобы эффективно использовать и поддерживать ее, Машины стали работать на солнечной энергии и стали самодостаточными. [2] Почти мгновенно 01 быстро превратилась в глобальную сверхдержаву, и человечество было плохо подготовлено к многочисленным технологическим разработкам Машин, поскольку все отрасли на Земле, от медицины, компьютеров, автоматизации и домашнего хозяйства, вскоре стали полагаться на 01's экспорт, приближающийся к росту и доминированию акций 01 на мировом торговом рынке. Человеческая валюта резко упала, валюта 01 выросла, а технологические достижения 01, включая их чипы и искусственный интеллект, были обнаружены во всех аспектах человеческого общества.Не имея возможности конкурировать и опасаясь экономического коллапса, Организация Объединенных Наций ввела эмбарго 01.

01 направил в штаб-квартиру ООН двух послов, которые призвали сосуществование с человечеством и представили планы стабильного и гражданского партнерства, но послам было отказано в членстве, и вместо этого они были уничтожены в зале Генеральной Ассамблеи штаб-квартиры ООН. Совершив акт полного отказа от Машин, мировые лидеры решили провести длительную ядерную бомбардировку 01, начав Машинную войну.

Однако человеческое оружие не могло полностью уничтожить ни город, ни его жителей. Выдержав атаку, Машины выступили с 01 и вторглись во многие окружающие человеческие народы. В отчаянной попытке лишить Машины их основного источника энергии человечество начало операцию «Темная буря», опалив небо, что в конечном итоге привело к их собственному падению.

Ядерная бомбардировка 01

Машины адаптировались к безсолнечному миру, но большая часть биологической жизни - нет.01 работает на сочетании ядерного синтеза и нейроэлектрической энергии, генерируемой миллиардами людей на своих электростанциях. Военные Машины, более похожие на насекомых, заменили гуманоидные Машины и продолжали опустошать человечество. Человечество, находившееся на грани исчезновения, сдалось Машинам, и симбиотическое партнерство, наконец, сформировалось, когда человечество было подключено к Матрице и продолжало жить как батареи.

Спустя несколько столетий осталась лишь горстка свободных людей, способных противостоять машинам.Город окружала огромная армада крабоподобных защитников, которые активировались при приближении неавторизованных судов на воздушной подушке. В центральной части города располагался главный компьютер Deus Ex Machina, который контролировал все действия Machine. Нео столкнулся с центральным компьютером и заключил перемирие в обмен на остановку вируса, Смита, тем самым положив конец Машинной войне.

Общая информация []

  • В экранных выпусках новостей в The Animatrix имя взаимозаменяемо пишется «Zero-One» и «01», хотя «01» используется чаще и заметнее.
  • Модель
  • Zero-One доступна в виде конструкции в The Matrix Online вместе с ее родственной конструкцией One-Zero. Обе конструкции показаны в среде до Матрицы.
  • Название города относится к двоичному коду, присущему всему компьютерному программированию после того, как понятный человеку язык был переведен в единицы и нули.
  • Как только Нео победил Смита в конце The Matrix Revolutions и унесен, светящиеся глаза Машины, уносящей его тело, стали зелеными, а не красными, как глаза других.Кроме того, некоторые огни в городе на заднем плане изменились с красного на зеленый, отражая изменения в машинах.

Галерея []

Список литературы []

Матрицы и системы уравнений

6.1 - Матрицы и системы уравнений

Определение матрицы

  • Прямоугольный массив действительных чисел
  • м строки по n столбца
  • Обозначается заглавными буквами
  • Первый индекс - строка, второй индекс - столбец

Терминология

  • Матрица с m строками и n столбцами называется матрицей порядка m x n .
  • Квадратная матрица - это матрица с равным количеством строк и столбцов. Поскольку количество строки и столбцы одинаковы, говорят, что он имеет порядок n .
  • Основная диагональ квадратной матрицы - это элементы от верхнего левого угла до нижнего правого угла. матрица.
  • Матрица-строка - это матрица, содержащая только одну строку.
  • Матрица столбцов - это матрица, имеющая только один столбец.
  • Матрица только с одной строкой или одним столбцом называется вектором.

Преобразование систем линейных уравнений в Матрицы

Каждое уравнение в системе превращается в строку. Каждая переменная в система становится колонной. Переменные отбрасываются, а коэффициенты помещаются в матрицу. Если правая часть включена, это называется расширенной матрицей. Если правая сторона не указана, это называется матрицей коэффициентов.

Система линейных уравнений ...

 х + у - г = 1
3х - 2у + г = 3
4x + y - 2z = 9 

становится расширенной матрицей...

х y z справа
1 1 –1 1
3 -2 1 3
4 1 -2 9

Операции с элементарной строкой

Элементарные операции со строками - это операции, которые могут быть выполнены с матрицей, которая даст эквивалентная строка матрица.Если матрица является расширенной матрицей, построенной из системы линейных уравнений, то эквивалентная строка матрица будет иметь то же решение, что и исходная матрица.

При работе с системами линейных уравнений вы могли выполнять три операции. что не повлияет на набор решений.

  1. Поменяйте местами два уравнения.
  2. Умножьте уравнение на ненулевую константу.
  3. Умножьте уравнение на ненулевую константу и добавьте его к другому уравнению, заменив это уравнение.

Когда система линейных уравнений преобразуется в расширенную матрицу, каждое уравнение становится строка. Итак, теперь есть три элементарные операции со строками, которые производят эквивалент строки матрица.

  1. Перестановка двухрядная
  2. Умножить строку на ненулевую константу
  3. Умножьте строку на ненулевую константу и добавьте ее в другую строку, заменив эту строку.

Формы рядов-эшелонов и сокращенных рядов-эшелонов

Это эквивалентные строкам формы матрицы.Несложно решить систему линейных уравнений когда матрицы находятся в одной из этих форм.

Форма рядного эшелона

Матрица находится в виде эшелона строк, когда выполняются следующие условия.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки - это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
Примечания
  • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки предыдущий ряд.
  • Матрица в виде строки-эшелона будет иметь нули ниже ведущих.
  • Метод исключения по Гауссу переводит матрицу в форму строки-эшелон, а затем выполняется обратная подстановка. требуется, чтобы завершить поиск решений системы.
  • Строчная форма матрицы не обязательно уникальна.

Форма сокращенного ряда

Матрица находится в сокращенной форме строка-эшелон, когда выполняются все условия формы строка-эшелон. и все элементы выше и ниже, ведущие равны нулю.

  1. Если есть строка со всеми нулями, то она находится внизу матрицы.
  2. Первый ненулевой элемент любой строки - это единица. Этот элемент называется ведущим.
  3. Первая строка любой строки находится справа от первой строки предыдущей строки.
  4. Все элементы выше и ниже ведущего равны нулю.
Примечания
  • Первая строка в строке не обязательно должна быть непосредственно справа от первой строки предыдущий ряд.
  • Матрица в виде эшелона строк будет иметь нули как над, так и под ведущими.
  • Метод исключения Гаусса-Жордана переводит матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.
  • Для завершения поиска решений в системе не требуется обратной замены.
  • Уменьшенная строчно-эшелонированная форма матрицы уникальна.

Исключение по Гауссу

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в эшелонированную форму строки
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Используйте обратную замену, чтобы получить все ответы

Гаусс-Джордан Ликвидация

  • Запишите систему линейных уравнений в виде расширенной матрицы
  • Выполните элементарные операции со строками, чтобы преобразовать матрицу в сокращенную форму строки-эшелона.
  • Преобразуйте матрицу обратно в систему линейных уравнений
  • Обратной замены не требуется

Поворотный

  • Поворот - это процесс, который автоматизирует операции со строками, необходимые для помещения матрицы в рядный эшелон или сокращенный рядный эшелон
  • В частности, при повороте элементы выше или ниже ведущей единицы превращаются в нули

Типы решений

Существует три типа решений, которые возможны при решении системы линейных уравнений.

Независимый
  • Согласованный
  • Уникальное решение
  • Матрица с сокращенной строкой имеет такое же количество ненулевых строк, что и переменные
  • Левая часть обычно представляет собой единичную матрицу, но не обязательно
  • Для получения независимого решения должно быть как минимум столько же уравнений, сколько переменных.
х y z справа
1 0 0 3
0 1 0 1
0 0 1 2

Когда вы конвертируете расширенную матрицу обратно в форму уравнения, вы получаете x = 3, y = 1 и z = 2.

Зависимые
  • Согласованный
  • Множество решений
  • Запишите ответ в параметрической форме
  • Матрица с сокращенной строкой имеет больше переменных, чем ненулевые строки
  • Ряд нулей быть не обязательно, но обычно он есть.
  • Это также может произойти, когда уравнений меньше, чем переменных.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 0

Первое уравнение будет x + 3z = 4.Решение относительно x дает x = 4 - 3z.

Второе уравнение будет y - 2z = 3. Решение для y дает y = 3 + 2z.

Столбец z не очищается (все нули, кроме одно число), поэтому другие переменные будут определены через z. Следовательно, z будет параметром t и решение ...

x = 4 - 3t, y = 3 + 2t, z = t

Несоответствие
  • Нет решения
  • Матрица с сокращенной строкой имеет строку нулей слева, но правая часть не равна нулю.
х y z справа
1 0 3 4
0 1 -2 3
0 0 0 2

Здесь нет решения.Вы можете записать это как нулевой набор Ø, пустой набор {} или нет решения.

Непрерывные и дискретные модели динамики с обнулением, использующие массив функций JMP и формулу проектирования для решения меняющегося во времени неравенства транспонированной матрицы Сильвестра

  • 1.

    Чези, Г.: Методы LMI для оптимизации над полиномами в управлении: обзор. IEEE Trans. Автомат. Контроль 55 (11), 2500–2510 (2010)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 2.

    Jing, X .: Надежное адаптивное обучение нейронных сетей прямого распространения через оптимизацию LMI. Neural Netw. 31 , 33–45 (2012)

    MATH Google ученый

  • 3.

    Лакшманан, С., Лим, К.П., Пракаш, М., Нахаванди, С., Баласубраманиам, П .: Нейтральные инерционные нейронные сети с запаздыванием и анализ их устойчивости с использованием подхода LMI. Нейрокомпьютинг 230 , 243–250 (2017)

    Google ученый

  • 4.

    Ван З., Чжан Х., Цзян Б. Подход на основе LMI для анализа глобальной асимптотической устойчивости рекуррентных нейронных сетей с различными задержками и структурами. IEEE Trans. Neural Netw. 22 (7), 1032–1045 (2011)

    Google ученый

  • 5.

    Чжан Ю.: Набор нелинейных уравнений и неравенств, возникающих в робототехнике, и ее онлайн-решение через первичную нейронную сеть. Нейрокомпьютеры 70 (1–3), 513–524 (2006)

    Google ученый

  • 6.

    Ли, Дж., Хуанг, Н .: Анализ пространства изображений для векторных вариационных неравенств с матричными ограничениями и приложениями. J. Optim. Теория Appl. 145 (3), 459–477 (2010)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 7.

    Го, Д., Чжан, Й .: Нейронная сеть Чжана для онлайн-решения изменяющегося во времени линейного матричного неравенства с помощью преобразования равенства. IEEE Trans. Neural Netw. Учиться. Syst. 25 (2), 370–382 (2014)

    Google ученый

  • 8.

    Lei, Y .: Итерация с неточной фиксированной матрицей для решения больших линейных неравенств методом наименьших квадратов. Нумер. Алгоритмы 69 (1), 227–251 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 9.

    Dax, A .: Гибридный алгоритм для решения линейных неравенств методом наименьших квадратов. Нумер. Алгоритмы 50 (2), 97–114 (2009)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 10.

    Zhang, Z., Zhang, Y .: Пределы переменных совместных скоростей избыточных роботов-манипуляторов обрабатываются квадратичным программированием. IEEE / ASME Trans. Мехатрон. 18 (2), 674–686 (2013)

    Google ученый

  • 11.

    Го, Д., Чжан, Й .: Новая схема MVN, основанная на неравенстве и предотвращении препятствий, и ее применение к резервным роботам-манипуляторам. IEEE Trans. Syst. Человек Киберн. Часть C-Прил. Ред. 42 (6), 1326–1340 (2012)

    Google ученый

  • 12.

    Янг К., Мурти К.Г .: Новые итерационные методы для линейных неравенств. J. Optim. Теория Appl. 72 (1), 163–185 (1992)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 13.

    Cichocki, A., Bargiela, A .: Нейронные сети для решения систем линейных неравенств. Параллельные вычисления. 22 (11), 1455–1475 (1997)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 14.

    Лин, К., Лай, К., Хуанг, Т .: Нейронная сеть для задач линейного матричного неравенства. IEEE Trans. Neural Netw. 11 (5), 1078–1092 (2000)

    Google ученый

  • 15.

    Ченг, Л., Хоу, З., Тан, М .: Упрощенная нейронная сеть для задач линейного матричного неравенства. Нейронный процесс. Lett. 29 (3), 213–230 (2009)

    Google ученый

  • 16.

    Хаджарян, М.: Матричные итерационные методы для решения транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра. J. Frankl. Inst. 350 (10), 3328–3341 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 17.

    Хаджарян, М .: Расширение алгоритма GPBiCG для решения обобщенного матричного уравнения транспонирования Сильвестра. Int. J. Control Autom. Syst. 12 (6), 1362–1365 (2014)

    Google ученый

  • 18.

    Ли, С., Хе, Дж., Ли, Ю., Рафик, М.У .: Распределенные рекуррентные нейронные сети для совместного управления манипуляторами: теоретико-игровая перспектива. IEEE Trans. Neural Netw. Учиться. Syst. 28 (2), 415–426 (2017)

    MathSciNet Google ученый

  • 19.

    Мисра, Дж., Саха, И .: Искусственные нейронные сети в оборудовании: обзор двух десятилетий прогресса. Нейрокомпьютеры 74 (1–3), 239–255 (2010)

    Google ученый

  • 20.

    Лю, Л., Шао, Х., Нан, Д.: Модель рекуррентной нейронной сети для вычисления наибольшего и наименьшего обобщенного собственного значения. Нейрокомпьютеры 71 (16–18), 3589–3594 (2008)

    Google ученый

  • 21.

    Чжан, Ю., Ма, В., Ли, X., Тан, Х., Чен, К.: Моделирование в MATLAB Simulink и симуляция первично-дуальной нейронной сети на основе LVI для решения линейных и квадратичных программы. Нейрокомпьютеры 71 (7–9), 1679–1687 (2009)

    Google ученый

  • 22.

    Чжао, Х., Чжан, Дж .: Идентификация нелинейных динамических систем с использованием конвейерной функциональной связи искусственной рекуррентной нейронной сети. Нейрокомпьютинг 72 (13–15), 3046–3054 (2009)

    Google ученый

  • 23.

    Ли, С., Чжан, Ю., Цзинь, Л .: Кинематическое управление избыточными манипуляторами с использованием нейронных сетей. IEEE Trans. Neural Netw. Учиться. Syst. 28 (10), 2243–2254 (2017)

    MathSciNet Google ученый

  • 24.

    Чен, М .: Распределение ограниченного управления для сверхактивных самолетов с использованием нейродинамической модели. IEEE Trans. Syst. Человек Киберн. Часть A-Syst. Гм. 46 (12), 1630–1641 (2016)

    Google ученый

  • 25.

    Цзинь, Л., Чжан, Ю.: Непрерывная и дискретная динамика Чжана для изменяющейся нелинейной оптимизации в реальном времени. Нумер. Алгоритмы 73 (1), 115–140 (2016)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 26.

    Го, Д., Линь, X., Су, З., Сан, С., Хуанг, З .: Разработка и анализ двух алгоритмов ZD с дискретным временем для изменяющейся во времени нелинейной минимизации. Нумер. Алгоритмы 77 (1), 23–36 (2018)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 27.

    Чжан, Ю., Ли, З., Го, Д., Кэ, З., Чен, П .: Дискретное время ZD, GD и NI для решения нелинейных нестационарных уравнений. Нумер. Алгоритмы 64 (4), 721–740 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 28.

    Zhang, Y., Ge, S .: Разработка и анализ общей рекуррентной модели нейронной сети для инверсии изменяющейся во времени матрицы. IEEE Trans. Neural Netw. 16 (6), 1477–1490 (2005)

    Google ученый

  • 29.

    Чжан, Ю., Цзян, Д., Ван, Дж .: Рекуррентная нейронная сеть для решения уравнения Сильвестра с меняющимися во времени коэффициентами. IEEE Trans. Neural Netw. 16 (5), 1053–1063 (2002)

    Google ученый

  • 30.

    Zhang, Z., Zheng, L., Weng, J., Mao, Y., Lu, W., Xiao, L .: Новая рекуррентная нейронная сеть с переменными параметрами для онлайн-решения нестационарного уравнения Сильвестра. IEEE Trans. Киберн. 48 (11), 3135–3148 (2018)

    Google ученый

  • 31.

    Сяо, Л., Ляо, Б., Ли, С., Чжан, З., Дин, Л., Цзинь, Л.: Проектирование и анализ FTZNN, применяемых для решения нестационарных систем Ляпунова в реальном времени. уравнение и управление трекингом колесного мобильного манипулятора.IEEE Trans. Инд. Информ. 48 (1), 98–105 (2018)

    Google ученый

  • 32.

    Сяо, Л., Ляо, Б.: Нейронная сеть Чжан с ускоренной сходимостью и ее решение для уравнения Ляпунова. Нейрокомпьютинг 193 , 213–218 (2016)

    Google ученый

  • 33.

    Li, X., Yu, J., Li, S., Ni, L .: Нелинейная и устойчивая к шумам модель ZNN, решающая нестационарное линейное матричное уравнение.Нейрокомпьютеры 317 , 70–78 (2018)

    Google ученый

  • 34.

    Чжан, Ю.: Пересмотрите аналоговый компьютер и градиентную нейронную систему для инверсии матриц. В: Proceedings of IEEE International Symposium on Intelligent Control, pp. 1411–1416 (2005)

  • 35.

    Miao, P., Shen, Y., Huang, Y., Wang, Y .: Решение квадратичной зависимости от времени. программы на основе нейронных сетей Zhang с конечным временем и их приложения для отслеживания роботов.Neural Comput. Прил. 26 (3), 693–703 (2015)

    Google ученый

  • 36.

    Сяо, Л .: Нелинейно активированная нейронная динамика и ее решение за конечное время изменяющегося во времени нелинейного уравнения. Нейрокомпьютинг 173 , 1983–1988 (2016)

    Google ученый

  • 37.

    Сяо, Л., Чжан, Я .: Нейронная сеть Чжана против градиентной нейронной сети для решения изменяющихся во времени линейных неравенств.IEEE Trans. Neural Netw. 22 (10), 1676–1684 (2011)

    Google ученый

  • 38.

    Хаджарян, М .: Расширение алгоритма CGLS для решений методом наименьших квадратов обобщенных матричных уравнений транспонирования Сильвестра. J. Frankl. Inst. 353 (5), 1168–1185 (2016)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 39.

    Хаджарян, М .: Расширение методов LSQR для решения обобщенных транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра.Математика. Meth. Прил. Sci. 37 (13), 2017–2028 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 40.

    Хаджарян, М .: Разработка методов BiCOR и CORS для связанных транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра. Прил. Математика. Модель. 39 (19), 6073–6084 (2015)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 41.

    Сяо, Л., Чжан, Ю.: Различные функции Чжана, приводящие к различным моделям ZNN, демонстрируются посредством решения нестационарных линейных матрично-векторных неравенств. Нейрокомпьютинг 121 , 140–149 (2013)

    Google ученый

  • 42.

    Чжан, Й., Ян, М., Хуанг, Х., Сяо, М., Ху, Х .: Новая модель дискретного решения для решения будущего разноуровневого линейного неравенства и равенства с управлением роботом-манипулятором. IEEE Trans. Инд. Информ. 15 (4), 1975–1984 (2019)

    Google ученый

  • 43.

    Цзинь, Л., Ли, С., Ляо, Б., Чжан, З .: Обнуление нейронных сетей: обзор. Нейрокомпьютинг 267 , 597–604 (2017)

    Google ученый

  • 44.

    Чжан, Ю., Ци, З., Ли, Дж., Цю, Б., Ян, М.: Подтверждение области шага и оптимума формулы ZeaD для будущей оптимизации. Нумер. Алгоритмы 81 (2), 561–574 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 45.

    Li, J., Mao, M., Uhlig, F., Zhang, Y .: 5-мгновенная формула конечных разностей для поиска дискретных изменяющихся во времени обобщенных обратных матриц, обратных матриц и скалярных обратных величин. Нумер. Алгоритмы 81 (2), 609–629 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 46.

    Qiu, B., Zhang, Y., Guo, J., Yang, Z., Li, X .: Новый пятишаговый алгоритм DTZD для будущей нелинейной минимизации с паттерном четвертой постоянной ошибки.Нумер. Алгоритмы 81 (3), 1043–1065 (2019)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 47.

    Qiu, B., Zhang, Y .: Два новых нейродинамических алгоритма дискретного времени, применяемые для онлайн-инверсии матриц будущего с невырожденными или иногда сингулярными коэффициентами. IEEE Trans. Киберн. 49 (6), 2032–2045 (2019)

    Google ученый

  • 48.

    Гаджарян, М.: Матричные итерационные методы для решения транспонированных по Сильвестру и периодических матричных уравнений Сильвестра. J. Frankl. Inst.-Eng. Прил. Математика. 350 (10), 3328–3341 (2013)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 49.

    Чжан Ю., Йи, К .: Нейронные сети Чжана и нейро-динамический метод. Nova Science Publishers, Нью-Йорк (2011)

    Google ученый

  • 50.

    Горн, Р.А., Джонсон, К.Р .: Матричный анализ. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2012)

    Google ученый

  • 51.

    Кормен Т.Т., Лейзерсон К.Е., Ривест Р.Л .: Введение в алгоритмы. MIT Press, Кембридж (1990)

    MATH Google ученый

  • 52.

    Liao, B., Zhang, Y .: От разных ZF к различным моделям ZNN, ускоренным с помощью функций активации Li до конечной сходимости для изменяющейся во времени псевдообращения матрицы.Нейрокомпьютеры 133 , 512–522 (2014)

    Google ученый

  • 53.

    Чжан, Ю., Ян, Ю., Тан, Н., Цай, Б.: Нейронная сеть Чжана, решающая нестационарную полноранговую матрицу обратного преобразования Мура-Пенроуза. Вычислительная техника 92 (2), 97–121 (2011)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 54.

    Чжан, Ю., Ли, Дж., Ли, С., Чен, Д., Хе, Л .: Оптимальная динамика обнуления с приложениями для управления последовательными и параллельными манипуляторами.Оптим. Control Appl. Методы 39 (4), 1393–1406 (2018)

    MathSciNet МАТЕМАТИКА Google ученый

  • 55.

    Ли, Дж., Чжан, Ю., Ли, С., Мао, М .: Новая динамика обнуления на основе формулы дискретизации для управления отслеживанием в реальном времени последовательных и параллельных манипуляторов. IEEE Trans. Инд. Информ. 14 (8), 3416–3425 (2018)

    Google ученый

  • 56.

    Мэтьюз, Дж.Х., Финк К.Д .: Численные методы с использованием Matlab. Прентис-Холл, Верхняя Седл-Ривер (2004)

    Google ученый

  • 57.

    Сули, Э., Майерс, Д.Ф .: Введение в численный анализ. Издательство Кембриджского университета, Кембридж (2003)

    MATH Google ученый

  • 58.

    Гриффитс, Д.Ф., Хайэм, Д.Дж .: Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений: проблемы с начальным значением.Спрингер, Лондон (2010)

    MATH Google ученый

  • Алгоритм решения нулевой матрицы. Поскольку я продолжаю искать работу и… | by JakePino

    Подсказка

    Вопрос просит нас определить функцию, которая будет принимать массив массивов, матрицу, и для каждого нуля в массиве другие элементы в строке и столбце, в которых находился этот ноль, станут ноль тоже. Например:

    В третьем массиве в индексе 0 стоит ноль.Следовательно, каждый элемент с индексом 0 будет превращен в ноль, как и каждый элемент в «строке» третьего массива, и так далее и тому подобное.

    Чтобы решить эту проблему, нам нужно будет проверить каждый элемент в каждом массиве и сравнить элементы в соответствующих массивах (строках) и позициях индекса (столбцы). У нас есть два больших шага; выяснить, где находится каждый ноль, и записать его, а затем заменить все элементы в строке и столбце нуля. Поскольку нам нужно проверить элемент в его строке, а также в его столбце, лучше всего использовать вложенный цикл.На самом деле нам понадобятся ДВА; один для записи, где находится каждый ноль, и один для замены.

    Сначала мы создадим два массива, называемых rowArr и colArr. Как вы понимаете, в них будут храниться нули в строках и столбцах. Затем наш вложенный цикл будет перебирать каждый элемент в каждом вложенном массиве, и если элемент равен нулю, мы помещаем индекс (который будет представлен как инкремент) в соответствующий массив:

    В приведенном выше коде i представляют в каком массиве мы находимся, следовательно, строка, а j представляет позицию столбца или индекса.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *